第四章 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）
文档属性
| 名称 | 第四章 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 434.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-31 00:00:00 | ||
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文档简介
三角函数、解三角形
4．1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．了解任意角的概念和弧度制的概念.
2．能进行弧度与角度的互化.
3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角).
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度和弧度的换算
180°＝π rad；
(3)半径为r的圆中，圆心角为α rad的角所对的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．
3．三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角 函数 定义域 (弧度制下) 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α αα≠kπ＋ ，k∈Z ＋ － ＋ －
教材拓展
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝.
3．象限角
4．轴线角
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α为锐角，则2α为钝角．( × )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．( × )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √ )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
2．(人教A版必修第一册P170例1改编)已知α＝－π，β与α的终边相同，且β∈，则β＝－．
解析：因为α＝－π＝－2×2π－，β与α的终边相同，且β∈，所以β＝－.
3．(人教A版必修第一册P176T10改编)已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为，该扇形的面积为．
解析：设该扇形的半径为r，则2r＋2r＝10，解得r＝，所以该扇形的面积为×2×＝.
4．(人教A版必修第一册P180T3改编)若角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，且sin θ＝m，则m＝1．
解析：因为角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，所以sin θ＝＝m，解得m＝1(m＝－1舍去)，所以m＝1.
考点1 象限角与终边相同的角
【例1】 (1)(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( CD )
A．45°＋2kπ(k∈Z)
B．＋k·360°(k∈Z)
C．－315°＋k·360°(k∈Z)
D．＋2kπ(k∈Z)
【解析】 对于A，B，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，故A，B错误；对于C，＝2π＋，则与终边相同，而与－终边相同，且－化为角度制即为－315°，则－315°与的终边相同，则－315°＋k·360°(k∈Z)是与的终边相同的角的表达式，故C正确；对于D，由C得与终边相同，则与终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)的形式，故D正确．故选CD.
(2)(多选)下列说法中正确的是( AB )
A．300°＝
B．若α为第一象限角，则为第一或第三象限角
C．第二象限角都是钝角
D．终边在直线y＝－x上的角的集合是
【解析】 对于A，300°＝300×＝，A正确；对于B，α为第一象限角，即2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，则kπ<1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
【对点训练1】 (1)是( B )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：＝674π＋，则与终边相同，为第二象限角．故选B.
(2)如图，已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α的终边和θ相同，则角α的集合为( C )
A．
B．
C．
D．
解析：终边落在直线y＝x上的角为＋kπ(k∈Z)，终边落在直线y＝x上的角为＋kπ(k∈Z)，故角α的集合为.故选C.
考点2 弧度制及其应用
【例2】 已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r.
(1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积．
【解】 (1)设扇形的弧长为l.∵α＝60°＝，r＝3，∴l＝|α|r＝×3＝π.
(2)由题设条件知l＋2r＝16，
l＝16－2r，
因此扇形的面积S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，
∴当r＝4时，S有最大值16，此时l＝16－2r＝8，α＝＝2，
∴当α＝2时，扇形的面积最大，最大面积是16.
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【对点训练2】 (1)“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为(0，π)时，其所对的“古典正弦”为BC(D为BC的中点).根据以上信息，当圆心角∠BOC对应的的长为2时，其对应的“古典正弦”值为( D )
A．2sin 2° B．2sin
C．2sin 1° D．2sin 1
解析：由题意知OB＝1，l＝2，则圆心角∠BOC＝＝2，则∠BOD＝1，所以BC＝2BD＝2×1×sin 1＝2sin 1.故选D.
(2)(2024·山东潍坊三模)如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是( B )
A．2 B．1
C． D．
解析：由圆M与圆N外切，得MN＝2，又圆M、圆N与x轴分别相切于原点O和点B，则OB＝MN＝2，所以的长l＝OB＝2，所以对应的扇形面积为×2×1＝1.故选B.
考点3 三角函数的定义
命题角度1 三角函数的定义及应用
【例3】 (1)(2024·浙江金华三模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若P(－1，2)为角α终边上的一点，则cos α＝－.
【解析】 由P(－1，2)为角α终边上的一点，得cos α＝＝－.
(2)(2024·上海松江区二模)已知点A的坐标为，将线段OA绕坐标原点O逆时针旋转至OP，则点P的坐标为．
【解析】 设点P的坐标为(xP，yP).如图，因为点A的坐标为，所以∠xOA＝，所以∠xOP＝＋＝，所以xP＝cos ＝－，yP＝sin ＝，所以点P的坐标为.
命题角度2 三角函数值符号的判断
【例4】 (1)已知点M(cos α，tan α)在第二象限，则角α的终边在( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为点M(cos α，tan α)在第二象限，所以cos α<0，tan α>0，所以α的终边在第三象限．故选C.
(2)已知角θ的终边经过点P(3a－9，log2a－2)，若cos θ>0，且sin θ<0，则实数a的取值范围是( B )
A．(1，3) B．(2，4)
C．(3，4) D．(4，6)
【解析】 由题意可得P在第四象限，所以解得21．三角函数定义的应用
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．
【对点训练3】 (1)已知点P(m，－)(m≠0)在角α终边上，且cos α＝m，则sin α＝( A )
A．－ B．－
C． D．
解析：因为点P(m，－)(m≠0)在角α终边上，且cos α＝m，所以cos α＝
＝m，所以m2＝5，所以sin α＝＝＝－.故选A.
