第十章　10.3　二项式定理（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

10．3　二项式定理
1．能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
1．二项式定理
二项式 定理 (a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项 展开式 Can＋Can-1b1＋Can-2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式
通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，2，…，n)
二项式 系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数
2.二项式系数的性质
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由C＝C得到．直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴．
(2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1.
3．杨辉三角的性质
(1)最外层全是1，第二层（含1）是自然数列1，2，3，4，…，第三层（含1，3）是三角形数列1，3，6，10，15，….
(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C.
(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C.
(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋….
(5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(6)自左（右）腰上的某个1开始平行于右（左）腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左（右）下方的那个数．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　×　)
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)
(3)通项Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　√　)
(4)二项展开式中系数的最大项就是二项式系数的最大项．(　×　)
2．（人教A版选择性必修第三册P35T6(1)改编）在(2x－1)8的展开式中，x2的系数为112．
解析：在(2x－1)8的展开式中，通项Tr＋1＝C(2x)8-r(－1)r＝(－1)r28-rCx8-r，令8－r＝2，解得r＝6，所以x2的系数是(－1)622C＝112.
3．（人教A版选择性必修第三册P38T5(5)改编）(x2＋x＋y)7的展开式中x5y3的系数为140．
解析：由题意可知，x5y3只能为1项x2、3项x和3项y相乘而得，所以x5y3的系数为C·C·C＝140.
4．(1－3x)7的展开式中所有项的系数之和为－128．
解析：令x＝1，可得所有项的系数之和为(1－3)7＝(－2)7＝－128.
考点1 通项公式的应用
命题角度1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式
【例1】　(1)（2024·北京卷）在（x－）4的展开式中，x3的系数为(　A　)
A．6 B．－6
C．12 D．－12
【解析】　（x－）4的展开式的通项为Tr＋1＝Cx4-r（－）r＝ (r＝0，1，2，3，4)，令4－＝3，解得r＝2，故x3的系数为C(－1)2＝6.故选A.
(2)（2024·天津卷）在的展开式中，常数项为20．
【解析】　因为的展开式的通项为Tr＋1＝C＝36-2rCx6(r-3)，r＝0，1，…，6，令6(r－3)＝0，解得r＝3，所以常数项为30C＝20.
求二项展开式中的问题，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数k＋1，代回通项即可．
命题角度2　形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式
【例2】　（2024·山东潍坊三模）已知(x＋3)·(x＋2)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8＋a9(x＋1)9，则a8＝(　B　)
A．8　　　 B．10
C．28　　 D．29
【解析】　(x＋3)(x＋2)8＝[(x＋1)＋2][(x＋1)＋1]8，其中[(x＋1)＋1]8的展开式的通项为Tr＋1＝C(x＋1)8-r·1r＝C(x＋1)8-r，r∈N且r≤8，当r＝0时，T1＝C(x＋1)8＝(x＋1)8，此时只需乘第一个因式[(x＋1)＋2]中的2，可得2(x＋1)8；当r＝1时，T2＝C(x＋1)7＝8(x＋1)7，此时只需乘第一个因式[(x＋1)＋2]中的(x＋1)，可得8(x＋1)8.所以a8＝2＋8＝10.故选B.
对于几个多项式积的展开式的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
命题角度3　形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】　（2024·山东济宁一模）(a2－a＋b)5的展开式中a5b2的系数为(　B　)
A．－60　 B．－30
C．30　　 D．60
【解析】　(a2－a＋b)5＝(a2－a＋b)(a2－a＋b)(a2－a＋b)(a2－a＋b)(a2－a＋b)，则展开式中含a5b2的项为C(a2)2·C(－a)·Cb2＝－30a5b2，故(a2－a＋b)5的展开式中a5b2的系数为－30.故选B.
求三项展开式中某些指定的项，常常利用这几种方法：
(1)两项看成一项，利用二项式定理展开．
(2)因式分解，转化为两个二项式再求解．
(3)看作多个因式的乘积，用组合的知识解答．
【对点训练1】　(1)已知（其中a>0）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有(　D　)
A．6项 B．5项
C．4项 D．3项
解析：展开式的第7项为T7＝C(x2)n-6·＝(－a)6Cx2n-14，由题意，得2n－14＝0，(－a)6C＝7(a>0)，所以n＝7，a＝1，则展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCx14-2k·＝(－1)kCx，k＝0，1，2，…，7，令∈Z，则k＝0，3，6，所以展开式中的有理项共有3项．故选D.
