第三章　3.2　导数与函数的单调性（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

3．2　导数与函数的单调性
1．理解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性．
2．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．
1．函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f′(x)的正负之间具有如下的关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内单调递减．
2．利用导数判断函数f(x)单调性的步骤
第1步，确定函数f(x)的定义域和导数f′(x)；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
教材拓展
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．
2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)＜0有解．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.(　×　)
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根为有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．(　√　)
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)＞0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　×　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　√　)
2．（人教A版选择性必修第二册P87T3改编）函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是(　C　)
A．f(x)在(－3，1)上单调递增
B．f(x)在(1，3)上单调递减
C．f(x)在(2，4)上单调递减
D．f(x)在(3，＋∞)上单调递增
解析：当x∈(－3，0)时，f′(x)<0，故f(x)在(－3，0)上单调递减，当x∈(0，2)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，2)上单调递增，当x∈(2，4)时，f′(x)<0，故f(x)在(2，4)上单调递减，当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(4，＋∞)上单调递增，显然C正确，其他选项错误．故选C.
3．（人教A版选择性必修第二册P97习题5.3T2改编）函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是(－∞，－2)，．
解析：由f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)＞0，得x＜－2或x＞，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，.
4．（人教A版选择性必修第二册P89T2改编）若函数f(x)＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是[－3，0]．
解析：由题知f′(x)＝3x2＋2ax－a≥0在R上恒成立，所以4a2＋12a≤0，解得－3≤a≤0.
考点1 不含参函数的单调性
【例1】　（2024·湖南怀化二模）已知f(x)＝2x2－3x－ln x，则f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
【解析】　函数f(x)＝2x2－3x－ln x的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝4x－3－＝，由f′(x)>0，得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意：一是单调性应在函数的定义域内讨论；二是多个单调性相同的单调区间之间不能用并集，要用“，”或“和”隔开．
【对点训练1】　(1)定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝x sin x＋cos x，则f(x)的单调递减区间是(　D　)
A．∪
B．和
C．∪
D．和
解析：由f(x)＝x sin x＋cos x，可得f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＝x cos x．令f′(x)＝x cos x<0，当x∈(－π，0)时，由x cos x<0可得cos x>0，解得x∈；当x∈(0，π)时，由x cos x<0可得cos x<0，解得x∈.因此可得f(x)在(－π，π)上的单调递减区间是和.故选D.
(2)（多选）（2024·山西晋城一模）若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　BC　)
A．函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞）上纯粹递增
B．函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增
C．函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减
D．函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减
解析：若f(x)＝x2－2x，则f′(x)＝2x－2，因为f′(1)＝0，所以A错误．若f(x)＝x3－2x，则f′(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f′(x)>0恒成立，所以B正确．若f(x)＝sin x－2x，则f′(x)＝cos x－2<0，所以C正确．若f(x)＝ex－3x，则f′(x)＝ex－3<0在[0，2]上不恒成立，所以D错误．故选BC.
考点2 含参函数的单调性
【例2】　已知函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x，其中a>0，讨论f(x)的单调性．
【解】　函数f(x)＝ax2－(a＋4)x＋2ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋4)＋＝＝.
当a>0时，由f′(x)＝0，可得x1＝，x2＝.
当0，当当0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增；
当a＝4时，＝，对任意的x>0，f′(x)≥0，此时函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>4时，0<<，当当0时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增．
综上所述，当0当a＝4时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>4时，函数f(x)在，上单调递增，在上单调递减．
1．研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2．划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数值为零的点和函数的间断点．
3．若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内．
【对点训练2】　已知曲线y＝f(x)＝aex－x＋b在x＝0处的切线过点(1，a2＋2a－1).
(1)试求b－a2的值；
(2)讨论f(x)的单调性．
解：(1)函数f(x)＝aex－x＋b，求导得f′(x)＝aex－1，则f′(0)＝a－1，而f(0)＝a＋b，因此曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－a－b＝(a－1)x，即y＝(a－1)x＋a＋b.
依题意，a2＋2a－1＝a－1＋a＋b，所以b－a2＝0.
