第七章　7.6　空间向量与立体几何（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

7．6　空间向量与立体几何
1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．
3．理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．
1．空间向量及其有关概念
名称 定义
共线(平 行)向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量
共面向量 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量
共线向 量定理 对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
共面向 量定理 如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb
空间向量 基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc
2.空间向量及其运算的坐标表示
(1)空间向量运算的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．
(2)空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；当a≠0，b≠0时，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；|a|＝＝；当a≠0，b≠0时，cos 〈a，b〉＝＝．
(3)空间向量的坐标及两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则＝
(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，||＝．
3．用空间向量研究直线、平面的位置关系
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m，l α l∥α n⊥m n·m＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)
(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(　×　)
(3)若A，B，C，D是空间中任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　)
(4)若直线a的方向向量和平面α的法向量平行，则a∥α.(　×　)
2．(人教A版选择性必修第一册P12T3改编)如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，＝3，设＝a，＝b，＝c，则＝(　B　)
A．a－b＋c B．a－b＋c
C．a＋b＋c D．a－b＋c
解析：＝－＝(＋)－＝a－b＋c.故选B.
3．(人教A版选择性必修第一册P12T1改编)已知空间向量a＝(1，0，3)，b＝(2，1，0)，c＝(5，2，z)，若a，b，c共面，则实数z的值为(　D　)
A．0　　　 B．1
C．2　　　 D．3
解析：因为a，b，c共面，所以存在实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb，即(5，2，z)＝x(1，0，3)＋y(2，1，0)＝(x＋2y，y，3x)，所以解得故选D.
4．(人教B版选择性必修第一册P39例1改编)若直线l的方向向量a＝(1，0，1)，平面β的法向量n＝(1，1，－1)，则(　D　)
A．l β B．l⊥β
C．l∥β D．l β或l∥β
解析：因为a·n＝1－1＝0，所以a⊥n，所以l β或l∥β.故选D.
考点1 空间向量的线性运算及共线、共面定理
【例1】　(1)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　C　)
A．a－b＋c
B．a－b－c
C．a－b＋c
D．a－b＋c
【解析】　＝－＝－＝(＋)－＝(－)＝(＋－)＝(－＋－－)＝－＋＝a－b＋c.故选C.
(2)(多选)下列选项中正确的是(　AC　)
A．若存在实数x，y，使＝x＋y，则点P，M，A，B共面
B．若p与a，b共面，则存在实数x，y，使p＝xa＋yb
C．若向量a，b所在的直线是异面直线，则向量a，b一定不共线
D．若a，b，c是空间三个向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc
【解析】　由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使＝x＋y，则点P，M，A，B共面，故A正确；若a，b共线，p不与a，b共线，则不存在实数x，y，使p＝xa＋yb，故B错误；若向量a，b所在的直线是异面直线，则a，b的方向不相同也不相反，所以向量a，b一定不共线，故C正确；若a，b，c是空间三个基底向量，则对空间任一向量p，总存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故D错误．故选AC.
1．用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
(3)在空间中，向量加法的三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
2．应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面且任意三点不共线
＝λ ＝x＋y
对空间任一点O，＝＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y
对空间任一点O，＝x＋(1－x) 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y)
【对点训练1】　(1)设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为(　A　)
A．－8 B．－4
C．－2 D．8
解析：因为A，B，D三点共线，所以 λ∈R，使得＝λ，又＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，所以＝＋－＝(2e1＋ke2)＋(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝e1＋(k＋4)e2，则2e1＋ke2＝λ[e1＋(k＋4)e2]，则λ＝2，λ(k＋4)＝k，解得k＝－8.故选A.