(2)（2024·河北张家口三模）(1－x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为(　A　)
A．－5 B．5
C．－10 D．10
解析：(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，则(1－x2)(1＋x)5的展开式中含x4的项为Cx4－x2·Cx2＝（C－C）x4＝－5x4，所以(1－x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为－5.故选A.
(3)（2024·陕西西安一模）的展开式中x2的系数为(　B　)
A．－80 B．－40
C．40 D．80
解析：因为＝·x－－2，故x2可以由5个因式中的2个因式提供x，余下3个因式提供－2，或者5个因式中的3个因式提供x，余下1个因式提供－，1个因式提供－2，故x2的系数为C(－2)3＋CC(－2)1(－1)＝－80＋40＝－40.故选B.
考点2 二项式系数与项的系数的问题
命题角度1　二项式系数和与系数和
【例4】　（多选）（2024·河南驻马店二模）已知(4－3x)7＝a0＋a1(1－3x)＋a2(1－3x)2＋…＋a7(1－3x)7，则(　AC　)
A．a4＝945
B．i＝47－1
C．a0＋a2＋a4＋a6＝213＋26
D．a1＋a3＋a5＋a7＝26－213
【解析】　依题意得(4－3x)7＝[3＋(1－3x)]7，所以a4＝C×33＝35×27＝945，故A正确；令x＝，得a0＝37，令x＝0，得i＝47，所以i＝47－37，故B错误；令x＝，得27＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7①，又47＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7②，由①＋②可得a0＋a2＋a4＋a6＝＝213＋26，故C正确；同理，由②－①得a1＋a3＋a5＋a7＝213－26，故D错误．故选AC.
命题角度2　系数与二项式系数的最值
【例5】　（2024·全国甲卷理）的展开式中，各项系数中的最大值为5Ｗ．
【解析】　由题意，得展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，r≤10且r∈N，设展开式中第r＋1项的系数最大，则

即≤r≤，又r∈N，故r＝8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C＝5.
1．赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)].
2．二项展开式中系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解得k.
【对点训练2】　(1)（多选）（2025·广西来宾一模）在的展开式中，下列结论正确的是(　BD　)
A．二项式系数最大的项为第5项
B．各项系数和为0
C．x4的系数为4
D．所有项的二项式系数和为16
解析：对于A，因为的展开式一共5项，所以二项式系数最大的项为第3项，故A错误；对于B，令x＝1，则＝0，所以各项系数和为0，故B正确；对于C，因为的展开式的通项为Tr＋1＝Cx4-r＝C(－1)rx4-2r(r＝0，1，2，3，4)，令4－2r＝4，得r＝0，故x4的系数为C·(－1)0＝1，故C错误；对于D，所有项的二项式系数和为24＝16，故D正确．故选BD.
(2)已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中系数最大的项为15 360x－．
解析：由题意可知＋1＝6，解得n＝10，故展开式的通项为Tr＋1＝，r≤10且r∈N.设第r＋1项的系数最大，
则即
解得≤r≤，
∵r∈N，∴r＝7，∴展开式中系数最大的项为T8＝＝15 360x－.
考点3 二项式定理的综合应用
【例6】　(1)（2024·湖北荆州三模）已知(3x－1)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则a1＋a2＋…＋a2 024被3除的余数为(　D　)
A．3 B．2
C．1 D．0
【解析】　令x＝0，得a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝22 024，两式相减，得a1＋a2＋…＋a2 024＝22 024－1＝41 012－1，因为41 012＝(3＋1)1 012＝C31 012＋C31 011＋…＋C3＋C，其中C31 012＋C31 011＋…＋C3被3整除，所以41 012被3除的余数为1，综上，a1＋a2＋…＋a2 024能被3整除．故选D.
(2)（2024·安徽合肥三模）某银行大额存款的年利率为3%，小张于2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算，8年后他能得到的本利和约为(　B　)
A．12.6万元 B．12.7万元
C．12.8万元 D．12.9万元
【解析】　2024年初存入大额存款10万元，按照复利计算，每年末本利和（单位：万元）是以10为首项，1＋3%为公比的等比数列，所以8年后本利和S＝10(1＋3%)9-1＝10（C＋C×0.031＋C×0.032＋…＋C×0.037＋C×0.038）≈12.7（万元）.故选B.
