第十章 10.7 二项分布、超几何分布与正态分布（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）
文档属性
| 名称 | 第十章 10.7 二项分布、超几何分布与正态分布（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 231.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-31 00:00:00 | ||
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文档简介
10．7 二项分布、超几何分布与正态分布
1．了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．
2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
3．了解正态分布的概念和特征，并能进行简单应用．
1．二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
3．正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处到达峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
教材拓展
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了20次，是n重伯努利试验．( √ )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √ )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．( × )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( × )
2．（人教B版选择性必修第二册P83T4改编）已知离散型随机变量X～B(10，0.2)，则E(X)＝( B )
A．8 B．2
C．1.6 D．0.8
解析：因为离散型随机变量X～B(10，0.2)，所以E(X)＝10×0.2＝2.故选B.
3．（人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编）若X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X>0)＝( D )
A．0.10 B．0.40
C．0.80 D．0.90
解析：根据题意X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X<0)＝P(X>2)＝0.10，故P(X>0)＝1－P(X<0)＝0.90.故选D.
4．（人教A版选择性必修第三册P78例5改编）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格品的件数，则P(X＝1)＝( D )
A． B．
C． D．
解析：根据超几何分布的概率公式有P(X＝1)＝＝＝.故选D.
考点1 二项分布
【例1】 （2024·河北承德二模）某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1 000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：
成绩 区间 [30， 40） [40， 50） [50， 60） [60， 70） [70， 80） [80， 90） [90， 100]
频数 20 180 200 280 220 80 20
(1)求上表数据的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率估计概率，从该市随机抽取3人参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为X，求X的分布列及数学期望．
【解】 (1)平均值＝35×＋45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝35×0.02＋45×0.18＋55×0.2＋65×0.28＋75×0.22＋85×0.08＋95×0.02＝63.2.
(2)用频率估计概率，随机抽取1人成绩不低于60分的概率为
＝＝，
由题意可知，X～B，X＝0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝C×＝；
P(X＝2)＝C××＝；
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
二项分布问题的解题关键
(1)定性
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
【对点训练1】 （2024·陕西西安二模）某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180]这6组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；
(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列与期望．
解：(1)因为(0.004＋0.012)×20＝0.32<0.5，0.32＋0.016×20＝0.64>0.5，所以该校学生比赛成绩的中位数在[100，120）内．
设该校学生比赛成绩的中位数为m个，则(m－100)×0.016＋0.32＝0.5，
解得m＝111.25，即估计该校学生比赛成绩的中位数为111.25个．
(2)由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为(0.002＋0.008)×20＝0.2，
则从该校学生中随机抽取1人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是0.2.
由题意可知X～B(3，0.2)，
则P(X＝k)＝C×0.2k×(1－0.2)3-k＝C×0.2k×0.83-k(k＝0，1，2，3)，即P(X＝0)＝C×0.20×0.83＝0.512，P(X＝1)＝C×0.21×0.82＝0.384，P(X＝2)＝C×0.22×0.81＝0.096，P(X＝3)＝C×0.23×0.80＝0.008，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
故E(X)＝3×0.2＝0.6.
考点2 超几何分布
【例2】 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目．
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布列和数学期望．
【解】 (1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球，1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以P(A)＝＝.
(2)由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
可得X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
【对点训练2】 （2024·陕西西安三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段/岁 [15， 25） [25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75]
被调查的人数 10 15 20 m 25 5
赞成的人数 6 12 n 20 12 2
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在[35，45）的概率为，求出表格中m，n的值；
(2)若从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行比例分配的分层随机抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
解：(1)因为总共抽取100人进行调查，所以m＝100－10－15－20－25－5＝25.
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在[35，45）的概率为＝，所以n＝13.
(2)从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按比例分配的分层随机抽样抽取10人，赞成的抽取10×＝8（人），不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X的可能取值为2，3，4，
则P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
考点3 正态分布
【例3】 (1)（多选）设X～N（μ，σ），Y～N（μ，σ），这两个正态密度曲线如图，则下列说法正确的是( AC )
A．σ1<σ2
B．σ1＝σ2
C．对任意实数m>μ，P(X≤m)>P(Y≤m)
D．若P(μ－k1σ1≤X≤μ＋k1σ1)>P(μ－k2σ2≤Y≤μ＋k2σ2)，k1，k2∈N*，则k1【解析】 因为σ越小图象越瘦高，所以σ1<σ2，故A正确，B错误；由题图可知，当m>μ时，P(X>m)m)，所以P(X≤m)＝1－P(X>m)>P(Y≤m)＝1－P(Y>m)，故C正确；当k1＝2时，P(μ－2σ1≤X≤μ＋2σ1)≈0.954 5，当k2＝1时，P(μ－σ2≤Y≤μ＋σ2)≈0.682 7，故D错误．故选AC.
