第七章　7.3　空间直线、平面的平行（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

7．3　空间直线、平面的平行
1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．
2．掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
1．直线与平面平行
项目 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 a∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 a∥b
2.平面与平面平行
项目 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
教材拓展
1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
2．平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
3．垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
4．若α∥β，a α，则a∥β.
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行于这个平面．(　×　)
(2)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　)
(3)如果两个平面平行，且一条直线平行于其中一个平面，则该直线平行于另一平面．(　×　)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线也互相平行．(　×　)
2．（人教A版必修第二册P139T3改编）α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是(　C　)
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n α，则m∥n
C．若α∥β，m α，则m∥β
D．若m∥n，m α，n β，则α∥β
解析：若m∥n，n∥α，则m∥α或m α，故A不正确；若m∥α，n α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；若m∥n，m α，n β，则α∥β或α与β相交，故D不正确．故选C.
3．（人教A版必修第二册P134例1改编）如图，四边形ABDC是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，M是AC的中点，BD与平面α交于点N，AC与平面α交于点M，AB＝4，CD＝6，则MN＝(　B　)
A．4.5 B．5
C．5.4 D．5.5
解析：因为AB∥平面α，AB 平面ABDC，平面ABDC∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又M是AC的中点，所以MN是梯形ABDC的中位线，故MN＝(AB＋CD)＝5.故选B.
4．（人教A版必修第二册P142T2改编）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　B　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．以上答案都不对
解析：若α内的无数条直线均平行，此时无法推出α∥β，A错误；由面面平行的判定定理知B正确；如图，α，β平行于同一条直线m，但α，β不平行，C错误；D错误．故选B.
考点1 直线与平面平行的判定与性质
命题角度1　直线与平面平行的判定
【例1】　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD.
【证明】　证法一　如图，取PD的中点F，连接EF，FA.
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2.
又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF.
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
证法二　如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴＝＝，即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，
∴BE∥平面PAD.
证法三　如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，又EH 平面PAD，PD 平面PAD，∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，∴四边形ABHD为平行四边形，∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD.
命题角度2　直线与平面平行的性质
【例2】　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面B1BD与棱A1C1交于点E.求证：BB1∥DE.
【证明】　在三棱柱ABC A1B1C1中，BB1∥CC1，且BB1 平面AA1C1C，CC1 平面AA1C1C，∴BB1∥平面AA1C1C，又∵BB1 平面B1BD，平面B1BD∩平面AA1C1C＝DE，∴BB1∥DE.
1．判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义（无公共点）.
(2)利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α).
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β).
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β).
2．应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
【对点训练1】　如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，△PAD是以PA为斜边的等腰直角三角形，F，G分别是PB，CD的中点．
(1)求证：GF∥平面PAD；
(2)设E为AB的中点，过E，F，G三点的截面与棱PC交于点Q，指出点Q的位置并证明．
解：(1)证明：如图，取PA的中点H，连接FH，HD，因为F为PB的中点，所以HF∥AB，且HF＝AB，
又因为四边形ABCD为菱形，且G为CD中点，
所以DG∥AB，且DG＝AB，所以HF∥DG，且HF＝DG，所以四边形HDGF为平行四边形，所以GF∥HD，
因为GF 平面PAD，HD 平面PAD，所以GF∥平面PAD.
(2)如图，Q为PC的中点．证明如下：
因为CG∥BE且CG＝BE，所以四边形BCGE为平行四边形，故EG∥BC，
因为EG 平面PBC，BC 平面PBC，所以EG∥平面PBC，
又EG 平面EFQG，平面EFQG∩平面PBC＝FQ，所以EG∥FQ，
又EG∥BC，所以FQ∥BC，
因为F为PB的中点，所以Q为PC的中点．
考点2 平面与平面平行的判定与性质
【例3】　如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE＝2CF.
(1)求证：平面ADE∥平面BCF；
(2)若G是棱BC的中点，求证：AE∥FG.
【证明】　(1)由四边形ABCD是平行四边形，得BC∥AD，而AD 平面AED，BC 平面AED，则BC∥平面AED，
由DE∥CF，CF 平面AED，DE 平面AED，得CF∥平面AED，
又BC∩CF＝C，BC，CF 平面BCF，所以平面ADE∥平面BCF.
(2)延长EF，AG，与DC的延长线分别交于点O1，O2，
由DE∥CF，DE＝2CF，得CO1＝CD，由BC∥AD，G是棱BC的中点，得CO2＝CD，
因此点O1，O2重合，记为O，如图所示，显然平面AOE∩平面AED＝AE，平面AOE∩平面BCF＝FG，由(1)知，平面ADE∥平面BCF，所以AE∥FG.
1．证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β).
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ).
2．当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行，这两条直线必须是两平行平面与第三个平面的交线．
【对点训练2】　如图，在棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q分别是DD1，AB的中点．
(1)若平面PQC与直线AA1交于点R，求的值；
(2)若M为棱CC1上一点且CM＝λCC1，BM∥平面PQC，求λ的值．
解：(1)如图，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，且平面ABB1A1∩平面PQC＝RQ，平面
CDD1C1∩平面PQC＝PC，所以RQ∥PC，易得△ARQ∽△DPC，则＝，
又DC＝a，DP＝a，AQ＝a，则＝，
即AR＝a，A1R＝a，所以＝.