二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式（数）展开后的每一项都含有除式（数）的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n的近似值可由其展开式的前几项的和来确定．
【对点训练3】　(1)下列各数与1.0120最接近的是(　C　)
A.1.20 B．1.21
C．1.22 D．1.23
解析：由题意得1.0120＝(1＋0.01)20，由二项式定理得(1＋0.01)20＝1＋C×0.01＋C×0.012＋…，而从第3项以后，后面的项非常小，可忽略不计，所以(1＋0.01)20≈1＋C×0.01＋C×0.012＝1.219，则其与1.22更接近．故选C.
(2)已知x∈Z，且842 025＋x能被17整除，则x的值可以是1（答案不唯一）．（写出一个满足题意的值即可）
解析：842 025＋x＝(85－1)2 025＋x＝852 025－C852 024＋…＋C85－1＋x，要使842 025＋x能被17整除，则－1＋x能被17整除即可，则x＝17k＋1，k∈Z，故可取x＝1.
课时作业70
1．（5分）化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　A　)
A．x4 B．(x－1)4
C．(x＋1)4 D．x4－1
解析：(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝(x＋1)4＋C(x＋1)3×(－1)＋C(x＋1)2×(－1)2＋C(x＋1)×(－1)3＋(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.故选A.
2．（5分）（2024·广东东莞三模）若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a2＋a3＝(　C　)
A．10 B．0
C．－40 D．130
解析：a2＝C(－2)2＝40，a3＝C(－2)3＝－80，所以a2＋a3＝－40.故选C.
3．（5分）（2025·山东日照二模）已知(x＋a)5＝p5x5＋p4x4＋p3x3＋p2x2＋p1x＋p0，若p4＝15，则a＝(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由(x＋a)5＝p5x5＋p4x4＋p3x3＋p2x2＋p1x＋p0，且p4＝15，可得C·a＝15，解得a＝3.故选C.
4．（5分）（8－x）9的展开式中系数为有理数的项共有(　D　)
A．2项 B．3项
C．4项 D．5项
解析：（8－x）9展开式的通项为Tr＋1＝C89-r（－x）r＝（－）r89-rCxr(r≤9，r∈N)，所以展开式中的第1项、第3项、第5项、第7项、第9项的系数均为有理数，共5项．故选D.
5．（5分）（2024·山东济宁三模）的展开式中x3的系数为(　A　)
A．－160 B．－120
C．120 D．160
解析：展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6-r＝(－2)rCx12-3r，r∈N，r≤6，由12－3r＝3，得r＝3，所以的展开式中x3的系数为(－2)3C＝－160.故选A.
6．（5分）（2024·湖北黄石三模）已知(x－1)(x＋1)5＝a0＋2a1x＋3a2x2＋4a3x3＋5a4x4＋6a5x5＋7a6x6，则a4＝(　A　)
A．1 B．0
C．－5 D．5
解析：要想得到x4，可以有两种情况：(x－1)取x，(x＋1)5取x3；(x－1)取－1，(x＋1)5取x4.所以x4的系数为1×C＋(－1)×C＝10－5＝5，即5a4＝5 a4＝1.故选A.
7．（5分）（2024·河北沧州二模）在(x－2y＋3z)6的展开式中，xy2z3的系数为(　A　)
A．6 480 B．2 160
C．60 D．－2 160
解析：(x－2y＋3z)6相当于6个因式(x－2y＋3z)相乘，其中一个因式取x，有C种取法，余下5个因式中有2个取－2y，有C种取法，最后3个因式中全部取3z，有C种取法，故(x－2y＋3z)6的展开式中xy2z3的系数为C×1×C×(－2)2×C×33＝6 480.故选A.
8．（5分）22 024被9除的余数为(　B　)
A．1 B．4
C．5 D．8
解析：22 024＝4×22 022＝4×8674＝4×(9－1)674＝4（C×9674×10－C×9673×11＋…－C×91×1673＋C×90×1674），其中4（C×9674×10－C×9673×11＋…－C×91×1673）是9的整数倍，故22 024被9除的余数为4.故选B.
9．（6分）（多选）（2024·山西临汾三模）在的展开式中(　AB　)
A.所有奇数项的二项式系数和为128
B．二项式系数最大的项为第5项
C．有理项共有两项
D．所有项的系数和为38
解析：对于A，所有项的二项式系数和为28，则所有奇数项的二项式系数和为＝128，故A正确；对于B，二项式系数最大为C，则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；对于C，Tk＋1＝C（－）k＝(－1)k·28-kCxk-8(k≤8，k∈N)，Tk＋1为有理项，k可取的值为0，3，6，所以有理项共有三项，故C错误；对于D，令x＝1，则所有项的系数和为＝1，故D错误．故选AB.
