第三章　3.1　导数的概念及其意义、导数的运算（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

　一元函数的导数及其应用
3．1　导数的概念及其意义、导数的运算
1．了解导数的概念，理解导数的几何意义，掌握基本初等函数的导数．
2．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|x＝x0．
f′(x0)＝ ＝ ．
(2)函数y＝f(x)的导函数f′(x)＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα-1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
(3)′＝ (g(x)≠0).
(4)[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
教材拓展
1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数．
2．曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率．(　√　)
(2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．(　×　)
(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　×　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　×　)
2．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T1，2改编)函数y＝的导数为；函数y＝3xe-3x的导数为3xe-3xln 3－3x+1e-3x．
解析：y′＝＝.
y′＝(3x)′e-3x＋3x(e-3x)′＝3xe-3xln 3－3x+1e-3x.
3．(人教A版选择性必修第二册P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)＝f′cos x－sin x，则f′＝1－．
解析：f′(x)＝－f′sin x－cos x，令x＝，得f′＝－f′－，解得f′＝1－.
4．(人教A版选择性必修第二册P82T11改编)已知曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与曲线y＝a ln x＋2在点(1，2)处的切线平行，则a＝2e．
解析：由y＝xex，得y′＝ex(x＋1)，所以该曲线在点(1，e)处的切线斜率为2e.由y＝a ln x＋2，得y′＝，所以该曲线在点(1，2)处的切线斜率为a.因为两切线平行，所以a＝2e.
考点1 导数的概念
【例1】　已知f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1) ；
(2) .
【解】　(1)∵ ＝f′(x0)，即 ＝f′(x0)＝k，
∴ ＝.
(2)∵ ＝k，
∴ ＝2k.
由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝ ，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，分子为函数值的改变量，分母是自变量的改变量，要注意公式的变形．
【对点训练1】　计算： ＝(　D　)
A．0 B．cos 2x
C．2cos x D．2cos 2x
解析：设f(x)＝sin 2x，则
＝ ＝f′(x)＝(sin 2x)′＝2cos 2x.故选D.
考点2 导数的运算
【例2】　求下列函数的导数．
(1)f(x)＝x2ex；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝ln (1－2x).
【解】　(1)f′(x)＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.
(2)f′(x)＝＝.
(3)f′(x)＝＝
＝＝.
(4)f′(x)＝·(1－2x)′＝·(－2)＝.
求导数的几种情况
(1)乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)三角形式：先利用三角函数公式化简，再求导．
(6)复合函数形式：确定复合关系，由外向内或由内向外逐层求导．
【对点训练2】　(1)设f′(x)是f(x)的导函数，已知f(x)＝2f′(1)x－x2＋ln x＋1，则f(1)＝(　D　)
A． B．1
C． D．2
解析：f′(x)＝2f′(1)－2x＋，当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)－2＋1，解得f′(1)＝1，所以f(x)＝2x－x2＋ln x＋1，f(1)＝2－1＋0＋1＝2.故选D.
(2)(多选)下列求函数的导数正确的是(　ABC　)
A．′＝
B．()′＝
C．(e5x-4)′＝5e5x-4
D．′＝－2cos
解析：对于A，′＝＝＝，故A正确；对于B，()′＝[(2x－1)]′＝(2x－1)－×2＝，故B正确；对于C，(e5x-4)′＝e5x-4×5＝5e5x-4，故C正确；对于D，′＝cos ×2＝2cos ，故D错误．故选ABC.
考点3 导数的几何意义
命题角度1　求曲线的切线方程
【例3】　(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　A　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【解析】　f(x)＝，则f′(x)＝，故f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线的方程为y＝3x＋1，令x＝0，解得y＝1，令y＝0，解得x＝－，故所求三角形的面积为S＝××1＝.故选A.
(2)过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为(　A　)
A．y＝x B．y＝2x
C．y＝x D．y＝ex
【解析】　由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，把(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A.