(2)若sin α<0且cos α>0，则α的终边所在象限为( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：α的终边过点(cos α，sin α)，又sin α<0且cos α>0，则α的终边所在象限为第四象限．故选D.
课时作业25
1．(5分)下列各角中，与79°终边相同的是( D )
A．349° B．379°
C．679° D．799°
解析：349°＝360°－11°，故A错误；379°＝360°＋19°，故B错误；679°＝360°×2－41°，故C错误；799°＝2×360°＋79°，故D正确．故选D.
2．(5分)下列命题为真命题的是( B )
A．小于90°的角都是锐角
B．钝角一定是第二象限角
C．第二象限角大于第一象限角
D．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角
解析：小于90°的角，例如0°<90°，但0°不是锐角，所以A是假命题；因为钝角的范围是，是第二象限角，所以B是真命题；例如：－210°是第二象限角，30°是第一象限角，但－210°<30°，所以C是假命题；当θ＝π时，cos θ＝－1，但θ＝π不是第二或第三象限角，所以D是假命题．故选B.
3．(5分)若扇形的圆心角为，弧长为2π，则该扇形的半径为( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：设该扇形的半径为r，则由题意得r＝2π，解得r＝3.故选A.
4．(5分)在平面直角坐标系Oxy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(－1，－2)，则sin α＝( D )
A． B．
C．－ D．－
解析：因为角α终边经过点P(－1，－2)，所以sin α＝＝－.故选D.
5．(5分)已知α是第二象限角，P(x，6)为其终边上的一点，且sin α＝，则x＝( C )
A．－4 B．±4
C．－8 D．±8
解析：点P(x，6)是第二象限角α终边上的一点，则x<0，由sin α＝，得＝，所以x＝－8.故选C.
6．(5分)已知扇形的圆心角为2 rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为( D )
A．2sin 1 B．4sin21
C． D．
解析：扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，如图，设扇形的半径为r，由垂径定理得sin 1＝，即r＝，故扇形的面积为×2×＝.故选D.
7．(6分)(多选)下列说法正确的是( CD )
A．2rad的角是一个锐角
B．24°与2 024°的终边相同
C．将时钟拨快30分钟，则分针转过的角度是－180°
D．若α是第一象限角，则为第一或第二或第三象限角
解析：2 rad≈2×57.3°＝114.6°，是钝角，A错误；∵2 024°＝360°×5＋224°，∴2 024°与224°终边相同，又224°是第三象限角，而24°是第一象限角，∴终边不同，B错误；时钟拨快30分钟，则分针转过的角为负角，且是整个表盘的一半，则为－180°，C正确；∵α是第一象限角，∴2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，∴<<＋，k∈Z，∴是第一或第二或第三象限角，D正确．故选CD.
8．(6分)(多选)某市政府欲在一个扇形区域OAB建造市民公园，已知该扇形区域的面积为160 000平方米，圆心角为2，则( ACD )
A．该扇形的半径为400米
B．该扇形的半径为800米
C．该扇形的周长为1 600米
D．该扇形的弧长为800米
解析：设该扇形的半径为r米，弧长为l米，根据题意，可得解得所以该扇形的周长为2r＋l＝800＋800＝1 600(米).故选ACD.
9．(5分)在直角坐标系中，已知角α的终边过点P(1，－2)，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cos β＝－．
解析：由题意知cos α＝，因为角β的终边与角α的终边关于y轴对称，所以β＝π－α＋2kπ(k∈Z)，所以cos β＝cos (π－α＋2kπ)＝－cos α＝－.
10．(5分)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是．
解析：直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为.
11．(16分)已知角α的终边与单位圆交于点P，其中m<0.
(1)求实数m的值；
(2)求sin α，cos α，tan α的值．
解：(1)由角α的终边与单位圆交于点P，得＝1，又m<0，所以m＝－.
(2)因为角α的终边与单位圆交于点P，所以sin α＝－，cos α＝，
tan α＝－2.
12．(17分)如图，这是一个扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)展台，AD＝4米．
(1)若∠COD＝，OA＝2米，求该扇形环面展台的周长；
(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．
解：(1)由题意可得弧AB的长l1＝米，弧CD的长l2＝4π米，
所以扇形环面展台的周长为l1＋l2＋2×4＝米．
(2)设∠COD＝θ，OA＝r米，
则弧AB的长l1＝θr米，弧CD的长l2＝θ(r＋4)＝(θr＋4θ)米，
因为该扇形环面展台的周长为14米，所以l1＋l2＋4×2＝14，即θr＋θr＋4θ＋8＝14，整理得θr＋2θ＝3，
则该扇形环面展台的面积S＝θ(r＋4)2－θr2＝4θr＋8θ＝4(θr＋2θ)＝12(平方米)，
所以布置该扇形环面展台的总费用为12×500＝6 000(元).