(2)由题意知函数f(x)＝aex－x＋a2，其定义域为R，求导得f′(x)＝aex－1.
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，由f′(x)＝aex－1＝0，得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f′(x)<0，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
当x>－ln a时，f′(x)>0，f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增．
所以当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a>0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
考点3 函数单调性的应用
命题角度1　求参数的取值范围
【例3】　（2024·江苏泰州模拟）若函数f(x)＝sin 2x－a cos x在(0，π)上单调递增，则a的取值范围是(　D　)
A.(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
【解析】　因为函数f(x)＝sin 2x－a cos x在(0，π)上单调递增，所以f′(x)＝cos 2x＋a sin x≥0在(0，π)上恒成立，即1－2sin2x＋a sinx≥0在(0，π)上恒成立．令t＝sin x，x∈(0，π)，则t∈（0，1]，所以a≥2t－在（0，1]上恒成立．又因为y＝2t－在（0，1]上单调递增，所以当t＝1时，ymax＝1，故a≥1.故选D.
命题角度2　比较大小或解不等式
【例4】　(1)已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　A　)
A．f>f(1)>f
B．f(1)>f>f
C．f>f(1)>f
D．f>f>f(1)
【解析】　由f(x)＝x sin x，x∈R，得f′(x)＝sin x＋x cos x，当00，所以f(x)在上单调递增．因为>>1>>0，所以f>f(1)>f.故选A.
(2)已知f(x)＝sin x－x＋1，则不等式f(m2)＋f(3m＋2)>2的解集为(　B　)
A．(－3，0)
B．(－2，－1)
C．(－∞，－3)∪(0，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(－1，＋∞)
【解析】　令g(x)＝f(x)－1＝sin x－x，则g′(x)＝cos x－1≤0，所以函数g(x)在R上单调递减，因为g(－x)＝－sin x＋x＝－g(x)，所以函数g(x)为奇函数，由f(m2)＋f(3m＋2)>2，得f(m2)－1>－f(3m＋2)＋1＝－[f(3m＋2)－1]，即g(m2)>－g(3m＋2)＝g(－3m－2)，所以m2<－3m－2，解得－22的解集为(－2，－1).故选B.
1．根据函数单调性求参数的方法
(1)f(x)在(a，b)上为增（减）函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′（x)≤0），且在(a，b)的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0（或f′(x)<0）在该区间上存在解集．
(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解（需验证解附近左右两侧导数是否异号）.
2．利用导数比较大小或解不等式，其关键是判断已知（或构造后的）函数的单调性，利用其单调性比较大小或解不等式．
泰勒展开式
1．教材母题：（人教A版必修第一册P256T26）
英国数学家泰勒给出如下公式：
sin x＝x－＋－＋…，
cos x＝1－＋－＋…，
其中n！＝1×2×3×4×…×n.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．比如，用前三项计算cos 0.3，就得到cos 0.3≈1－＋＝0.955 337 5.
试用你的计算工具计算cos 0.3，并与上述结果比较．
2．常见的泰勒展开式
(1)ex＝1＋x＋＋＋…＋＋….
(2)ln (x＋1)＝x－＋－＋…＋(－1)n+1·＋….
(3)sin x＝x－＋－＋…＋(－1)n-1·＋….
(4)cos x＝1－＋－＋…＋(－1)n-1·＋….