(2)(多选)如图，平面ABC内的小方格均为边长是1的正方形，A，B，C，D，E，F均为正方形的顶点，P为平面ABC外一点，则(　ABD　)
A．＝－
B．＝－＋＋
C．＝－－
D．＝－＋＋
解析：在平面ABC内选取两个互相垂直的单位向量i，j，且＝2i＋j，则－＝2i＋j，－＝－3i＋j，－＝5i，则i＝－＋，j＝－＋＋，所以＝－2i－j＝－，＝－2i＋j＝－＋＋，＝＋＝＋i－j＝2－－，＝＋＝＋2j＝－＋＋.故选ABD.
考点2 空间向量的数量积及其应用
【例2】　(1)如图，在斜三棱柱ABC A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝4，∠BCC1＝∠ACC1＝，∠ACB＝，则·(＋)＝(　C　)
A．48 B．32
C．32＋8 D．32－8
【解析】　·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋2＝4×4×cos ＋4×4×cos ＋4×4×cos ＋42＝8＋8＋8＋16＝32＋8.故选C.
(2)在四面体ABCD中，BC⊥BD，∠ABC＝∠ABD＝，BA＝BD＝2，BC＝3，则AD与BC所成角的余弦值为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】　如图，由题知，＝－，令θ为与的夹角，
则cos θ＝＝＝＝
＝＝.故选A.
由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确．
【对点训练2】　(1)向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则·的最小值为(　B　)
A．　　 B．－
C．　　 D．－
解析：∵＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，∴可设＝λ＝(λ，λ，2λ).又向量＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则·＝(1－λ)×(2－λ)＋(2－λ)×(1－λ)＋(3－2λ)×(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，易得当λ＝时，·取得最小值－.故选B.
(2)如图，在所有棱长均为1的平行六面体ABCD A1B1C1D1中， M为A1C1与B1D1的交点，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则BM的长为(　C　)
A．　　 B．
C．　　 D．
解析：依题意＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－，所以2＝＋－2＝2＋2＋2＋·－·－·＝12＋×12＋×12＋1×1×－1×1×－×1×1×＝，所以||＝，即BM＝.故选C.
考点3 利用向量法解决平行、垂直问题
【例3】　如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点．求证：
(1)平面A1B1D⊥平面ABD；
(2)平面EGF∥平面ABD.
【证明】　(1)易得BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(0，1，4)，C1(0，2，4).
设BA＝a，则A(a，0，0)，A1(a，0，4)，G.
因为＝(a，0，0)，＝(0，2，2)，＝(0，2，－2)，所以·＝0，·＝0，
所以⊥，⊥，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.
又BA∩BD＝B，BA，BD 平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.
因为B1D 平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD.
(2)因为＝，＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)，所以·＝0，·＝0，
所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.
因为EG∩EF＝E，EG，EF 平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.
又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.
1．利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
2．向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.
【对点训练3】　如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．求证：
(1)BM∥平面ADEF；
(2)BC⊥平面BDE.
证明：(1)根据题意可知平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥ED，ED 平面ADEF，
所以ED⊥平面ABCD，从而可得，，两两垂直．
以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)，
又M为CE的中点，所以M(0，2，1)，则＝(－2，0，1)，＝(－2，0，0)，＝(0，0，2)，
所以＝＋，故，，共面．
又BM 平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.
(2)＝(－2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(0，0，2)，易知·＝－4＋4＝0，所以BC⊥DB.又·＝0，可得BC⊥DE.
又DB∩DE＝D，DB，DE 平面BDE，所以BC⊥平面BDE.
【例】　(多选)在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：
(1)过点P0(x0，y0，z0)且以u＝(a，b，c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为＝＝；
(2)过点P(x0，y0，z0)且以v＝(m，n，t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＋t(z－z0)＝0.