10．（6分）（多选）已知(1－2x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(　AD　)
A．a0＝1
B．a1＝18
C．a1＋a2＋…＋a9＝－1
D．a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝－
解析：对于A，令x＝0，即可得(1－2×0)9＝a0＝1，故A正确；对于B，因为展开式中a1代表一次项系数，(1－2x)9的展开式中含有一次项C·18(－2x)1＝－18x，可得a1＝－18，故B错误；对于C，令x＝1，可得(1－2)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1①，可得a1＋a2＋…＋a9＝－1－a0＝－2，故C错误；对于D，令x＝－1，可得(1＋2)9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝39②，①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝－(1＋39)，得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝－，故D正确．故选AD.
11．（6分）（多选）（2024·江西九江三模）在x－10的展开式中(　AD　)
A．x8y-2的系数为45
B．二项式系数最大的项是第5项
C．各项系数之和为1
D．系数最大的项是第5项或第7项
解析：Tk＋1＝C(－1)kx10-ky－k，当k＝2时，T3＝Cx8y-2，系数为45，故A正确；由组合数性质可知，中间项的二项式系数C最大，∴展开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错误；令x＝1，y＝1，得展开式中各项系数之和为(1－1)10＝0，故C错误；当k为奇数时，系数为负数，当k为偶数时，系数为正数，∴当k＝4或k＝6时，系数最大，故D正确．故选AD.
12．（6分）（2024·江苏宿迁三模）设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a5>a4，且a5>a6，则i＝1 024．
解析：根据题意，可知二项式系数中最大的是a5，则n＝10，令x＝1，得210＝a0＋a1＋…＋a10，∴i＝1 024.
13．（6分）（2024·广东汕头三模）已知 (n∈N*)的展开式中第2项的二项式系数为6，则展开式中常数项为60．
解析：由题意得C＝6，所以n＝6， (n∈N*)的展开式的通项为Tr＋1＝C26-rx6-r＝C26-rx6-r，令6－r＝0，得r＝4，所以T5＝C×22＝60.
14．（6分）若(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＝165．
解析：因为(1＋x)n展开式的通项为Tr＋1＝Cxr（r≤n且r∈N），(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，所以a2＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＋C＝…＝C＝165.
15．（8分）已知不等式logax<1（a>0且a≠1）的解集为(0，2)，则的展开式中系数最大项的系数为(　C　)
A．16 B．80
C．240 D．480
解析：由题意，当a>1时，logax<1 0a，所以a＝2，则＝展开式的通项为Tr＋1＝(－1)r26-rCx6-3r.因为当r＝0，2，4，6时系数为正，计算可得当r＝2时系数最大，故展开式中系数最大项的系数为24C＝240.故选C.
16．（8分）（2025·福建三明一模）各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如八进制数(3 751)8转换为十进制数的算法为3×83＋7×82＋5×81＋1×80＝2 025.若将八进制数转换为十进制数，则转换后的数的末位数字是(　A　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：＝7×85＋7×84＋7×83＋7×82＋7×81＋7×80＝7×(85＋84＋83＋82＋81＋80)＝7×＝86－1＝(10－2)6－1＝C·106＋C·105·(－2)1＋…＋C·101·(－2)5＋C·100·(－2)6－1＝10×[C·105＋C·104·(－2)1＋…＋C·100·(－2)5]＋C·100·(－2)6－1，因为10×[C·105＋C·104·(－2)1＋…＋C·100·(－2)5]是10的倍数，所以转换后这个数的末位数字即为C·100·(－2)6－1的末位数字，由C·100·(－2)6－1＝64－1＝63，可知末位数字为3.故选A.
17．（8分）（多选）已知（n∈N*，a为正数）的展开式中各项系数的和为729，二项式系数的和为64，则(　BD　)
A．a＝1
B．展开式中无理项有3项
C．展开式中系数最大的项是第4项
D．展开式中常数项为第5项
解析：依题意得2n＝64，所以n＝6，因为展开式中各项系数的和为729，令x＝1，得(1＋a)6＝729＝36，所以a＝2（负值舍去），故A错误；展开式的通项为Tr＋1＝ (r≤6，r∈N)，当r＝1，3，5时，展开式的对应项为无理项，故B正确；设展开式中第r＋1项的系数最大，由得≤r≤，又r∈N，所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大，故C错误；令6－＝0，得r＝4，所以展开式中常数项为第5项，故D正确．故选BD.