命题角度2　求参数
【例4】　(2024·河北保定三模)已知二次函数y＝ax(x－b)(b≠0，且b≠1)的图象与曲线y＝ln x交于点P，与x轴交于点A(异于原点O)，若曲线y＝ln x在点P处的切线为l，且l与AP垂直，则a的值为(　B　)
A．－ B．－1
C．－ D．－2
【解析】　易知A(b，0)，设P(t，ln t)，联立y＝ln x与y＝ax(x－b)，可得ln x＝ax(x－b)，故ln t＝at(t－b).由y＝ln x，得y′＝，所以kl＝，kPA＝.因为l⊥PA，所以kl·kPA＝＝－1，即ln t＝－t(t－b)，又ln t＝at(t－b)，所以a＝－1.故选B.
命题角度3　公切线问题
【例5】　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝ln 2．
【解析】　方法一　由y＝ex＋x，可得y′＝ex＋1，曲线在点(0，1)处的切线的斜率为e0＋1＝2，切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，设该切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点的横坐标为x，可得切线的斜率为＝2，可得x＝－，把x＝－代入y＝2x＋1，可得切点坐标为.因为切点在曲线y＝ln (x＋1)＋a上，所以0＝ln ＋a，解得a＝ln 2.
方法二(切线重合)　由y＝ex＋x，可得y′＝ex＋1，曲线在点(0，1)处的切线的斜率为e0＋1＝2，切线方程为y－1＝2x，即y＝2x＋1.设该切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为－，ln ＋a，切线方程为y＝2＋ln ＋a＝2x＋1＋a－ln 2.根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
1．求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
2．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的关系列出有关参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
3．公切线问题应根据两条曲线在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程(组)求解．
【对点训练3】　(1)(2023·全国甲卷文)曲线y＝在点处的切线方程为(　C　)
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
解析：y′＝＝，当x＝1时，y′＝，则曲线y＝在点
处的切线斜率k＝，所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋.故选C.
(2)(2024·福建漳州一模)若曲线y＝aex-2＋x在点(2，2＋a)处的切线方程为y＝4x＋b，则a＋b＝(　C　)
A．3 B．－3
C．0 D．1
解析：因为y＝aex-2＋x，所以y′＝aex-2＋1，由题意可得解得所以a＋b＝0.故选C.
(3)若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝(　C　)
A．－1 B．1
C．2 D．e
解析：对于函数y＝ex，y′＝ex，则当x＝0时，y′＝e0＝1，又当x＝0时，y＝e0＝1，所以曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1.设直线y＝x＋1与曲线y＝ln x＋b相切于点(t，ln t＋b)，对于函数y＝ln x＋b，其导数为y′＝，由导数的几何意义可得＝1，得t＝1，所以切点坐标为(1，b)，代入切线方程得b＝1＋1＝2.故选C.
【例】　(2024·浙江温州一模)已知0A．< B．>
C．x1＋x3<2x2 D．x1＋x3＞2x2
【解析】　由题意知f′(x)＝cos x，则曲线在点(xi，sin xi)处的切线斜率ki＝cos xi＝(注意切线过原点)，即xi＝＝tan xi，所以＝1，故A，B错误．同时xi可看作直线y＝x与曲线y＝tan x在(0，4π)内的3个交点的横坐标．作函数y＝tan x与y＝x的图象，如图，设A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)，C(x3，tan x3)，易知D(x2－π，tan x2)，E(x2＋π，tan x2).由正切函数图象性质知kAD＜kEC，得<，即<，又x2－π－x1＞0，x3－x2－π＞0，所以(x2－x1)(x3－x2－π)＜(x3－x2)(x2－π－x1)，即x1π＋x3π＜2πx2，即x1＋x3＜2x2，故C正确，D错误．故选C.
本题通过切线斜率考查导数的几何意义，判断选项C，D是否正确的关键是根据tan xi＝xi(i＝1，2，3)构造tan x＝x，通过转化思想和数形结合思想分析，将计算问题转化为图象问题，减少计算量，体现新高考的变化趋势．
课时作业17
1．（5分）（2024·湖北襄阳二模）已知函数f(x)＝x2＋，则 ＝(　B　)
A．1 B．
C．2 D．4
解析：由题意知，f′(x)＝2x－，则f′(1)＝1，所以 ＝
＝f′(1)＝.故选B.
