第三章　3.3　导数中的函数构造问题（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

3．3　导数中的函数构造问题
会根据已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式等问题．
考点1 通过导数的运算法则构造函数
命题角度1　利用f(x)与xn构造函数
【例1】　设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则不等式f(x)<0的解集为(　B　)
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】　设F(x)＝，x≠0，则F′(x)＝.因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以当x>0时，F′(x)<0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递减．由于f(x)是奇函数，所以F(－x)＝＝＝F(x)，又F(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，所以F(x)是偶函数，所以F(x)在(－∞，0)上单调递增．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以当x<－1或x>1时，F(x)＝<0；当－10，所以当－11时，f(x)<0，即不等式f(x)<0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞).故选B.
命题角度2　利用f(x)与ex构造函数
【例2】　（多选）已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)＜f(x)对于x∈R恒成立，则(　AC　)
A．f(2)＜e2f(0) B．f(2)＞e2f(0)
C．e2f(－1)＞f(1) D．e2f(－1)＜f(1)
【解析】　构造F(x)＝，则F′(x)＝＝，又导函数f′(x)满足f′(x)＜f(x)，则F′(x)＜0，F(x)在R上是减函数，故＞＞＞，所以f(2)＜e2f(0)，e2f(－1)＞f(1).故选AC.
命题角度3　利用f(x)与sin x，cos x构造函数
【例3】　已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有(　C　)
A．f>f
B．f>f
C．f>f
D．f【解析】　令g(x)＝，x∈，则g′(x)＝，因为cosx·f′(x)＋sin x·f(x)<0，所以g′(x)<0，则g(x)＝在上单调递减，所以<<，即<<，故f>f，f>f.故选C.
1．利用f(x)与xn构造函数
(1)如果题目中出现nf(x)＋xf′(x)的形式，可构造函数F(x)＝xnf(x).
(2)如果题目中出现xf′(x)－nf(x)的形式，可构造函数F(x)＝.
2．利用f(x)与ex构造函数
(1)对于f′(x)＋nf(x)＞0（或＜0），构造函数F(x)＝enxf(x).
(2)对于f′(x)－nf(x)＞0（或＜0），构造函数F(x)＝.
3．利用f(x)与sin x，cos x构造函数
(1)若F(x)＝f(x)sin x，则F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x．
(2)若F(x)＝，则F′(x)＝.
(3)若F(x)＝f(x)cosx，则F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x.
(4)若F(x)＝，则F′(x)＝.
【对点训练1】　(1)已知f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，且 x∈R，f′(x)>2x，f(2)＝5，则不等式f(x)>x2＋1的解集为(　B　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．（－∞，） D．（，＋∞）
解析：设g(x)＝f(x)－x2，则g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以g(x)在R上单调递增．又f(2)＝5，所以g(2)＝f(2)－22＝1，不等式f(x)>x2＋1，即f(x)－x2>1，即g(x)>g(2)，所以x>2，即不等式f(x)>x2＋1的解集为(2，＋∞).故选B.
(2)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，f(0)＝0且f(x)＋f′(x)>0，则不等式f(x2＋4x－5)>0的解集为(　A　)
A．(－∞，－5)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1)∪(5，＋∞)
C．(－5，1)
D．(－1，5)
解析：设g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，故g(x)在R上单调递增．又g(0)＝e0f(0)＝0，故f(x2＋4x－5)>0可转化为ex2＋4x－5f(x2＋4x－5)>0，即g(x2＋4x－5)>g(0).由g(x)在R上单调递增可得x2＋4x－5>0，解得x<－5或x>1，即不等式f(x2＋4x－5)>0的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞).故选A.
(3)设f(x)是定义在(－π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，π)时，f′(x)sinx－f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2fsin x的解集为0∪．
解析：令g(x)＝，x∈(－π，0)∪(0，π)，则g′(x)＝，∵当x∈(0，π)时，f′(x)sinx－f(x)cos x<0，
∴在(0，π)上，g′(x)<0，∴函数g(x)在(0，π)上单调递减．∵y＝f(x)，y＝sin x均是奇函数，∴函数g(x)是偶函数，∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增．当x∈(0，π)时，sin x>0，则不等式f(x)<2fsin x可化为<，即g(x)＝，即g(x)>g，
∴－考点2 通过变量构造具体函数
【例4】　已知x，y为正实数，ln x＋ln y＝－x，则(　C　)
A．x＞y B．x＜y
C．x＋y＞1 D．x＋y＜1
【解析】　由ln x＋ln y＝－x，得ln x＋x＝－ln y＋＝ln ＋，构造函数f(x)＝ln x＋x，x>0，则f′(x)＝＋1>0，可知f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上递增．结合ln x＋x＝ln ＋，得x＝，即xy＝1，因为x>0，y>0，由基本不等式可知x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，所以x＋y>1.故选C.