(2)（多选）（2024·新课标Ⅰ卷）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3）( BC )
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
【解析】 依题意，X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12).对于X～N(1.8，0.12)，由于2＝1.8＋2×0.1＝μ＋2σ，则P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)μ＋σ)≈1－0.841 3＝0.158 7，A错误；P(X>2)1.8)＝0.5，B正确；对于Y～N(2.1，0.12)，由于2＝2.1－0.1＝μ－σ，则P(Y>2)>P(Y>2.1)＝0.5，C正确；P(Y>2)＝P(Y>μ－σ)＝P(Y<μ＋σ)≈0.841 3>0.8，D错误．故选BC.
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为直线x＝μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间．
由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0.
【对点训练3】 (1)（多选）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布N（μ1，σ），N（μ2，σ），其正态密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( ACD )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σA．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近
D．若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.158 7
解析：由题中图象可知，甲的图象关于直线x＝75对称，乙的图象关于直线x＝85对称，所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故A正确，B错误；因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，所以甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近，故C正确；若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为＝0.158 7，故D正确．故选ACD.
(2)（多选）（2025·山东聊城一模）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则( BCD )
A.μ＝80，σ＝400
B．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为
C．从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为
D．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为
解析：由E(X)＝80，D(X)＝400，得μ＝80，σ2＝400，故A错误；由μ＝80，σ2＝400，得X～N(80，202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋σ＝80＋20＝100，μ－2σ＝80－2×20＝40，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n，则P(100≤X≤120)＝，则P(60≤X≤120)＝＋m＝，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，故B正确；P(X≥120)＝，则从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝2××1－＝，故C正确；P(X≥60)＝＋，又P(X≥120)＝，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为＋，该生测试成绩优秀的概率为，则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为＝，故D正确．故选BCD.
课时作业74
1．（5分）（2024·湖南益阳三模）某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N(5，σ2)，若P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，则实数a的值为( B )
A．1 B．3
C．4 D．9
解析：因为X～N(5，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，所以a＋(1＋2a)＝2×5，解得a＝3.故选B.
2．（5分）（2024·安徽合肥二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4∶2获胜的概率为( C )
A． B．
C． D．
解析：根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4∶2获胜的概率为C··×＝.故选C.
3．（5分）（2024·广东江门二模）一箱苹果共有12个，其中有n(2A．3 B．4
C．5 D．6
解析：依题意可得＝，即＝，整理得n2－13n＋36＝0，解得n＝4或n＝9，因为24．（5分）（2024·天津南开区一模）已知随机变量X～N(μ，σ2)，Y～B(6，p)，且P(X≥4)＝，E(X)＝E(Y)，则p＝( D )
A． B．
C． D．
解析：由X～N(μ，σ2)，以及P(X≥4)＝可得μ＝4，由于E(X)＝E(Y)，故6p＝4，p＝.故选D.
5．（5分）（2024·湖北荆州三模）上周联考的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2，负责命题的王老师考后随机抽取了10个学生的数学成绩，设这10个学生中得分在[70，110]的人数为Y，则随机变量Y的方差为( C )
A．2 B．2.1
C．2.4 D．3
解析：由正态分布知，学生得分在[70，110]的概率为1－0.2×2＝0.6，抽取的10个学生中得分在[70，110]的人数Y服从二项分布B(10，0.6)，D(Y)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故选C.
6．（5分）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差（分别用X甲、X乙、X丙表示）分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是( B )
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．P（－1≤X乙≤0）C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
解析：根据正态密度曲线的性质可得，三种品牌的手表日走时误差对应的正态密度曲线的对称轴都是y轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，故A正确；乙品牌手表日走时误差对应的正态密度曲线在区间[－1，0]之间与x轴围成的面积与丙品牌手表日走时误差对应的正态密度曲线在区间[0，2]之间与x轴围成的面积相等，故B不正确；由正态密度曲线的形状，可得σ甲<σ乙<σ丙，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，故C正确；由三种品牌手表日走时的误差的均值都是0，σ甲<σ乙<σ丙，可得甲种品牌的手表走时准且最稳定，质量最好，故D正确．故选B.