2．（5分）若函数y＝f(x)在x＝x0处的导数等于a，则 的值为(　C　)
A．0 B．a
C．2a D．3a
解析：由已知得 ＝
＝ ＋ ＝2f′(x0)＝2a.故选C.
3．（5分）已知函数f(x)＝3f′(1)x－x2＋，则f′(1)＝(　A　)
A．1 B．2
C． D．－
解析：因为f′(x)＝3f′(1)－2x，令x＝1，得f′(1)＝3f′(1)－2 f′(1)＝1.故选A.
4．（5分）（2024·河北保定三模）曲线y＝f(x)＝ex－3x在点(0，f（0)）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　C　)
A． B．
C． D．
解析：由f(x)＝ex－3x，得f′(x)＝ex－3，则f(0)＝1，f′(0)＝－2，所以曲线y＝f(x)＝ex－3x在点(0，f（0)）处的切线方程为y＝－2x＋1.令y＝0，得x＝，令x＝0，得y＝1，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为××1＝.故选C.
5．（5分）已知函数f(x)＝ln x＋x，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切点P的坐标为(　B　)
A．(1，1) B．(e，e＋1)
C． D．(e2，e2＋2)
解析：由题意可知f′(x)＝＋1，设切点为P(x0，ln x0＋x0)，则切线方程为y＝＋1(x－x0)＋ln x0＋x0，因为切线过原点，所以0＝(－x0)＋ln x0＋x0＝ln x0－1，解得x0＝e，则P(e，e＋1).故选B.
6．（5分）（2024·浙江绍兴二模）曲线y＝f(x)＝x＋a ln x在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　A　)
A．1 B．2
C．－1 D．－2
解析：f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋a，因为曲线y＝f(x)在点(1，1)处的切线与直线y＝2x平行，所以f′(1)＝1＋a＝2，解得a＝1.故选A.
7．（6分）（多选）下列求导运算正确的是(　ABD　)
A．(ex)′＝ex
B．′＝－
C．′＝
D．(3x sin 2x)′＝3x(ln 3·sin 2x＋2cos 2x)
解析：对于A，根据导数公式表可知(ex)′＝ex，所以A正确；对于B，易知′＝(ln x＋3x-1)′＝＋3×(－1)x-1-1＝－，所以B正确；对于C，利用导数的除法法则可知′＝＝，所以C错误；对于D，利用复合函数求导及导数的乘法法则得(3x sin 2x)′＝(3x)′sin 2x＋3x(sin 2x)′＝3x ln 3·sin 2x＋3x cos 2x(2x)′＝3x(ln 3·sin 2x＋2cos 2x)，所以D正确．故选ABD.
8．（6分）（多选）（2024·湖南长沙二模）下列函数的图象与直线y＝x＋1相切的有(　AC　)
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝sin x＋1 D．y＝x3＋1
解析：对于A，若y＝ex的图象与直线y＝x＋1相切，设切点为(x1，y1)，易知y′＝ex，则ex1＝1，解得x1＝0，即切点为(0，1)，切线方程为y＝x＋1，A正确；对于B，若y＝ln x的图象与直线y＝x＋1相切，设切点为(x2，y2)，易知y′＝(ln x)′＝，则＝1，解得x2＝1，即切点为(1，0)，切线方程为y＝x－1，B错误；对于C，若y＝sin x＋1的图象与直线y＝x＋1相切，设切点为(x3，y3)，易知y′＝cos x，则cos x3＝1，解得x3＝2kπ，k∈Z，当k＝0时，切点为(0，1)，切线方程为y＝x＋1，C正确；对于D，易知y＝x3＋1的图象与直线y＝x＋1有三个交点(0，1)，(1，2)，(－1，0)，又y′＝3x2，显然在三个交点处的切线斜率均不是1，所以直线y＝x＋1不是切线，D错误．故选AC.
9．（5分）（2024·陕西安康模拟）已知函数f(x)的图象在点(1，f（1)）处的切线方程是x－2y＋1＝0，若h(x)＝，则h′(1)的值为－．
解析：将x＝1代入切线方程x－2y＋1＝0，得y＝1，故f(1)＝1，由切线方程可知f′(1)＝，h′(x)＝，故h′(1)＝＝－.