若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并利用函数的单调性求解．
【对点训练2】　（2024·陕西安康模拟）若0A．＋ln x1> ＋ln x2
B．＋ln x1< ＋ln x2
C．x2 >x1
D．x2 解析：设f(x)＝ex－ln x，x>0，则f′(x)＝ex－，令h(x)＝ex－，x>0，则h′(x)＝ex＋>0恒成立，即f′(x)＝ex－在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f′＝e－e<0，f′(1)＝e－1>0，因此在区间上必然存在唯一x0，使得f′(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)时f(x)单调递减，当x∈(x0，1)时f(x)单调递增，故A，B均错误；令g(x)＝，则g′(x)＝，当0x1，故C正确，D错误．故选C.
考点3 通过数值构造具体函数
【例5】　（2024·湖南益阳三模）若a＝2ln 1.1，b＝0.21，c＝tan 0.21，则(　D　)
A．bC．c【解析】　a＝2ln 1.1＝ln 1.12＝ln (1＋0.21).设h(x)＝tan x－x，00，所以h(x)＝tanx－x在上单调递增，所以h(x)＝tan x－x>h(0)＝0，即tan x>x，00，所以f(x)＝x－ln (1＋x)在上单调递增，所以f(x)＝x－ln (1＋x)>f(0)＝0，即x>ln (1＋x)，x∈，所以tan x>x>ln (1＋x)，x∈，从而当x＝0.21时，tan 0.21>0.21>ln 1.21，即a当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小．
【对点训练3】　已知a＝ln ，b＝，c＝e，则(　A　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
解析：设f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，1)，则f′(x)＝>0，所以f(x)单调递增，又f(1)＝0，所以f(x)<0，即ln x，即ln >，所以a>b.设h(x)＝(1－x)ex，x∈(0，1)，则h′(x)＝－xex<0，所以h(x)单调递减，所以h(x)c，所以a>b>c.故选A.
课时作业19
1．（5分）已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，f(0)＝1，且对任意的x满足f′(x)ex的解集是(　B　)
A．(－∞，1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
解析：令g(x)＝，则g′(x)＝＝<0，所以g(x)在R上单调递减．因为f(0)＝1，所以g(0)＝1，不等式f(x)>ex可变形为>1，即g(x)>g(0)，可得x<0.故选B.
2．（5分）函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　B　)
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)为R上的增函数．又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，∴f(x)＞2x＋4等价于g(x)＞g(－1)＝0，解得x＞－1.故选B.
3．（5分）已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(1)＝1，且x2f′(x)＋1>0，则下列式子中一定成立的是(　C　)
A．f>3 B．f>π
C．f(log2e)>ln 2 D．f(ln 3)解析：因为当x>0时，x2f′(x)＋1>0，可得f′(x)＋>0，令g(x)＝f(x)－，可得g′(x)＝f′(x)＋>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(1)＝1，可得g(1)＝f(1)－1＝0.对于A，由gg(1)，即f(log2e)－ln 2>0，可得f(log2e)>ln 2，所以C正确；对于D，由g(ln 3)>g(1)，即f(ln 3)－>0，可得f(ln 3)>log3e，所以D不正确．故选C.
4．（5分）已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对于任意的实数x都有＝e2x，且x>0时，f′(x)>f(x).若a＝，b＝，c＝3f，则a，b，c的大小关系是(　C　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．c>b>a
解析：令g(x)＝，对于任意的实数x都有＝e2x ＝，即g(－x)＝g(x) g(x)为偶函数．a＝g(1)，b＝g(ln 2)，c＝g(－ln 3)＝g(ln 3)，当x>0时，f′(x)>f(x)，则g′(x)＝>0，故当x>0时，g(x)为增函数．又0g(1)>g(ln 2)，即c>a>b.故选C.
5．（5分）已知f′(x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且f(x)－xf′(x)>0，则a＝f(2)，b＝f(e)，c＝f(3)的大小关系为(　B　)
A．bC．a解析：令g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝，因为f(x)－xf′(x)>0，所以g′(x)＝<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为0<2g(e)>g(3)，所以>>，所以a>b>c.故选B.
6．（5分）若x∈，a＝2x，b＝sin x，c＝x，则a，b，c的大小关系为(　D　)
A．cC．b解析：令f(x)＝x－sin x，x∈(0，1)，则f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)>f(0)＝0，即x>sin x在(0，1)上恒成立，则c>b在上恒成立．又当x∈时，a＝2x>20＝1，c＝x<1，所以a>c>b.故选D.
7．（5分）若A．baC．ab解析：因为y＝ax在R上单调递减，且aa>ab>a.因为y＝bx在R上单调递减，且ba>bb>b.令f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1，因为0，所以f(x)在上单调递增．因为8．（5分）设a＝1＋ln 1.03，b＝，c＝1.03，则(　B　)
A．aC．c解析：设g(x)＝ln (x＋1)－x(x>0)，则g′(x)＝－1＝，当x>0时，g′(x)<0，即g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故g(x)1，所以<1.03，即b0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(0.03)>f(0)＝0，即a>b.故选B.