7．（6分）（多选）（2024·湖南长沙三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛．具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次．若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，，，，则( BCD )
A．乙组同学恰好命中2次的概率为
B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
D．乙组同学命中次数的数学期望为
解析：设“乙组同学恰好命中2次”为事件M，则P(M)＝××＋××＋××＝，所以A错误；设“甲组同学恰好命中2次”为事件N，则P(N)＝C×＝，因为>，所以B正确；因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为X，则X～B，可得D(X)＝3××＝，所以C正确；设乙组同学命中次数为随机变量Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，则P(Y＝0)＝××＝，P(Y＝1)＝××＋××＋××＝，P(Y＝2)＝P(M)＝，P(Y＝3)＝××＝，故E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，所以D正确．故选BCD.
8．（6分）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是( BCD )
A．P(|Z－5|≤1)＝
B．E(X)C．D(X)＝D(Y)
D．E(Z)＝
解析：X，Y均服从超几何分布，且X＋Y＝3，Z＝2X＋Y＝3＋X，P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，P(|Z－5|≤1)＝P(|X－2|≤1)＝1－P(X＝0)＝1－＝，A错误；E(X)＝3×＝，E(Y)＝3－E(X)＝，B正确；D(Y)＝D(3－X)＝D(X)，C正确；E(Z)＝3＋E(X)＝3＋＝，D正确．故选BCD.
9．（5分）（2024·广东梅州二模）某中学1 500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150，σ2)，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为450．
解析：由题意可知，P(X>170)＝＝0.2，又因为X～N(150，σ2)，所以P(130≤X≤150)＝P(150≤X≤170)＝0.5－P(X>170)＝0.5－0.2＝0.3，所以跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为1 500×0.3＝450.
10．（5分）（2024·安徽六安模拟）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是．
解析：因为移动6次仍回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次，若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率为C·＝，若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率为AC·＝，若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率为CA·＝，若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率为C·＝，故移动6次仍回到原点的概率为＋＋＋＝.
11．（15分）（2025·黑龙江大庆一模）2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则P(A)＝，P（）＝，
设“学生肥胖”为事件B，则P(B|A)＝，P（B|）＝，
由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P（B|）P（）＝×＋×＝，
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为.
(2)由题意可知X～B，且X的可能取值为0，1，2，3，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的期望E(X)＝3×＝.
12．（15分）（2024·湖南常德一模）某市共有教师1 000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．
(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率．
(2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ＝10，μ为抽取的10名教师学习时长数据的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；
②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[50，70]内，则当ξ的均值不小于32时，n的最小值为多少？
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率为＝＝.
(2)①直接计算可得μ＝×(35＋43＋90＋83＋50＋45＋82＋75＋62＋35)＝60.
所以P(X≥50)＝P(X≥μ－σ)＝＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.841 35.
故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为1 000×0.841 35≈841.
②由于P(50≤X≤70)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，故E(ξ)＝0.682 7n.
当E(ξ)≥32时，有0.682 7n≥32，得n≥46.872 7，
所以n的最小值是47.
13．（6分）（多选）（2024·辽宁沈阳三模）下列说法正确的是( BCD )
A．连续抛一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛硬币，设随机变量X表示停止时抛硬币的次数，则P(X＝3)＝
B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量Y表示所选取的学生中男同学的人数，则E(Y)＝
C．若随机变量ξ～B，则D(ξ)＝2
D．若随机变量η～N(μ，σ2)，则当μ减小，σ增大时，P(|η－μ|<σ)保持不变
解析：抛一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则P(X＝3)＝×＝，A错误；显然随机变量Y服从超几何分布，则E(Y)＝＝，B正确；由随机变量ξ～B，得D(ξ)＝9××＝2，C正确；由正态分布的意义知，P(|η－μ|<σ)＝P(μ－σ<η<μ＋σ)为定值，D正确．故选BCD.