现已知平面α：x＋2y＋3z＝6，l1：l2：x＝y＝2－z，l3：＝＝，则(　CD　)
A．l1∥α B．l2∥α
C．l3∥α D．l1⊥α
【解析】　平面α：x＋2y＋3z＝6，即x－1＋2(y－1)＋3(z－1)＝0，则平面α的法向量为v＝(1，2，3).对于l1：则6x－3＝3y＝2z＋1，即＝＝，所以l1过点，方向向量为u1＝，所以v＝6u1，所以v∥u1，所以l1⊥α，故A错误，D正确；对于l2：x＝y＝2－z，即＝＝，所以l2过点(0，0，2)，方向向量为u2＝(1，1，－1)，点(0，0，2)适合平面α的方程x＋2y＋3z＝6，所以l2与平面α有公共点，故B错误；对于l3：＝＝，所以l3过点(1，0，0)，方向向量u3＝(5，－4，1)，因为v·u3＝(1，2，3)·(5，－4，1)＝5－8＋3＝0，所以v⊥u3，所以l3 α或l3∥α，但点(1，0，0)不适合平面α的方程x＋2y＋3z＝6，故l3 α，所以l3∥α，故C正确．故选CD.
本题属于新定义理解问题，解题过程中需将直线方程表示为给出的公式形式，从而找到直线经过的定点和方向向量，考查学生灵活运用所学知识方法分析和解决新定义问题的能力，体现新高考的趋势和变化．
课时作业50
1．（5分）已知a＝(2，2，1)，b＝(－1，－1，k)，且a⊥2b，则k的值为(　D　)
A．5 B．－5
C．3 D．4
解析：由题意可得2b＝(－2，－2，2k)，则a·2b＝－4－4＋2k＝0，解得k＝4.故选D.
2．（5分）已知点A(a，－3，5)，B(0，b，2)，C(2，7，－1)，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是(　D　)
A．－2，3 B．－1，2
C．1，3 D．－2，2
解析：因为A(a，－3，5)，B(0，b，2)，C(2，7，－1)，所以＝(－a，b＋3，－3)，＝(2，7－b，－3)，因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使＝k，所以(－a，b＋3，－3)＝k(2，7－b，－3)，所以解得故选D.
3．（5分）若向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则a，b的夹角的余弦值为(　C　)
A． B．
C．－ D．－
解析：向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，则a·b＝1×2－1×1－2×3＝－5，|a|＝＝，|b|＝＝，所以a，b的夹角的余弦值为cos 〈a，b〉＝＝＝－.故选C.
4．（5分）在正三棱锥P ABC中，O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·（＋）＝(　D　)
A． B．
C． D．
解析：如图，在正三棱锥P ABC中，O为正三角形ABC的中心，PA＝AB＝2，OA＝OB＝×AB＝，则PO⊥平面ABC，而OA，OB 平面ABC，所以PO⊥OA，PO⊥OB，且PO2＝22－＝，所以·（＋）＝·（＋＋＋）＝22＝2×＝.故选D.
5．（5分）如图，三棱柱ABC DEF中，G为棱AD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　A　)
A．a－b＋c
B．a＋b＋c
C．a－b＋c
D．a＋b＋c
解析：＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝－b＋c＋＝－b＋c＋（＋）＝－b＋c＋(－c＋a)＝a－b＋c.故选A.
6．（5分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN(　D　)
A．有且仅有1条 B．有且仅有2条
C．有且仅有3条 D．有无数条
解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，设正方体棱长为1，M(0，0，a)(0≤a≤1)，N(x，1，1－x)(0≤x≤1)，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，所以＝(x，1，1－x－a)，＝(－1，0，1)，若AD1⊥MN，则·＝－x＋1－x－a＝0，即2x＝1－a(0≤x≤1，0≤a≤1)，方程有无数组解．故选D.
