第十章　10.8　概率统计的综合问题（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

10．8　概率统计的综合问题
会综合利用概率统计知识，解决频率分布直方图、回归模型、独立性检验与分布列的综合问题．
考点1 频率分布直方图与分布列的综合
【例1】　为提高学生的环保意识，某大学举办了一次环保知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分布在[450，950]内，根据调查的结果绘制了竞赛分数的频率分布直方图，如图所示．分数不低于850分的学生被称为“特优选手”．
(1)求a的值，并估计该校学生竞赛分数的第70百分位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)现采用比例分配的分层随机抽样的方式从分数在[750，850），[850，950]内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中“特优选手”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【解】　(1)由频率分布直方图知(0.001 5×2＋a＋0.002 5＋0.001 0)×100＝1 a＝0.003 5.
设第70百分位数为m，前两组所占频率为(0.001 5＋0.003 5)×100＝0.5，
前三组所占频率为(0.001 5＋0.003 5＋0.002 5)×100＝0.75，则m位于第三组数据中，
所以＝ m＝730，即第70百分位数的估计值为730.
平均数＝(500×0.001 5＋600×0.003 5＋700×0.002 5＋800×0.001 5＋900×0.001 0)
×100＝670，
即该校学生竞赛成绩的平均数的估计值为670.
(2)由(1)知分数在[750，850），[850，950]内的两组学生分别有100×0.001 5×100＝15（人），100×0.001 0×100＝10（人），
所以各自抽取的人数分别为10×＝6，10×＝4，
显然“特优选手”有4人，
故X可取0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
高考中常将频率分布直方图与分布列等交汇在一起进行考查，解题时要正确理解频率分布直方图，能利用频率分布直方图正确计算出各组数据．概率问题以计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来．
【对点训练1】　某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率．
(1)估计某一天此款甜品销售量不超过60个的概率．
(2)用X表示在未来3天里，此款甜品日销售量超过60个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．
(3)该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都超过70个，根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化？请说明理由．
解：(1)设事件A为“某一天此款甜品销售量不超过60个”，
所以P(A)＝(0.01＋0.03)×10＝0.4.
(2)根据题意得X～B(3，0.6)，则
P(X＝0)＝0.43＝0.064，
P(X＝1)＝C×0.6×0.42＝0.288，
P(X＝2)＝C×0.62×0.4＝0.432，
P(X＝3)＝0.63＝0.216，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
所以E(X)＝0×0.064＋1×0.288＋2×0.432＋3×0.216＝1.8.
(3)可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化．理由如下：
改变制作工艺前，设事件C表示“日销售量超过70个”，用Y表示30天内日销售量超过70个的天数，
由频率分布直方图可得P(C)＝0.2，则Y～B(30，0.2)，
所以E(Y)＝30×0.2＝6<20，
所以可以认为改变制作工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化．
考点2 回归模型与分布列的综合
【例2】　（2025·山东淄博二模）汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份t 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
销量y/万辆 10 12 17 20 26
(1)计算销量y关于年份代码x的样本相关系数r，并判断是否可以认为y与x有较强的线性相关关系（若|r|≥0.75，则认为有较强的线性相关关系）.若是，求出y关于x的经验回归方程；若不是，请说明理由．
(2)为了解购车车主的购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业调查了该地区4位购买新能源汽车车主和4位购买传统燃油汽车车主，现从这8位购车车主中随机抽取3位，用X表示抽取的3位购车车主中购买新能源汽车的人数，求随机变量X的分布列与均值．
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，变量x，y的样本相关系数r＝
＝；经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－.
【解】　(1)由题意得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(10＋12＋17＋20＋26)＝17，iyi＝295，＝55，＝1 609，
r＝＝＝>≈0.976>0.75，
因此，销量y与年份代码x有较强的线性相关关系．
＝＝＝4，
＝－＝17－4×3＝5，
故y关于x的经验回归方程为＝4x＋5.
(2)由题意可得，X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
高考中常将回归模型与分布列等交汇在一起进行考查，求经验回归方程时要充分利用已知数据，合理利用公式减少运算．求解概率问题时要注意概率模型的应用，明确所求问题所属的事件类型是关键．
【对点训练2】　（2024·山东日照二模）某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成绩以确定员工绩效等级．
(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为随机变量X，求X的最有可能的取值．
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x（满分100分，成绩为整数）与绩效等级优秀率y，如下表所示：
x 32 41 54 68 74 80 92
y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
根据数据绘制散点图，初步判断，选用y＝λecx作为回归方程．令z＝ln y，经计算得≈－0.642，≈0.02.
(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率；
(ⅱ)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩x～N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，经计算s≈20，求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率．
参考公式与数据：①ln 0.15≈－1.9，e1.2≈3.32，ln 5.2≈1.65.
②经验回归方程＝x＋中，＝，＝－.