14．（6分）（多选）（2024·山东聊城三模）在美国重压之下，中国芯片异军突起．某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X，另一随机变量Y～N(4，1)，则( CD )
A．D(2X＋1)＝1.6
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≥D(Y)
C．P(X≤4)>P(Y≥4)
D．P(X＝k)随k的增大先增大后减小
解析：由题意得X～B(5，0.8)，则E(X)＝5×0.8＝4，D(X)＝5×0.8×0.2＝0.8，所以D(2X＋1)＝4×0.8＝3.2，故A错误；X～B(5，0.8)，则P(X＝k)＝C·0.8k·0.25-k(k＝0，1，2，…，5)，设当X＝k(k≥1)时概率最大，则有即
解得3.8≤k≤4.8，由k∈Z，所以当X＝4时概率最大，则P(X＝0)P(X＝5)，即P(X＝k)随k的增大先增大后减小，故D正确；Y～N(4，1)，则E(Y)＝4，D(Y)＝1，又E(X)＝4，D(X)＝0.8，所以E(X)＝E(Y)，D(X)P(Y≥4)，故C正确．故选CD.
15．（6分）（多选）（2024·福建泉州模拟）某人在n次射击中击中目标的次数为X，X～B(n，p)，其中n∈N*，0A．当p＝时，D(X)取得最大值
B．当p＝时，D(X)取得最小值
C．当D．当0解析：D(X)＝np(1－p)＝n－＋(n∈N*，0∴P(A)随着n的增大而减小，故D正确．故选AD.
1．了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．
2．了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题．
3．了解正态分布的概念和特征，并能进行简单应用．
1．二项分布
(1)伯努利试验
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
2．超几何分布
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
3．正态分布
(1)定义
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
(2)正态曲线的特点
①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
②曲线在x＝μ处到达峰值；
③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(3)3σ原则
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(4)正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
教材拓展
1．两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
2．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．
3．在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了20次，是n重伯努利试验．( √ )
(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．( √ )
(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．( × )
(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．( × )
2．（人教B版选择性必修第二册P83T4改编）已知离散型随机变量X～B(10，0.2)，则E(X)＝( B )
A．8 B．2
C．1.6 D．0.8
解析：因为离散型随机变量X～B(10，0.2)，所以E(X)＝10×0.2＝2.故选B.
3．（人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编）若X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X>0)＝( D )
A．0.10 B．0.40
C．0.80 D．0.90
解析：根据题意X～N(1，σ2)，且P(X>2)＝0.10，则P(X<0)＝P(X>2)＝0.10，故P(X>0)＝1－P(X<0)＝0.90.故选D.
4．（人教A版选择性必修第三册P78例5改编）设10件同类型的零件中有2件是不合格品，从其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格品的件数，则P(X＝1)＝( D )
A． B．
C． D．
解析：根据超几何分布的概率公式有P(X＝1)＝＝＝.故选D.
考点1 二项分布
【例1】 （2024·河北承德二模）某市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1 000人的竞赛成绩（满分100分）数据，统计结果如下表所示：
成绩 区间 [30， 40） [40， 50） [50， 60） [60， 70） [70， 80） [80， 90） [90， 100]
频数 20 180 200 280 220 80 20
(1)求上表数据的平均值（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)根据样本估计总体的方法，用频率估计概率，从该市随机抽取3人参加党史知识竞赛，记他们之中不低于60分的人数为X，求X的分布列及数学期望．
【解】 (1)平均值＝35×＋45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝35×0.02＋45×0.18＋55×0.2＋65×0.28＋75×0.22＋85×0.08＋95×0.02＝63.2.
(2)用频率估计概率，随机抽取1人成绩不低于60分的概率为
＝＝，
由题意可知，X～B，X＝0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝C×＝；
P(X＝2)＝C××＝；
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝3×＝.
二项分布问题的解题关键
(1)定性
①在每一次试验中，事件发生的概率相同．
②各次试验中的事件是相互独立的．
③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生．
(2)定参：确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率．
【对点训练1】 （2024·陕西西安二模）某校组织学生进行跳绳比赛，以每分钟跳绳个数作为比赛成绩（单位：个）.为了解参赛学生的比赛成绩，从参赛学生中随机抽取50名学生的比赛成绩作为样本，整理数据并按比赛成绩分成[60，80），[80，100），[100，120），[120，140），[140，160），[160，180]这6组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)估计该校学生跳绳比赛成绩的中位数；
(2)若跳绳比赛成绩不低于140分的为优秀，以这50名学生跳绳比赛成绩的频率作为概率，现从该校学生中随机抽取3人，记被抽取的比赛成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列与期望．
解：(1)因为(0.004＋0.012)×20＝0.32<0.5，0.32＋0.016×20＝0.64>0.5，所以该校学生比赛成绩的中位数在[100，120）内．
设该校学生比赛成绩的中位数为m个，则(m－100)×0.016＋0.32＝0.5，
解得m＝111.25，即估计该校学生比赛成绩的中位数为111.25个．
(2)由频率分布直方图可知比赛成绩优秀的频率为(0.002＋0.008)×20＝0.2，
则从该校学生中随机抽取1人，被抽取的学生比赛成绩优秀的概率是0.2.
