第六章　6.4　由递推公式求通项（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

6．4　由递推公式求通项
会根据数列的递推公式，利用构造法转化为特殊的数列（等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列）求数列通项公式．
考点1an＋1＝pan＋f(n)型
命题角度1　an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)
【例1】　数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，则数列{an}的通项公式是an＝4n-1－1．
【解析】　设an＋λ＝4(an－1＋λ)，则an＝4an－1＋3λ，又因为an＝4an－1＋3(n≥2)，所以3λ＝3，则λ＝1，所以an＋1＝4(an－1＋1)，因为a1＋1＝1≠0，所以an＋1≠0，所以＝4为常数，所以数列{an＋1}是首项为1，公比为4的等比数列，所以an＋1＝1×4n-1＝4n-1，所以an＝4n-1－1.
命题角度2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)
【例2】　在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝3n－2(n－1)．
【解析】　因为an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，设an＋1＋x(n＋1)＋y＝3(an＋xn＋y)，其中x，y∈R，整理可得an＋1＝3an＋2xn＋2y－x，所以，解得所以，an＋1＋2(n＋1)－2＝3(an＋2n－2)，且a1＋2×1－2＝a1＝3，所以数列{an＋2n－2}是首项为3，公比为3的等比数列，所以，an＋2n－2＝3×3n-1＝3n，解得an＝3n－2(n－1).
命题角度3　an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)
【例3】　数列{an}满足a1＝2，an＋1＝3an＋2n+1，则数列{an}的通项公式为an＝2(3n－2n)．
【解析】　数列{an}中，由an＋1＝3an＋2n+1，得＝·＋1，即＋2＝，因为a1＝2，＋2＝3，所以数列是首项为3，公比为的等比数列，
因此＋2＝3×，即an＝2(3n－2n)，所以数列{an}的通项公式为an＝2(3n－2n).
形式 构造方法
an＋1＝pan＋q (p≠0，1，q≠0) 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}
an＋1＝pan＋qn＋c (p≠0，1，q≠0) 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y}
an＋1＝pan＋qn (p≠0，1，q≠0，1) 两边同除以qn+1，构造新的数列
【对点训练1】　(1)若数列{an}满足an＋1＝3an－8，且a1＝6，则数列{an}的通项公式为an＝2×3n-1＋4．
解析：由an＋1＝3an－8，则an＋1－4＝3(an－4)，a1－4＝2，所以数列{an－4}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an－4＝2×3n-1，所以an＝2×3n-1＋4.
(2)各项均为正数的数列{an}满足a1＝4，an＋1＝2an＋2n+1，则an＝(n＋1)·2n．
解析：将an＋1＝2an＋2n+1两边同除以2n+1，得＝＋1，因为a1＝4，所以＝2，则是首项为2，公差为1的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，则an＝(n＋1)·2n.
考点2 相邻两项的差为特殊数列（an＋1＝pan＋qan－1型，其中a1＝a，a2＝b）
【例4】　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝．
【解析】　方法一　因为an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝an＋1＋an，所以＝＝＝3，又因为b1＝a2＋a1＝3，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列．所以bn＝an＋1＋an＝3×3n-1＝3n，从而＋·＝，不妨令cn＝，即cn＋1＋cn＝，故cn＋1－＝－，即＝－，又因为c1－＝－＝，所以数列是首项为，公比为－的等比数列，故cn－＝×＝－，从而an＝.
方法二　因为方程x2＝2x＋3的两根为－1，3，可设an＝c1·(－1)n-1＋c2·3n-1，由a1＝1，a2＝2，解得c1＝，c2＝，所以an＝.
可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
【对点训练2】　若x＝1是函数f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的极值点，数列{an}满足a1＝1，a2＝3，则数列{an}的通项公式为an＝3n-1．
解析：f′(x)＝4an＋1x3－3anx2－an＋2，
∴f′(1)＝4an＋1－3an－an＋2＝0，即an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)，∵a1＝1，a2＝3，∴a2－a1＝2，∴数列{an＋1－an}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1－an＝2×3n-1，则an＝an－an－1＋an－1－an－2＋…＋a2－a1＋a1＝2×3n-2＋…＋2×30＋1＝2×(3n-2＋3n-3＋…＋31＋30)＋1＝2×＋1＝3n-1－1＋1＝3n-1.
考点3 倒数为特殊数列
【例5】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝．
【解析】　对an＋1＝两边取倒数得＝＝＋2n，即－＝2n，当n≥2时，－＝2n-1，－＝2n-2，…，－＝22，－＝2，将以上各式累加得－＝2n-1＋2n-2＋…＋22＋2＝＝2n－2，又a1＝1，所以＝2n－1，所以an＝，当n＝1时，a1＝1也满足an＝，所以an＝.
两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝Abn＋B型，求出的表达式，再求an.
【对点训练3】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则an＝．
解析：数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，显然an≠0，取倒数得＝＝4＋，即－＝4，则数列是首项为1，公差为4的等差数列，因此＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝.