7．（5分）如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，G，E，F分别是棱A1B1，CC1和AB的中点，点D是线段AC上的动点（不包括端点）.若GD⊥EF，则线段AD的长为(　A　)
A．　　 B．
C．　　 D．
解析：在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC＝90°，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E，G，F，设D(x，0，0)(08．（6分）（多选）下列说法正确的是(　BD　)
A．若向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面
B．若G是四面体OABC的底面△ABC的重心，则＝（＋＋）
C．若＝－＋＋，则A，B，C，G四点共面
D．若向量p＝mx＋ny＋kz，则称(m，n，k)为p在基底下的坐标，已知p在单位正交基底下的坐标为(1，2，3)，则p在基底下的坐标为
解析：根据共面向量的定义可得它们所在的直线不一定在同一个平面上，故A错误；设O(0，0，0)，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)，＝(x3，y3，z3)，又因为G是底面△ABC的重心，则G，，，所以＝（＋＋）成立，故B正确；因为＝－＋＋，－＋＋≠1，所以A，B，C，G四点不共面，故C错误；设p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a－b)＋y(a＋b)＋zc＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋zc，
因为p在基底下的坐标为(1，2，3)，所以解得所以p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为，故D正确．故选BD.
9．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，若点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，且＝2，则||的值为2．
解析：设点P(x，y，z)，因为＝2，A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，所以(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，则解得即P(－1，3，3)，又D(1，1，1)，所以＝(2，－2，－2)，所以||＝2.
10．（5分）已知点P(0，2，0)，O(0，0，0)，A(1，2，4)，B(－1，2，4)，过点P作PH⊥平面OAB，H为垂足，则点H的坐标是．
解析：设H(a，b，c)，则＝(a，b－2，c)，＝(1，2，4)，＝(－1，2，4)，因为PH⊥平面OAB，OA，OB 平面OAB，所以PH⊥OA，PH⊥OB，则解得所以H(0，2－2c，c).因为PH⊥平面OAB，H为垂足，所以O，A，B，H四点共面，则存在唯一实数对(x，y)使得＝x＋y，即(0，2－2c，c)＝(x－y，2x＋2y，4x＋4y)，所以解得x＝y＝，c＝，所以H.
11．（15分）如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，E，F分别为棱BC，CD的中点，G为线段AF的中点．
(1)用，，表示；
(2)求·的值．
解：(1)在正四面体ABCD中，E，F分别为棱BC，CD的中点，G为线段AF的中点，
则＝＝×（＋）＝＋，所以＝＋＋＝－＋
＋＋＝－＋（－）＋＋＝－－＋.
(2)正四面体ABCD的棱长为1，则·＝·＝1×1×cos 60°＝，
所以·＝－（2＋－）·＝－（22＋·－·）＝－.
12．（18分）如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：
(1)A1D∥平面BCC1B1；
(2)EF⊥A1D.
证明：(1)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，A1(2，0，2)，E(2，2，1)，F(1，1，2)，C(0，2，0)，所以＝(0，2，0)，＝(2，0，2)，
因为DC⊥平面BCC1B1，所以＝(0，2，0)为平面BCC1B1的一个法向量，
又·＝0，即⊥，
又A1D 平面BCC1B1，
所以A1D∥平面BCC1B1.
(2)由(1)知＝(－1，－1，1)，
所以·＝－1×2＋(－1)×0＋1×2＝0，所以EF⊥A1D.
13．（5分）（2024·山东济南二模）如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列说法正确的是(　B　)
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．三棱锥F ABE的体积为
D．直线BC与平面AEF所成的角为45°
解析：在正方体ABCD A1B1C1D1中，DD1∥CC1，直线AF与直线CC1不垂直，所以直线AF与直线DD1不垂直，故A错误；如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(1，2，0)，F(0，2，1)，G(2，2，1)，A1(2，0，2)，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令y＝1，则n＝(2，1，2)，因为＝(0，2，－1)，所以·n＝0×2＋2×1－1×2＝0，所以⊥n，因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，故B正确；S△ABE＝BE·AB＝×1×2＝1，所以三棱锥F ABE的体积为×1×1＝，故C错误；B(2，2，0)，C(0，2，0)，＝(－2，0，0)，设直线BC与平面AEF所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，故D错误．故选B.