③若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解：(1)依题意，随机变量X服从超几何分布，且X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
由此可得P(X＝1)＝最大，即X＝1的可能性最大，故X最有可能的取值为1.
(2)(ⅰ)依题意，y＝λecx两边取对数，得ln y＝cx＋ln λ，即z＝cx＋ln λ，其中＝＝63，
由提供的参考数据，可知c≈0.02，
又－0.642＝0.02×63＋ln λ，故ln λ≈－1.9，所以λ≈e-1.9，
由提供的参考数据，可得λ≈0.15，故y^＝0.15×e0.02x.
当x＝60时，y^＝0.15×e0.02×60≈0.498，即估计其绩效等级优秀率为0.498.
(ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知，μ≈＝63，σ≈s≈20，
又y^≥0.78，即0.15×e0.02x≥0.78，可得0.02x≥ln 5.2，即x≥≈83.
又μ＋σ＝83，且P(μ－σ由正态分布的性质，得P(x≥83)＝[1－P(μ－σ记“绩效等级优秀率不低于0.78”为事件A，则P(A)＝P(x≥83)＝0.158 7，
所以绩效等级优秀率不低于0.78的概率等于0.158 7.
考点3 独立性检验与分布列的综合
【例3】　（2024·山东青岛三模）为了研究高三年级学生的性别和身高是否低于170 cm的关联性，随机调查了某中学部分高三年级的学生，整理得到如下列联表：
性别 身高 合计
低于170 cm 不低于170 cm
女生 14 5 19
男生 8 10 18
合计 22 15 37
(1)依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？
(2)从身高不低于170 cm的15名学生中随机抽取三名学生，设抽取的三名学生中女生人数为X，求X的分布列及期望E(X).
(3)若低于170 cm的8名男生身高数据的平均数为＝166.5 cm，方差为s＝9，不低于170 cm的10名男生身高数据的平均数为＝180 cm，方差为s＝18.请估计该中学男生身高数据的平均数和方差．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【解】　(1)零假设：该中学高三年级学生的性别与身高无关联．
根据列联表中的数据，经计算得
χ2＝≈3.278>2.706＝x0.1，
由此可知根据小概率值α＝0.1的独立性检验，零假设不成立，可以认为性别与身高有关联．
(2)由题意，可得随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.
(3)由题意知，18名男生身高数据的平均数
＝×166.5＋×180＝174(cm)，
18名男生身高数据的方差
s2＝ ＝[ （xi－＋－）2＋（yi－＋－）2]＝[（xi－）2＋8（－）2＋（yi－）2＋10（－）2]＝×[s＋（－）2]＋×[s＋（－）2]＝59，
所以估计该中学男生身高数据的平均数为174 cm，方差为59.
高考中常将独立性检验与分布列等交汇在一起进行考查，解决独立性检验问题，要注意过好“三关”：假设关、公式关、对比关．解决概率问题要准确地把握题中所涉及的事件，明确所求问题所属的事件类型．
【对点训练3】　（2024·山东临沂二模）“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力．为了解年轻人对“赶大集”的态度（态度分为非常喜欢和感觉一般），随机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示．
性别 对“赶大集”的态度 合计
非常喜欢 感觉一般
男性 3t 100
女性 t
合计 60
(1)求t的值，试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关．
(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶大集”．现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流，记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，求X的分布列及数学期望E(X).
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.1 0.05 0.01
xα 2.706 3.841 6.635
解：(1)由题意可知3t＋(60－t)＝100，解得t＝20，
零假设：年轻人对“赶大集”的态度与性别无关，2×2列联表如下：
性别 对“赶大集”的态度 合计
非常喜欢 感觉一般
男性 60 40 100
女性 80 20 100
合计 140 60 200
χ2＝＝≈9.524>6.635.
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，零假设不成立，可以认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
(2)设进一步交流的男性中非常喜欢“赶大集”的人数为m，女性中非常喜欢“赶大集”的人数为n，则X＝m＋n，且X的所有可能取值为1，2，3，4.
P(X＝1)＝P(m＝0，n＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝P(m＝1，n＝1)＋P(m＝0，n＝2)＝＋＝，P(X＝3)＝P(m＝2，n＝1)＋P(m＝1，n＝2)＝＋＝＝，P(X＝4)＝P(m＝2，n＝2)＝＝＝.
所以X的分布列为
X 1 2 3 4
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
课时作业75
1．（13分）（2025·北京东城区一模）某中学为了解高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到频率分布直方图：
(1)若该校高二年级有1 500人，试估计阅读速度达到620字/分及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分及以上的人数为X，求X的分布列与数学期望E(X)；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度的数据如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分及以上的人数为Y，试判断数学期望E(Y)与(2)中的E(X)的大小，并说明理由．
解：(1)1 500×(0.003 75＋0.001 00＋0.000 25)×80＝600，
故可估计阅读速度达到620字/分及以上的人数为600.