课时作业41
1．（5分）若数列{an}满足递推关系式an＋1＝，且a1＝2，则a2 026＝(　A　)
A． B．
C． D．
解析：因为an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝，又a1＝2，所以＝，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则＝＋(n－1)＝n，得an＝，所以a2 026＝＝.故选A.
2．（5分）已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，a1＝1，则{an}的通项公式为(　D　)
A．an＝2n-1 B．an＝2n-1－1
C．an＝2n D．an＝2n－1
解析：由an＋1＝2an＋1得an＋1＋1＝2(an＋1)，而a1＋1＝2，故{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1.故选D.
3．（5分）在数列{an}中，a1＝14，＝－3，则(　B　)
A．是等比数列
B．是等比数列
C．是等比数列
D．是等比数列
解析：因为＝－3，所以－3＝2－3，又因为－3＝4≠0，所以是等比数列，且首项为4，公比为2.故选B.
4．（5分）已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝4an－6，则an＝(　C　)
A．22n+1＋2 B．22n+1－2
C．22n-1＋2 D．22n-1－2
解析：∵an＋1＝4an－6，∴an＋1－2＝4(an－2)，
∴＝4，∵a1＝4，a1－2＝2，∴数列{an－2}是一个以2为首项，4为公比的等比数列，∴an－2＝2×4n-1，∴an＝22n-1＋2.故选C.
5．（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋n＝2an－1，则a5＝(　C　)
A．16 B．31
C．47 D．63
解析：因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋n＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＋(n－1)＝2an－1－1，两式相减得an＋1＝2an－2an－1，即an＝2an－1＋1，可得an＋1＝2(an－1＋1)，当n＝1时，可得S1＋1＝2a1－1，即a1＋1＝2a1－1，解得a1＝2，所以a1＋1＝3，所以数列{an＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，所以an＋1＝3·2n-1，即an＝3·2n-1－1，所以a5＝3×24－1＝47.故选C.
6．（5分）在数列{an}中，a1＝2，(an＋1)(an－1＋2)＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(　A　)
A．－ B．3n2－n
C．2n-1＋1 D．
解析：由(an＋1)(an－1＋2)＝an－1＋1(n≥2)，得anan－1＋2an＋1＝0，an(an－1＋2)＝－1，所以an－1＋2≠0，an≠0，所以an＋1＝(n≥2)，两边取倒数得＝＋1，又＝，所以数列是首项为，公差为1的等差数列，所以＝n－＝，an＋1＝，an＝－1＝＝＝－.故选A.
7．（6分）（多选）已知数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，且an＋1＝4an＋3n，则(　ABD　)
A．a2＝7
B．{Sn}是递增数列
C．{an＋3n}是等差数列
D．a10＝220－310
解析：因为an＋1＝4an＋3n，则an＋1＋3n+1＝4(an＋3n)，且a1＋3＝4≠0，可知数列{an＋3n}是首项为4，公比为4的等比数列，则an＋3n＝4×4n-1＝4n，即an＝4n－3n，a2＝42－32＝7，故A正确，C错误；因为an＝4n－3n>0，所以{Sn}是递增数列，故B正确；a10＝410－310＝220－310，故D正确．故选ABD.
8．（6分）（多选）已知数列{an}满足a1＝3，2an＋1＝3an－2，则(　BC　)
A．{an－2}是等差数列
B．{a2n}的前n项和为＋2n
C．{an}是递增数列
D．数列的最小项为4
解析：由2an＋1＝3an－2，得2(an＋1－2)＝3(an－2)，因为a1－2＝1≠0，所以＝，所以{an－2}是首项为1，公比为的等比数列，所以an－2＝1×，即an＝＋2，所以a2n＝＋2，所以a2＋a4＋…＋a2n＝＋2n＝＋2n，所以A错误，B正确；由an＝＋2，易知{an}是递增数列，所以C正确；当n≥2时，an＋1＋>a3＝＋2>4，当n＝1时，a2＋＝＋＋2＝>4，所以D错误．故选BC.
9．（5分）在数列{an}中，a1＝1，a2＝9，an＋2＝3an＋1－2an－10，则{an}的前n项和Sn的最大值为53．
解析：由an＋2＝3an＋1－2an－10，可得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)－10，令an＋1－an＝bn，所以bn＋1＝2bn－10，则bn＋1－10＝2(bn－10)，又a1＝1，a2＝9，所以b1－10＝a2－a1－10＝－2，所以数列{bn－10}是以－2为首项，2为公比的等比数列，所以bn－10＝－2×2n-1＝－2n，即bn＝－2n＋10，即an＋1－an＝10－2n，又由a2－a1＝10－21，a3－a2＝10－22，a4－a3＝10－23，…，an－an－1＝10－2n-1(n≥2)，将以上(n－1)个等式左、右两边分别相加得an－a1＝10(n－1)－＝10n－2n－8，所以an＝10n－2n－7(n≥2)，经检验a1＝1满足上式，故an＝10n－2n－7，当n≤3时，an＋1－an＝10－2n>0，即an随着n的增大而增大；当n≥4时，an＋1－an＝10－2n<0，即an随着n的增大而减小．因为a3＝10×3－23－7＝15>0，a4＝10×4－24－7＝17>0，a5＝10×5－25－7＝11>0，a6＝10×6－26－7＝－11<0，所以{an}的前n项和Sn的最大值为S5＝1＋9＋15＋17＋11＝53.