(2)如图，取AA1的中点E，则R为AE的中点，连接BE，则BE∥RQ，
又RQ 平面PCQ，BE 平面PCQ，则BE∥平面PCQ.
又BM∥平面PCQ，BM，BE 平面BME，且BM∩BE＝B，所以平面BME∥平面PCQ，
设DD1∩平面BME＝F，连接EF，FM，因为平面BME∥平面PCQ，平面BME∩平面CDD1C1＝FM，平面PCQ∩平面CDD1C1＝PC，所以FM∥PC，又CM∥PF，则四边形CPFM为平行四边形，同理四边形PREF也是平行四边形，所以CM＝PF＝ER＝a，所以λ＝＝＝.
课时作业47
1．（5分）（2024·浙江杭州一模）已知两条不同的直线a，b和平面α，a α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为b∥α，所以存在c α使得b∥c，若a∥b，则a∥c，又a α且c α，所以a∥α，充分性成立；设β∥α，b β，a β，a∩b＝P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立．故选A.
2．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　C　)
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．若m α，n β，m∥n，则α∥β
C．若m，n是异面直线，m α，m∥β，n β，n∥α，则α∥β
D．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β
解析：若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，故A错误；若m α，n β，m∥n，则α与β可能相交，故B错误；因为m α，m∥β，所以由线面平行的性质定理可知在β内存在l α，且l∥m，进而可得l∥α，因为m，n是异面直线，n β，所以l与n相交，又n∥α，所以由面面平行的判定定理得α∥β，故C正确；平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能相交，故D错误．故选C.
3．（5分）正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，M是A1D1的中点，点N在棱CC1上，CN＝2NC1，则平面AMN与侧面BB1C1C的交线长为(　C　)
A． B．
C． D．
解析：如图，分别取BC，B1C1的中点H，Q，连接BQ，C1H，则AM∥BQ∥C1H，且AM＝BQ＝C1H，在平面BB1C1C中，过点N作NP∥C1H交BC于P，连接AP，则NP为平面AMN与侧面BB1C1C的交线，且NP∶C1H＝2∶3，由于C1H＝＝＝，∴NP＝.故选C.
4．（5分）过四棱锥P ABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有(　C　)
A．4条　　 B．5条
C．6条　　 D．7条
解析：如图，设E，F，G，H，I，J，M，N为所在棱的中点，则NE∥PB，且NE 平面PBD，PB 平面PBD，所以NE∥平面PBD，同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平面PBD平行的直线有6条．故选C.
5．（5分）如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E， F，M，N分别为棱AB，BC，DD1，D1C1的中点，下列判断正确的是(　D　)
A．直线AD∥平面MNE
B．直线FC1∥平面MNE
C．平面A1BC∥平面MNE
D．平面AB1D1∥平面MNE
解析：过点M，N，E的截面如图所示（H，I，J均为所在棱的中点），所以直线AD与其相交于点H，故A错误；直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1上必定相交，故B错误；直线A1B与直线EI相交，故平面A1BC与平面MNE不平行，故C错误；易得直线AB1∥直线EI，直线AD1∥直线MH，又因为AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面MNE，故D正确．故选D.
6．（5分）（2024·山东淄博二模）已知α，β，γ为三个不同的平面，a，b，l为三条不同的直线．若α∩β＝l，α∩γ＝a，β∩γ＝b，l∥γ，则下列说法正确的是(　C　)
A．a与l相交 B．b与l相交
C．a∥b D．a与β相交
解析：l∥γ，l 平面α，α∩γ＝a，则l∥a，同理可得l∥b，故A，B错误；由l∥a，l∥b可得a∥b，故C正确；由l∥a，a 平面β，l 平面β，得a∥β，故D错误．故选C.
7．（6分）（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，D，E，F为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面DEF平行的是(　AC　)
解析：对于A，∵AB∥DE，AB 平面DEF，DE 平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点H，则直线AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，∵AB∥DF，AB 平面DEF，DF 平面DEF，∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，又D为BC的中点，∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．故选AC.
8．（6分）（多选）如图，向透明塑料制成的长方体容器ABCD A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个结论，其中正确的是(　ACD　)
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．棱A1D1始终与水面所在的平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值
解析：由题图，显然A正确，B错误；因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG，又FG 平面EFGH，A1D1 平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH（水面），故C正确；因为水是定量的（定体积V），所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝（定值），故D正确．故选ACD.
9．（5分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件P是CC1的中点（答案不唯一）时，A1P∥平面BCD.（填一个满足题意的条件即可）
解析：如图，取CC1的中点P，连接A1P，∵在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥CD，
∵A1P 平面BCD，CD 平面BCD，∴当点P满足条件P是CC1中点时，A1P∥平面BCD.（答案不唯一）
10．（5分）已知平面α∥β∥γ（β在α，γ之间），直线l，m分别与α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.若＝，DF＝20，则EF＝15Ｗ．
解析：分两种情况：(1)直线l和m在同一平面内，如图1，连接AD，BE，CF，因为平面α∥β∥γ，所以AD∥BE∥CF，由平行线分线段成比例得＝＝，又DF＝20，所以EF＝15.