10．（5分）写出与函数f(x)＝sin x在x＝0处有公共切线的一个函数g(x)＝x2＋x（答案不唯一）．
解析：由题知f(0)＝0，f′(x)＝cos x，f′(0)＝1，若g(x)与f(x)在x＝0处有公共切线，需满足g(0)＝0，g′(0)＝1即可，取g(x)＝x2＋x，则g′(x)＝2x＋1，显然满足g(0)＝0，g′(0)＝1.（答案不唯一）
11．（16分）求下列函数的导数：
(1)y＝(2x＋3)10；
(2)y＝e2x+1；
(3)y＝ln (3x－2)；
(4)y＝sin 4x.
解：(1)y′＝10(2x＋3)9·(2x＋3)′＝20(2x＋3)9.
(2)y′＝e2x+1·(2x＋1)′＝2e2x+1.
(3)y′＝·(3x－2)′＝x>．
(4)y′＝cos 4x·(4x)′＝4cos 4x.
12．（17分）已知函数f(x)＝x3－3x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处的切线方程；
(2)求曲线y＝f(x)过点(2，－6)的切线方程．
解：(1)因为f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，所以f′(1)＝0，所以切线斜率为0，
又因为f(1)＝13－3×1＝－2，所以切点坐标为(1，－2)，
故曲线y＝f(x)在点(1，f（1)）处的切线方程为y＋2＝0.
(2)因为f′(x)＝3x2－3，设切点为（x0，x－3x0），则f′(x0)＝3x－3，所以切线方程为y－（x－3x0）＝（3x－3）(x－x0)，
则－6－（x－3x0）＝（3x－3）(2－x0)，即2x－6x＝0，解得x0＝0或x0＝3，
所以切点为(0，0)或(3，18)，切线的斜率为－3或24，所以切线方程为y＝－3x或y－18＝24(x－3)，即切线方程为3x＋y＝0或24x－y－54＝0.
13．（5分）（2024·湖南娄底一模）若直线ex－4y＋eln 4＝0是指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）图象的一条切线，则底数a＝(　D　)
A．2或 B．e
C． D．e或
解析：设切点坐标为(x0，)，对函数y＝ax求导得y′＝ax ln a，切线方程ex－4y＋eln 4＝0化成斜截式为y＝x＋，由题设知显然ln a>0，即a>1，由＝，得＝，即＝x0＋ln 4，即1＝x0·ln a＋ln a·ln 4＝ln ＋
ln 4ln a＝ln (·4ln a)，即e＝·4ln a＝·4ln a，化简得4ln a＝4ln a，令ln a＝t>0，即4t＝4t，利用指数函数与一次函数的性质可知，t＝1或t＝，即ln a＝1或ln a＝，解得a＝e或a＝.故选D.
14．（5分）（2024·河北沧州模拟）已知直线l：y＝kx是曲线y＝f(x)＝ex+1和y＝g(x)＝ln x＋a的公切线，则实数a＝3．
解析：设直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，由f′(x)＝ex+1，得k＝f′(x0)＝，因为l与曲线y＝f(x)＝ex+1相切，所以消去y0，得x0＝，解得x0＝1.设l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，y1)，由g′(x)＝，得k＝e2＝，即e2x1＝1，因为(x1，y1)是l与曲线y＝g(x)＝ln x＋a的公共点，所以消去y1，得e2x1＝ln x1＋a，即1＝ln ＋a，解得a＝3.
15．（5分）（2024·山东淄博一模）已知定义在R上的函数f(x)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的定义域也是R，f(x)满足f(x＋1 012)－f(1 013－x)＝4x＋1，则′(i)＝4 048．
解析：对f(x＋1 012)－f(1 013－x)＝4x＋1两边同时求导，得f′(x＋1 012)＋f′(1 013－x)＝4，即f′(x)＋f′(2 025－x)＝4，则f′(1)＋f′(2 024)＝4，f′(2)＋f′(2 023)＝4，…，f′(1 012)＋f′(1 013)＝4，则′(i)＝4×1 012＝4 048.