3．泰勒展开式将各种类型的函数（指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数等）与多项式函数联系起来，这样在局部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其比较大小．　
【典例】　已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　A　)
A．c>b>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
【解析】　由题意知a＝.由泰勒展开式，得cos x≈1－＋，sin x≈x－＋，所以b＝cos ≈1－×＋×＝＋×，c＝4sin ≈4×－×＋× ＝1－×＋×＝＋×，所以a【对点训练3】　(1)（2024·云南昆明模拟）已知函数f(x)＝a sin x＋cos x，若存在x1，x2∈，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围是(　C　)
A．（－∞，1] B．[，＋∞）
C．（1，） D．[1，]
解析：存在x1，x2∈，且x1≠x2，使得f(x1)＝f(x2)，等价于函数f(x)在
上不是单调函数．易知f′(x)＝a cos x－sin x，若函数f(x)为单调递增函数，则f′(x)≥0恒成立，即a cos x－sin x≥0，所以a≥＝tan x在x∈上恒成立，则a≥；同理，若函数f(x)为单调递减函数，则f′(x)≤0恒成立，得a≤1.故若函数f(x)在上不单调，则1(2)已知函数f(x)＝x－sin x，则不等式f(x＋1)＋f(1－2x)>0的解集是(－∞，2)．
解析：因为函数f(x)＝x－sin x，所以f(－x)
＝－x＋sin x＝－f(x)，即函数f(x)是定义在R上的奇函数．
又f′(x)＝1－cos x≥0，则函数f(x)为增函数，则不等式f(x＋1)＋f(1－2x)>0等价于f(x＋1)>－f(1－2x)＝f(2x－1)，即x＋1>2x－1，解得x<2，所以原不等式的解集为(－∞，2).
课时作业18
1．（5分）函数f(x)＝1＋x－sin x(　A　)
A．在(0，2π)上是增函数
B．在(0，2π)上是减函数
C．在(0，π)上单调递增，在(π，2π)上单调递减
D．在(0，π)上单调递减，在(π，2π)上单调递增
解析：∵f(x)＝1＋x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x，当x∈(0，2π)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，2π)上单调递增．故选A.
2．（5分）设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为(　C　)
解析：由题图可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，所以y＝f′(x)<0在(－∞，0)上恒成立，故B，D错误；函数f(x)在(0，＋∞)上先递减后递增再递减，所以y＝f′(x)在(0，＋∞)上应为负、正、负的趋势，故A错误，C正确．故选C.
3．（5分）（2024·四川成都模拟）函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　D　)
A．(－1，1] B．[－1，1]
C．[1，＋∞) D．（0，1]
解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，令f′(x)≤0，解得04．（5分）函数f(x)＝－2的单调递减区间为(1，＋∞)，则a＝(　B　)
A． B．1
C．e D．e2
解析：f′(x)＝＝，因为f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)，而f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以f(x)的一个极值点为1，所以f′(1)＝＝0，解得a＝1，所以f(x)＝－2，f′(x)＝，令f′(x)<0，解得x>1，所以f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)，符合题意．综上，a＝1.故选B.
5．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨模拟）若函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1，4]上单调递增，则实数a的取值范围为(　A　)
A．(－∞，－1] B．（－∞，－1)
C． D．
解析：因为函数h(x)＝ln x－ax2－2x在[1，4]上单调递增，所以h′(x)＝－ax－2≥0在[1，4]上恒成立，即a≤－在[1，4]上恒成立，令G(x)＝－，x∈[1，4]，变形得G(x)＝－1，因为x∈[1，4]，所以∈，所以当＝1，即x＝1时，G(x)min＝－1，所以a≤－1.故选A.
6．（5分）（2024·安徽合肥模拟）已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，记a＝f，b＝f，c＝f，则(　B　)
A．b>a>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
解析：f(x)＝ln x＋ln (2－x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝＋＝＋＝，令f′(x)>0可得0c>a.故选B.
7．（6分）（多选）已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　BD　)
A．(－1，0) B．(－2，－1)
C．(－1，3) D．(3，4)
解析：f′(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex，令f′(x)>0，可得x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)，所以f(x)在(－2，－1)与(3，4)上单调递增．故选BD.
8．（6分）（多选）已知函数f(x)＝，当0A．f(2x)>[f(x)]2 B．f(2x)<[f(x)]2
C．f(x2)f(x)
解析：函数f(x)＝，当00，所以f(2x)>[f(x)]2，A正确，B错误．当00，所以f(x)在(0，1)上单调递增，此时x2－x＝x(x－1)<0，得09．（5分）函数y＝ex－5x的单调递增区间为(ln 5，＋∞)．
解析：因为y＝ex－5x，所以y′＝(ex－5x)′＝ex－5，令y′＝ex－5>0，解得x>ln 5，所以y＝ex－5x的单调递增区间为(ln 5，＋∞).