(2)从中随机抽取一人，其阅读速度达到540字/分及以上的概率为(0.005 00＋0.003 75＋0.001 00＋0.000 25)×80＝0.8，
X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝C×0.23＝0.008，
P(X＝1)＝C×0.8×0.22＝0.096，
P(X＝2)＝C×0.82×0.2＝0.384，
P(X＝3)＝C×0.83＝0.512，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512
期望为E(X)＝3×0.8＝2.4.
(3)E(X)＝E(Y)，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分及以上的人数为8，则Y的可能取值为1，2，3，
P(Y＝1)＝＝＝，
P(Y＝2)＝＝＝，
P(Y＝3)＝＝＝，
则E(Y)＝1×＋2×＋3×＝2.4，故E(X)＝E(Y).
2．（13分）（2024·江西鹰潭三模）某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度，随机调查了200名学生，数据如下：
态度 性别 合计
男生 女生
同意 70 50 120
不同意 30 50 80
合计 100 100 200
(1)能否有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择互不影响．记事件A为“甲学生选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件A，B是否独立，并说明理由．
②若该校所有学生每分钟跳绳个数X～N(185，169).根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显增加．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1 000名学生，预估经过训练后该校学生每分钟跳182个以上的人数（结果四舍五入到整数）.
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.025 0.010 0.005
xα 5.024 6.635 7.879
若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<σ)≈0.682 7，P(|X－μ|<2σ)≈0.954 5，P(|X－μ|<3σ)≈0.997 3.
解：(1)由题设列联表，有
χ2＝＝≈8.33>6.635，
故有99%的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关．
(2)①事件A，B独立，理由如下：
P(A)＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，则P(AB)＝P(A)·P(B)，故事件A，B独立．
②训练后X～N(195，132)，P(X>182)＝P(X>μ－σ)＝＋
≈＝0.841 35，
故预估经过训练后该校学生每分钟跳182个以上的人数为0.841 35×1 000≈841.
3．（17分）（2024·江苏南通模拟）某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：
第x天 1 2 3 4 5
参观人数y/千人 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9
并计算得iyi＝85.2，＝55，＝3，＝4.7.
(1)求y关于x的经验回归方程，并预测第10天入校参观的人数．
(2)已知该校开放1号、2号门供参观者进出，参观者从两门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为.假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率．
附：经验回归方程为＝x＋，其中b^＝，＝－.
解：(1)依题意，＝＝＝＝1.47，
＝－＝0.29，所以＝1.47x＋0.29.当x＝10时，＝14.99，
故第10天入校参观的人数约为14.99千人．
(2)记“两名参观者从不同门进校”为事件A，“两名参观者都从1号门离校”为事件B，即求P(A∣B).
P(B)＝×××＋×××＋×2＝，
P(AB)＝××××2＝，
所以P(A∣B)＝＝.
故他们从不同门进校的概率为.
4．（17分）（2024·河北沧州模拟）“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.2024年某基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（单位：人）与年收益增量y（单位：万元）的数据如下：
人工投入增量x/人 2 3 4 6 8 10 13
年收益增量y/万元 13 22 31 42 50 56 58
该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y关于x的两个回归模型．
模型①：由最小二乘公式可求得y关于x的经验回归方程：＝4.1x＋11.8；
模型②：由散点图的样本点分布（如图），可以认为样本点集中在曲线：y＝＋的附近，对人工投入增量x做变换，令t＝，则y＝·t＋，且有≈2.5，≈38.9，（ti－）（yi－）≈81.0，（ti－）2≈3.8.
(1)(ⅰ)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程（精确到0.1）；
(ⅱ)根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．
回归模型 模型① 模型②
经验回归方程 y^＝4.1x＋11.8 y＝ ＋
182.4 79.2
(2)根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某“南澳牡蛎”养殖基地的单个“南澳牡蛎”的质量（单位：克）在正常环境下服从正态分布N(32，16).购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性有多大？
附：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－3σ解：(1)(ⅰ)由≈2.5，≈38.9，（ti－）（yi－）≈81.0，（ti－）2≈3.8，
有＝≈≈21.3，且＝－≈38.9－21.3×2.5≈－14.4，
所以模型②中y关于x的经验回归方程为＝21.3－14.4.
(ⅱ)由表格中的数据，有182.4>79.2，即>，
模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．
当x＝16时，模型②的年收益增量的预测值为＝21.3×－14.4＝21.3×4－14.4＝70.8（万元），
这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠．
(2)由已知单个“南澳牡蛎”的质量ξ～N(32，16)，则μ＝32，σ＝4，
由正态分布的对称性可知，
P(ξ<20)＝[1－P(20<ξ<44)]＝[1－P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)]≈×(1－0.997 4)＝0.001 3.
设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20 g的牡蛎为X只，
故X～B(10，0.001 3)，所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－0.001 3)10≈1－0.987 1＝0.012 9，
所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20 g的牡蛎的可能性仅为1.29%.