由题意可知X～B(3，0.2)，
则P(X＝k)＝C×0.2k×(1－0.2)3-k＝C×0.2k×0.83-k(k＝0，1，2，3)，即P(X＝0)＝C×0.20×0.83＝0.512，P(X＝1)＝C×0.21×0.82＝0.384，P(X＝2)＝C×0.22×0.81＝0.096，P(X＝3)＝C×0.23×0.80＝0.008，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.512 0.384 0.096 0.008
故E(X)＝3×0.2＝0.6.
考点2 超几何分布
【例2】 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同．每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回．若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目．
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布列和数学期望．
【解】 (1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球，1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以P(A)＝＝.
(2)由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
可得X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
2．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
【对点训练2】 （2024·陕西西安三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
年龄段/岁 [15， 25） [25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75]
被调查的人数 10 15 20 m 25 5
赞成的人数 6 12 n 20 12 2
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此人年龄在[35，45）的概率为，求出表格中m，n的值；
(2)若从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行比例分配的分层随机抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
解：(1)因为总共抽取100人进行调查，所以m＝100－10－15－20－25－5＝25.
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在[35，45）的概率为＝，所以n＝13.
(2)从年龄在[45，55）的参与调查的市民中按比例分配的分层随机抽样抽取10人，赞成的抽取10×＝8（人），不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量X的可能取值为2，3，4，
则P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
所以E(X)＝2×＋3×＋4×＝.
考点3 正态分布
【例3】 (1)（多选）设X～N（μ，σ），Y～N（μ，σ），这两个正态密度曲线如图，则下列说法正确的是( AC )
A．σ1<σ2
B．σ1＝σ2
C．对任意实数m>μ，P(X≤m)>P(Y≤m)
D．若P(μ－k1σ1≤X≤μ＋k1σ1)>P(μ－k2σ2≤Y≤μ＋k2σ2)，k1，k2∈N*，则k1
(2)（多选）（2024·新课标Ⅰ卷）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（，s2），则（若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3）( BC )
A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5
C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8
【解析】 依题意，X～N(1.8，0.12)，Y～N(2.1，0.12).对于X～N(1.8，0.12)，由于2＝1.8＋2×0.1＝μ＋2σ，则P(X>2)＝P(X>μ＋2σ)
解决正态分布问题的三个关键点
(1)对称轴为直线x＝μ.
(2)标准差为σ.
(3)分布区间．
由μ，σ利用对称性可求指定范围内的概率值，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为直线x＝0.
【对点训练3】 (1)（多选）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布N（μ1，σ），N（μ2，σ），其正态密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( ACD )
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近
D．若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.158 7
解析：由题中图象可知，甲的图象关于直线x＝75对称，乙的图象关于直线x＝85对称，所以甲同学的平均成绩为75分，乙同学的平均成绩为85分，故A正确，B错误；因为甲的图象比乙的图象更“高瘦”，所以甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小，甲同学的成绩比乙同学的成绩更集中于平均值附近，故C正确；若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为＝0.158 7，故D正确．故选ACD.
(2)（多选）（2025·山东聊城一模）在一次数学学业水平测试中，某市高一全体学生的成绩X～N(μ，σ2)，且E(X)＝80，D(X)＝400，规定测试成绩不低于60分者为及格，不低于120分者为优秀，令P(|X－μ|≤σ)＝m，P(|X－μ|≤2σ)＝n，则( BCD )
A.μ＝80，σ＝400
B．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为
C．从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为
D．从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为
解析：由E(X)＝80，D(X)＝400，得μ＝80，σ2＝400，故A错误；由μ＝80，σ2＝400，得X～N(80，202)，则μ－σ＝80－20＝60，μ＋σ＝80＋20＝100，μ－2σ＝80－2×20＝40，μ＋2σ＝80＋2×20＝120，故有P(60≤X≤100)＝m，P(40≤X≤120)＝n，则P(100≤X≤120)＝，则P(60≤X≤120)＝＋m＝，即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格但不优秀的概率为，故B正确；P(X≥120)＝，则从该市高一全体学生中（数量很大）依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名测试成绩优秀的概率为P＝2××1－＝，故C正确；P(X≥60)＝＋，又P(X≥120)＝，故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试成绩及格的概率为＋，该生测试成绩优秀的概率为，则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成绩优秀的概率为＝，故D正确．故选BCD.