10．（5分）已知函数f(x)＝－x2－3x＋4ln x在(t，t＋2)上不单调，则实数t的取值范围是[0，1）．
解析：由题意，f′(x)＝－x－3＋＝－，x∈(0，＋∞)，当f′(x)＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4（舍去）或x＝1.∵f(x)在(t，t＋2)上不单调，且(t，t＋2) (0，＋∞)，∴可得t∈[0，1）.
11．（18分）已知函数f(x)＝(－x2＋ax)ex，a∈R.
(1)若f′(0)＝1，求实数a的值；
(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex，∴f′(0)＝1 a＝1.
(2)f′(x)≥0 (－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex≥0 －x2＋ax－2x＋a≥0 x2－ax＋2x－a≤0 a(x＋1)≥x2＋2x，
则函数f(x)在(－1，1)上单调递增，等价于a(x＋1)≥x2＋2x在(－1，1)上恒成立，
即a≥＝＝x＋1－在(－1，1)上恒成立，
y＝x＋1－在(－1，1)上单调递增，故y＝x＋1－<，∴a≥.
故a的取值范围是.
12．（19分）已知函数f(x)＝x3＋x2＋(a－1)x＋1.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f（2)）处的切线与直线6x＋y＋1＝0平行，求出这条切线的方程；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
解：(1)f′(x)＝x2＋ax＋a－1，
∴f′(2)＝3a＋3，
由已知f′(2)＝－6，∴3a＋3＝－6，得a＝－3，∴f(2)＝－，
∴曲线y＝f(x)在点(2，f（2)）处的切线方程为y＋＝－6(x－2)，
化简得18x＋3y－5＝0.
(2)f(x)＝x3＋x2＋(a－1)x＋1的定义域为R，f′(x)＝(x＋a－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0得x＝1－a或x＝－1.
①当1－a<－1，即a>2时，
令f′(x)>0得x>－1或x<1－a，令f′(x)<0得1－a故f(x)在(1－a，－1)上单调递减，在(－∞，1－a)，(－1，＋∞)上单调递增；
②当1－a＝－1，即a＝2时，f′(x)＝(x＋1)2≥0恒成立，故f(x)在R上单调递增；
③当1－a>－1，即a<2时，
令f′(x)>0得x>1－a或x<－1，令f′(x)<0得－1故f(x)在(－1，1－a)上单调递减，在(－∞，－1)，(1－a，＋∞)上单调递增．
综上，当a>2时，f(x)在(1－a，－1)上单调递减，在(－∞，1－a)，(－1，＋∞)上单调递增；
当a＝2时，f(x)在R上单调递增；
当a<2时，f(x)在(－1，1－a)上单调递减，在(－∞，－1)，(1－a，＋∞)上单调递增．
13．（5分）（2024·福建泉州模拟）已知sin 10°∈，n∈Z，则n的值为(　A　)
A．5　　　 B．4
C．3　　　 D．2
解析：sin 3x＝sin (2x＋x)＝sin 2x·cos x＋cos 2x sin x＝2sin x cos x·cos x＋(1－2sin2x)sinx＝2sin x(1－sin2x)＋sinx－2sin3x＝3sinx－4sin3x，所以sin30°＝3sin 10°－4sin310°＝，即sin10°是方程4x3－3x＋＝0的一个实数根．令f(x)＝4x3－3x＋，则f′(x)＝12x2－3＝3(2x＋1)(2x－1)，显然00，f＝4×－3×＋＝－<0，所以sin 10°∈，即n＝5.故选A.
14．（6分）（多选）（2025·八省联考）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝，则(　ACD　)
A．双曲正弦函数是增函数
B．双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
D．tanh(x＋y)＝
解析：对于A，令f(x)＝sinh x＝，则f′(x)＝>0，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g(x)＝cosh x＝，则g′(x)＝，由A知，g′(x)为增函数，又g′(0)＝＝0，故当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，tanh x＝＝＝＝＝1－，易知y＝e2x＋1在R上单调递增，故tanh x＝1－是增函数，故C正确；对于D，由C知tanh x＝，则tanh(x＋y)＝，＝＝＝＝，故tanh(x＋y)＝
，故D正确．故选ACD.