10．（5分）已知数列{an}满足an＋2＝3an＋1－2an，a1＝λ，a2＝2，{an}是递增数列，则λ的取值范围为(－∞，2)．
解析：因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，又因为{an}是递增数列，所以an＋1－an>0，因为a1＝λ，a2＝2，所以a2－a1＝2－λ，所以数列{an＋1－an}是以2－λ为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－an＝(2－λ)·2n-1，所以(2－λ)·2n-1>0，即2－λ>0 λ<2，则λ的取值范围为(－∞，2).
11．（12分）(1)已知数列{an}满足(n＋2)an＋1＝nan(n∈N*)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－1，且3anan＋1＝an－2an＋1，求数列{an}的通项公式．
解：(1)因为(n＋2)an＋1＝nan，且a1＝1，所以an≠0，所以＝，所以＝(n≥2)，即＝，＝，…，＝，
将(n－1)个式子相乘得＝＝(n≥2)，
因为a1＝1，所以an＝(n≥2)，
又当n＝1时，＝1＝a1，所以an＝(n∈N*).
(2)由3anan＋1＝an－2an＋1两边同时除以anan＋1，可得3＝－，
所以＋3＝2，＋3＝2≠0，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以＋3＝2n，即an＝.
12．（12分）已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，且a1＝，a2＝1.求数列{an}的通项公式．
解：因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＋1－an＝(an－an－1)(n≥2)，又因为a2－a1＝，所以数列{an＋1－an}是以为首项，为公比的等比数列，
所以an＋1－an＝×＝①，
又因为an＋1－an＝an－an－1，所以数列为常数列，故an＋1－an＝a2－a1＝1－＝②，
②－①可得an＝－，
所以an＝－，
即对任意的n∈N*，an＝－.
13．（5分）若数列{an}和{bn}满足a1＝2，b1＝0，2an＋1＝3an＋bn＋2，2bn＋1＝an＋3bn－2，则a2 026＋b2 025＝(　C　)
A．2×32 024＋1 B．3×22 024－1
C．3×22 024＋1 D．3×22 025－1
解析：因为2an＋1＝3an＋bn＋2，2bn＋1＝an＋3bn－2，所以2an＋1＋2bn＋1＝3an＋bn＋2＋an＋3bn－2＝4(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以{an＋bn}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋bn＝2n，又2an＋1＝3an＋bn＋2，即an＋1＝an＋bn＋1，所以an＋1＋bn＝an＋bn＋1＋bn＝(an＋bn)＋1＝×2n＋1，所以a2 026＋b2 025＝×22 025＋1＝3×22 024＋1.故选C.
14．（5分）在数列{an}中，a1＝a(a>0)，(2n－1)an＋1＝(2n+2－1)an＋2n(2n+2－1)(n∈N*)，若an≤4n+1－1恒成立，则实数a的最大值为(　A　)
A．3　　　 B．6
C．12　　　 D．15
解析：由已知(2n－1)an＋1＝(2n+2－1)an＋2n(2n+2－1)(n∈N*)，两边同时除以(2n－1)(2n+1－1)(2n+2－1)可得＝＋，
即＝＋－，
即＋＝＋，
则数列为常数列，所以＋＝
＋＝＋1，所以an＝＋1－ (2n－1)(2n+1－1)，又an≤4n+1－1恒成立，即(2n－1)(2n+1－1)≤4n+1－1恒成立，因为a>0，n≥1，n∈N*，所以＋1－>0，2n－1>0，2n+1－1>0，所以≤＋－1＝＋－1＝＋－1＝＝＝1＋，又1＋>1，所以要使≤1＋恒成立，则≤1，所以015．（14分）（2025·八省联考）已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求{an}的通项公式；
(3)令bn＝，求证：bn解：(1)证明：由a1＝3，an＋1＝得an≠0，故＝＝·＋，则1－＝－·＝，所以数列是首项为1－＝，公比为的等比数列．
(2)由(1)得1－＝×＝，所以an＝＝.
(3)证明：bn＝＝·＝＝＝＝
1－.
令f(n)＝3·－2，n∈N*，
因为f(n)＝3·－2在n∈N*上单调递增，则f(n)≥f(1)＝3×－2＝>0，
所以数列在n∈N*上单调递减，从而数列{bn}在n∈N*上单调递增，且bn<1，故bn