课时作业74
1．（5分）（2024·湖南益阳三模）某生产线正常生产下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N(5，σ2)，若P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，则实数a的值为( B )
A．1 B．3
C．4 D．9
解析：因为X～N(5，σ2)，且P(X≤a)＝P(X≥1＋2a)，所以a＋(1＋2a)＝2×5，解得a＝3.故选B.
2．（5分）（2024·安徽合肥二模）甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4∶2获胜的概率为( C )
A． B．
C． D．
解析：根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，则甲以4∶2获胜的概率为C··×＝.故选C.
3．（5分）（2024·广东江门二模）一箱苹果共有12个，其中有n(2
C．5 D．6
解析：依题意可得＝，即＝，整理得n2－13n＋36＝0，解得n＝4或n＝9，因为2
A． B．
C． D．
解析：由X～N(μ，σ2)，以及P(X≥4)＝可得μ＝4，由于E(X)＝E(Y)，故6p＝4，p＝.故选D.
5．（5分）（2024·湖北荆州三模）上周联考的数学成绩X服从正态分布N(90，σ2)，且P(X<70)＝0.2，负责命题的王老师考后随机抽取了10个学生的数学成绩，设这10个学生中得分在[70，110]的人数为Y，则随机变量Y的方差为( C )
A．2 B．2.1
C．2.4 D．3
解析：由正态分布知，学生得分在[70，110]的概率为1－0.2×2＝0.6，抽取的10个学生中得分在[70，110]的人数Y服从二项分布B(10，0.6)，D(Y)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4.故选C.
6．（5分）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差（分别用X甲、X乙、X丙表示）分布的正态密度曲线，则下列说法不正确的是( B )
A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等
B．P（－1≤X乙≤0）
D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好
解析：根据正态密度曲线的性质可得，三种品牌的手表日走时误差对应的正态密度曲线的对称轴都是y轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，故A正确；乙品牌手表日走时误差对应的正态密度曲线在区间[－1，0]之间与x轴围成的面积与丙品牌手表日走时误差对应的正态密度曲线在区间[0，2]之间与x轴围成的面积相等，故B不正确；由正态密度曲线的形状，可得σ甲<σ乙<σ丙，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙，故C正确；由三种品牌手表日走时的误差的均值都是0，σ甲<σ乙<σ丙，可得甲种品牌的手表走时准且最稳定，质量最好，故D正确．故选B.
7．（6分）（多选）（2024·湖南长沙三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛．具体规则为甲组的同学连续投球3次，乙组的同学每人各投球1次．若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为，，，，则( BCD )
A．乙组同学恰好命中2次的概率为
B．甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率
C．甲组同学命中次数的方差为
D．乙组同学命中次数的数学期望为
解析：设“乙组同学恰好命中2次”为事件M，则P(M)＝××＋××＋××＝，所以A错误；设“甲组同学恰好命中2次”为事件N，则P(N)＝C×＝，因为>，所以B正确；因为甲组同学每次命中的概率都为，设甲组同学命中次数为X，则X～B，可得D(X)＝3××＝，所以C正确；设乙组同学命中次数为随机变量Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，则P(Y＝0)＝××＝，P(Y＝1)＝××＋××＋××＝，P(Y＝2)＝P(M)＝，P(Y＝3)＝××＝，故E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，所以D正确．故选BCD.
8．（6分）（多选）袋中有8个大小相同的球，其中5个黑球，3个白球，现从中任取3个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出3个球的总得分，则下列结论中正确的是( BCD )
A．P(|Z－5|≤1)＝
B．E(X)
D．E(Z)＝
解析：X，Y均服从超几何分布，且X＋Y＝3，Z＝2X＋Y＝3＋X，P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，P(|Z－5|≤1)＝P(|X－2|≤1)＝1－P(X＝0)＝1－＝，A错误；E(X)＝3×＝，E(Y)＝3－E(X)＝，B正确；D(Y)＝D(3－X)＝D(X)，C正确；E(Z)＝3＋E(X)＝3＋＝，D正确．故选BCD.