(2)直线l和m不在同一平面内，即l和m异面，如图2，过D作DH∥AC，因为平面α∥β∥γ，所以AB＝DG，BC＝GH，GE∥HF，由平行线分线段成比例得＝＝＝，又DF＝20，所以EF＝15.综上，EF＝15.
11．（16分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，A1C与AC1交于点O，D为棱BC上一点，D1为B1C1的中点，且A1B∥平面ADC1.求证：
(1)A1B∥OD；
(2)平面A1BD1∥平面ADC1.
证明：(1)由题意，因为A1B∥平面ADC1，A1B 平面A1BC，平面ADC1∩平面A1BC＝OD，所以A1B∥OD.
(2)由(1)可知A1B∥OD，
又因为O为A1C的中点，所以D为BC的中点，即BD＝BC，
因为D1为B1C1的中点，所以D1C1＝B1C1，
又因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，
所以BD＝D1C1，BD∥D1C1，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以BD1∥DC1，
又因为DC1 平面ADC1，BD1 平面ADC1，所以BD1∥平面ADC1，
又A1B∥平面ADC1，A1B∩BD1＝B，A1B 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，
所以平面A1BD1∥平面ADC1.
12．（17分）如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为PD，BC的中点，平面PAB∩平面PCD＝l.
(1)求证：l∥AB.
(2)求证：EF∥平面PAB.
(3)在线段PD上是否存在一点G，使FG∥平面ABE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，
又因为AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
又因为平面PAB∩平面PCD＝l，AB 平面PAB，所以l∥AB.
(2)证明：如图，取PA的中点M，连接BM，EM，则EM∥AD，EM＝AD，又BF∥AD，BF＝AD，可知EM∥BF，EM＝BF，则四边形BFEM为平行四边形，可得EF∥BM，
又EF 平面PAB，BM 平面PAB，所以EF∥平面PAB.
(3)存在．如图，取AD的中点N，连接FN，NG，则FN∥AB，因为FN 平面ABE，AB 平面ABE，所以FN∥平面ABE，又因为FG∥平面ABE，且FN∩FG＝F，FN，FG 平面FNG，
所以平面FNG∥平面ABE，
因为平面PAD∩平面ABE＝AE，平面PAD∩平面FNG＝NG，所以AE∥NG，
因为N为AD的中点，所以G为ED的中点，即EG＝GD，
又因为PE＝ED，所以＝3.
13．（5分）（2024·四川乐山三模）在三棱柱ABC A1B1C1中，点D在棱BB1上，满足VA BCC1D＝VABC A1B1C1，点M在棱A1C1上，且＝，点N在直线BB1上，若MN∥平面ADC1，则＝(　D　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：如图所示．因为VA A1B1C1＝VABC A1B1C1，所以VA BCC1B1＝VABC A1B1C1，所以VA BCC1D＝VABC A1B1C1＝×VA BCC1B1＝VA BCC1B1，
所以S梯形BCC1D＝S四边形BCC1B1，
所以S△C1B1D＝S四边形BCC1B1，则＝，设三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长为6，则DB1＝4，DB＝2，又M为A1C1的中点，取A1A的中点E，连接ME，则ME∥C1A.过E作EN∥AD，且EN∩BB1＝N，连接MN，因为ME∩EN＝E，AD∩C1A＝A，所以平面MNE∥平面ADC1，又MN 平面MNE，所以MN∥平面ADC1，因为DN＝EA＝3，所以NB1＝DB1－DN＝4－3＝1，所以BN＝5，则＝5.故选D.
14．（5分）（2024·陕西商洛模拟）如图，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长是2，侧棱长是2，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1内的动点，且MN∥平面ABC1，则点N的轨迹的长度为(　B　)
A． B．2
C． D．4
解析：如图，取B1C1的中点D，取BB1的中点E，连接MD，DE，ME，则DE∥BC1，又DE 平面ABC1，BC1 平面ABC1，所以DE∥平面ABC1，又M为A1C1的中点，所以MD∥A1B1∥AB，又MD 平面ABC1，AB 平面ABC1，所以MD∥平面ABC1，又DE∩MD＝D，DE 平面DEM，MD 平面DEM，所以平面DEM∥平面ABC1，又因为N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，所以N的轨迹为线段DE，DE＝×＝2，所以点N的轨迹的长度为2.故选B.
15．（5分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，点P在正方形ABB1A1内，若AB＝2，A1P∥平面AEF，则DP长度的最小值是(　B　)
A．2 B．
C． D．3
解析：如图，分别取棱B1C1，BB1的中点M，N，连接A1M，A1N，MN.
因为正方体中，A1M∥AE，MN∥EF，即平面A1MN内两相交直线A1M，MN与平面AEF平行，所以平面A1MN∥平面AEF，则点P在线段A1N上．过点A作AH⊥A1N，垂足为H，连接DH，则DP≥DH，当且仅当P与H重合时，DP＝DH＝＝.故选B.