14．（5分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，满足DE∥BC且DE经过△ABC的重心，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中点，如图2.点N在线段A1B上（N不与端点A1，B重合），使平面CMN与平面DEN垂直，则＝2．
解析：在Rt△ABC中，因为DE∥BC，故DE⊥AC，故在四棱锥A1 DEBC中，有BC⊥CD，DE⊥A1D，DE⊥CD，而A1D∩CD＝D，故DE⊥平面A1CD.因为A1C 平面A1CD，所以DE⊥A1C，而DE∥BC，故A1C⊥BC，而A1C⊥CD，故以C为原点，CD，CB，CA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
在Rt△ABC中，因为DE经过△ABC的重心，则＝＝，故AD＝4，CD＝2，DE＝2.在Rt△A1DC中，A1C＝＝2，则C(0，0，0)，A1（0，0，2），D(2，0，0)，B(0，3，0)，E(2，2，0)，M（1，0，）.设＝λ(0<λ<1)，则＝（0，3λ，－2λ），故N（0，3λ，2－2λ），＝（0，3λ，2－2λ），＝(0，2，0)，＝（－2，3λ，2－2λ），＝（1，0，）.设平面CMN的一个法向量为n1＝(s，t，w)，
则
取w＝1，则s＝－，t＝，故n1＝.设平面DEN的一个法向量为n2＝(s1，t1，w1)，则
取w1＝1，则t1＝0，s1＝－λ，故n2＝（－λ，0，1）.因为平面DEN⊥平面CMN，故n1⊥n2，所以（－λ）×（－）＋1＝0，故λ＝，所以＝2.
15．（6分）（多选）在空间直角坐标系中，过点P0(x0，y0，z0)，且以u＝(a，b，c)(abc≠0)为方向向量的空间直线l的方程为＝＝；过点P0(x0，y0，z0)，以v＝(m，n，t)(mnt≠0)为法向量的平面α的方程为m(x－x0)＋n(y－y0)＋t(z－z0)＝0.则下列说法正确的是(　ACD　)
A．已知平面α：x＋2y＋z－2＝0，直线l1：则l1⊥α
B．已知平面α：x＋2y＋z－2＝0，直线l2：x－2＝y－1＝，则l2到α的距离为
C．已知平面β：3x－5y＋z＝7，直线l3：x＝3y－7＝，则l3与β所成角的正弦值为
D．已知平面β：3x－5y＋z＝7，直线l4：x－a2＝y－a＝（a为任意实数），当a≠1且a≠时，l4∥β
解析：平面α：x＋2y＋z－2＝0，即α：x＋2y＋(z－2)＝0，则平面α的法向量v1＝(1，2，1)，直线l1：即l1：2x＝y＝2z－4 ＝＝，直线l1的方向向量u1＝，则v1＝2u1，即l1⊥α，A正确；平面α：x＋2y＋(z－2)＝0过点A(0，0，2)，法向量v1＝(1，2，1)，直线l2：x－2＝y－1＝ x－2＝y－1＝过点B(2，1，1)，直线l2的方向向量u2＝(1，1，－3)，则v1·u2＝1×1＋2×1＋1×(－3)＝0，即v1⊥u2，又点(2，1，1)不满足方程x＋2y＋z－2＝0，则l2∥平面α，又＝(2，1，－1)，则直线l2到平面α的距离d＝＝＝，B错误；平面β：3x－5y＋z＝7的法向量v2＝(3，－5，1)，直线l3：x＝3y－7＝，即l3：＝＝，直线l3的方向向量u3＝，cos 〈v2，u3〉＝＝，所以l3与β所成角的正弦值为，C正确；平面β：3x－5y＋z＝7的法向量v2＝(3，－5，1)，直线l4：x－a2＝y－a＝，过点(a2，a，9)，直线l4的方向向量u4＝(1，1，2)，则v2·u4＝3×1＋(－5)×1＋1×2＝0，又当a≠1且a≠时，点(a2，a，9)不在平面β上，所以l4∥β，D正确．故选ACD.