9．（5分）（2024·广东梅州二模）某中学1 500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150，σ2)，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为450．
解析：由题意可知，P(X>170)＝＝0.2，又因为X～N(150，σ2)，所以P(130≤X≤150)＝P(150≤X≤170)＝0.5－P(X>170)＝0.5－0.2＝0.3，所以跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为1 500×0.3＝450.
10．（5分）（2024·安徽六安模拟）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是．
解析：因为移动6次仍回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次，若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率为C·＝，若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率为AC·＝，若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率为CA·＝，若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率为C·＝，故移动6次仍回到原点的概率为＋＋＋＝.
11．（15分）（2025·黑龙江大庆一模）2024年7月12日，国家疾控局会同教育部、国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.
(1)若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
(2)现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记X表示这三名学生中肥胖的人数，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则P(A)＝，P（）＝，
设“学生肥胖”为事件B，则P(B|A)＝，P（B|）＝，
由全概率公式可得P(B)＝P(B|A)P(A)＋P（B|）P（）＝×＋×＝，
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为.
(2)由题意可知X～B，且X的可能取值为0，1，2，3，则
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C××＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
X的期望E(X)＝3×＝.
12．（15分）（2024·湖南常德一模）某市共有教师1 000名，为了解老师们的寒假研修学习情况，评选研修先进个人，现随机抽取了10名教师利用“学习APP”学习的时长数据（单位：小时）：35，43，90，83，50，45，82，75，62，35.学习时长不低于80小时的教师评为“研修先进个人”．
(1)现从该样本中随机抽取3名教师的学习时长，求这3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率．
(2)若该市所有教师的学习时长X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中σ＝10，μ为抽取的10名教师学习时长数据的样本平均数，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①试估计学习时长不低于50小时的教师的人数（结果四舍五入到整数）；
②若从该市随机抽取的n名教师中恰有ξ名教师的学习时长在[50，70]内，则当ξ的均值不小于32时，n的最小值为多少？
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由于这10名教师中恰有3名是研修先进个人，故随机抽取的3名教师中恰有1名教师是研修先进个人的概率为＝＝.
(2)①直接计算可得μ＝×(35＋43＋90＋83＋50＋45＋82＋75＋62＋35)＝60.
所以P(X≥50)＝P(X≥μ－σ)＝＋P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.841 35.
故可以估计学习时长不低于50小时的教师的人数为1 000×0.841 35≈841.
②由于P(50≤X≤70)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，故E(ξ)＝0.682 7n.
当E(ξ)≥32时，有0.682 7n≥32，得n≥46.872 7，
所以n的最小值是47.
13．（6分）（多选）（2024·辽宁沈阳三模）下列说法正确的是( BCD )
A．连续抛一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛硬币，设随机变量X表示停止时抛硬币的次数，则P(X＝3)＝
B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量Y表示所选取的学生中男同学的人数，则E(Y)＝
C．若随机变量ξ～B，则D(ξ)＝2
D．若随机变量η～N(μ，σ2)，则当μ减小，σ增大时，P(|η－μ|<σ)保持不变
解析：抛一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则P(X＝3)＝×＝，A错误；显然随机变量Y服从超几何分布，则E(Y)＝＝，B正确；由随机变量ξ～B，得D(ξ)＝9××＝2，C正确；由正态分布的意义知，P(|η－μ|<σ)＝P(μ－σ<η<μ＋σ)为定值，D正确．故选BCD.
14．（6分）（多选）（2024·山东聊城三模）在美国重压之下，中国芯片异军突起．某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为X，另一随机变量Y～N(4，1)，则( CD )
A．D(2X＋1)＝1.6
B．E(X)＝E(Y)，D(X)≥D(Y)
C．P(X≤4)>P(Y≥4)
D．P(X＝k)随k的增大先增大后减小
解析：由题意得X～B(5，0.8)，则E(X)＝5×0.8＝4，D(X)＝5×0.8×0.2＝0.8，所以D(2X＋1)＝4×0.8＝3.2，故A错误；X～B(5，0.8)，则P(X＝k)＝C·0.8k·0.25-k(k＝0，1，2，…，5)，设当X＝k(k≥1)时概率最大，则有即
解得3.8≤k≤4.8，由k∈Z，所以当X＝4时概率最大，则P(X＝0)
15．（6分）（多选）（2024·福建泉州模拟）某人在n次射击中击中目标的次数为X，X～B(n，p)，其中n∈N*，0
B．当p＝时，D(X)取得最小值
C．当
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