9．（6分）（多选）已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均是(0，＋∞)，x＝2是f(x)的唯一零点，且(x＋1)f′(x)A．2 025f(2 023)>2 024f(2 024)
B．f(1)>0
C．2 026f(2 024)<2 025f(2 025)
D．f(3)>0
解析：令F(x)＝，则F′(x)＝，由题意知(x＋1)f′(x)，>，故A正确，C错误．又x＝2是f(x)的唯一零点，所以F(2)＝0，又F(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以F(1)＝>0，F(3)＝<0，即f(1)>0，f(3)<0，故B正确，D错误．故选AB.
10．（6分）（多选）奇函数f(x)满足对于任意x∈，有f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，其中f′(x)为f(x)的导函数，则下列不等式成立的是(　ABC　)
A．－f<2f
B．f>f
C．f>－f
D．－f>2f
解析：设g(x)＝f(x)sin x，则g′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，所以函数g(x)在上单调递增，且g(－x)＝f(－x)·sin (－x)＝f(x)sin x＝g(x)，所以函数g(x)是偶函数，则g＝gg，即fsin >fsin ，所以f>f，故B正确；g＝gfsin ，即f>－f，故C正确；g＝g11．（6分）（多选）已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的正数x，都满足f(x)A．f(1)<2f B．f(1)C．f(1)<4f－2 D．f(1)>f(2)＋1
解析：设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由g(1)>g得f(1)>2f，故A错误；由g(1)0)，则h′(x)＝＝<0，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，由h(1)h(2)得f(1)>f(2)＋1，故D正确．故选BCD.
12．（5分）已知奇函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，f(2)＝3，当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则使不等式xf(x)>6成立的x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
解析：因为当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，所以[xf(x)]′>0，令F(x)＝xf(x)，则F′(x)>0，F(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以F(－x)＝
(－x)f(－x)＝－x[－f(x)]＝xf(x)＝F(x)，所以F(x)是偶函数，图象关于y轴对称．因为f(2)＝3，所以F(2)＝2f(2)＝6，所以F(－2)＝6，大致图象如图．
所以使xf(x)>6成立的x的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞).
13．（5分）（2024·广东东莞三模）若a＝，b＝e，c＝π，则a，b，c的大小关系为a解析：ln a＝ln ＝ln 2，ln b＝ln e，ln c＝ln π.令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，由f′(x)>0，得0e，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴ln b＝ln e是f(x)的最大值，而ln a－ln c＝ln 2－ln π＝ln 4－ln π<0，∴a14．（22分）已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为，且f(x)为偶函数，若x≥0时，f′(x)≥f(x)tan x，且f＝2，求不等式f(x)<的解集．
解：因为当x∈时，f′(x)≥f(x)tan x＝，所以f′(x)cos x≥f(x)sin x，即f′(x)cos x＋f(x)(cos x)′≥0，因此[f(x)cos x]′≥0，从而F(x)＝f(x)cos x在上单调递增．又f(x)是定义在－，上的偶函数，且y＝cos x是偶函数，所以F(－x)＝f(－x)cos (－x)＝f(x)cos x＝F(x)，即F(x)是定义在上的偶函数，故F(x)在上单调递减．由于f＝2，因此F＝1，又f(x)<即f(x)cos x<1，即F(x)<1，所以F(x)15．（5分）（2024·湖南永州三模）已知函数f(x)＝ex－e－x＋sin x－x＋2，其中e是自然对数的底数．若＋f(3)>4，则实数t的取值范围是(　C　)
A． B．
C．(0，8) D．(8，＋∞)
解析：∵f′(x)＝ex＋e－x＋cos x－1≥2＋cos x－1＝1＋cos x≥0，∴f(x)在R上单调递增．令g(x)＝f(x)－2，∴g(x)在R上单调递增，f(x)＝g(x)＋2.∵g(－x)＝e－x－ex＋sin (－x)＋x＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，则＋f(3)>4化为＋2＋g(3)＋2>4，∴g（logt）>－g(3) >g(－3) logt>－3，解得016．（5分）已知a，b，c∈(0，1)，且a2－2ln a＋1＝e，b2－2ln b＋2＝e2，c2－2ln c＋3＝e3，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小关系是a＞b＞cＷ．
解析：设f(x)＝x2－2ln x，g(x)＝ex－x，则f(a)＝g(1)，f(b)＝g(2)，f(c)＝g(3)，又g′(x)＝ex－1＞0(x＞0)，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(3)＞g(2)＞g(1)，即f(c)＞f(b)＞f(a)，因为f′(x)＝2x－＝＜0(x∈（0，1)），所以f(x)在(0，1)上单调递减，所以a＞b＞c.