13．(5分)已知集合A＝，B＝，则( A )
A．A B B．B A
C．A＝B D．A∩B＝
解析：当k＝2n，n∈Z时，B＝＝A，当k＝2n＋1，n∈Z时，B＝，所以A B.故选A.
14．(5分)(2024·湖南长沙一模)出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”(图1)的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin 37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( C )
A．6.8 cm2 B．9.8 cm2
C．14.8 cm2 D．22.4 cm2
解析：显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB≈5，AB≈8，则cos ∠OAB＝≈，
sin ∠OAB≈，又sin 37°≈，所以∠OAB≈37°，于是∠AOB≈180°－2×37°＝106°＝，所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈14.8(cm2).故选C.
15．(5分)已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB＝( C )
A．2 B．sin 1
C．2sin 1 D．2cos 1
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则l＝4－2r，所以扇形的面积为S＝lr＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
当r＝1时，该扇形的面积取到最大值1，扇形的弧长为l＝4－2r＝2，此时∠AOB＝＝2.如图所示，取AB的中点C，连接OC，则OC⊥AB，且∠AOC＝1，因此，AB＝2AC＝2r sin 1＝2sin 1.故选C.
4．1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．了解任意角的概念和弧度制的概念.
2．能进行弧度与角度的互化.
3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念
(1)正角、负角、零角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：我们通常在直角坐标系内讨论角．使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限(常称为轴线角).
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．
(2)角度和弧度的换算
180°＝π rad；
(3)半径为r的圆中，圆心角为α rad的角所对的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．
3．三角函数的概念
(1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0).正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
(2)三角函数的定义域和函数值在各象限的符号
三角 函数 定义域 (弧度制下) 第一象 限符号 第二象 限符号 第三象 限符号 第四象 限符号
sin α R ＋ ＋ － －
cos α R ＋ － － ＋
tan α αα≠kπ＋ ，k∈Z ＋ － ＋ －
教材拓展
1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝.
3．象限角
4．轴线角
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α为锐角，则2α为钝角．( × )
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．( × )
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √ )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
2．(人教A版必修第一册P170例1改编)已知α＝－π，β与α的终边相同，且β∈，则β＝－．
解析：因为α＝－π＝－2×2π－，β与α的终边相同，且β∈，所以β＝－.
3．(人教A版必修第一册P176T10改编)已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为，该扇形的面积为．
解析：设该扇形的半径为r，则2r＋2r＝10，解得r＝，所以该扇形的面积为×2×＝.
4．(人教A版必修第一册P180T3改编)若角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，且sin θ＝m，则m＝1．
解析：因为角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，所以sin θ＝＝m，解得m＝1(m＝－1舍去)，所以m＝1.
考点1 象限角与终边相同的角
【例1】 (1)(多选)下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( CD )
A．45°＋2kπ(k∈Z)
B．＋k·360°(k∈Z)
C．－315°＋k·360°(k∈Z)
D．＋2kπ(k∈Z)
【解析】 对于A，B，在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，故A，B错误；对于C，＝2π＋，则与终边相同，而与－终边相同，且－化为角度制即为－315°，则－315°与的终边相同，则－315°＋k·360°(k∈Z)是与的终边相同的角的表达式，故C正确；对于D，由C得与终边相同，则与终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)的形式，故D正确．故选CD.
(2)(多选)下列说法中正确的是( AB )
A．300°＝
B．若α为第一象限角，则为第一或第三象限角
C．第二象限角都是钝角
D．终边在直线y＝－x上的角的集合是
【解析】 对于A，300°＝300×＝，A正确；对于B，α为第一象限角，即2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，则kπ<
2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
【对点训练1】 (1)是( B )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：＝674π＋，则与终边相同，为第二象限角．故选B.
(2)如图，已知角θ的终边落在阴影区域内(不含边界)，角α的终边和θ相同，则角α的集合为( C )
A．
B．
C．
D．
解析：终边落在直线y＝x上的角为＋kπ(k∈Z)，终边落在直线y＝x上的角为＋kπ(k∈Z)，故角α的集合为.故选C.
考点2 弧度制及其应用
【例2】 已知扇形的圆心角为α，所在圆的半径为r.
(1)若α＝60°，r＝3，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为16，当α为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积．
【解】 (1)设扇形的弧长为l.∵α＝60°＝，r＝3，∴l＝|α|r＝×3＝π.
(2)由题设条件知l＋2r＝16，
l＝16－2r，
因此扇形的面积S＝lr＝(16－2r)r＝－r2＋8r＝－(r－4)2＋16，
∴当r＝4时，S有最大值16，此时l＝16－2r＝8，α＝＝2，
∴当α＝2时，扇形的面积最大，最大面积是16.
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【对点训练2】 (1)“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为(0，π)时，其所对的“古典正弦”为BC(D为BC的中点).根据以上信息，当圆心角∠BOC对应的的长为2时，其对应的“古典正弦”值为( D )
A．2sin 2° B．2sin
C．2sin 1° D．2sin 1
解析：由题意知OB＝1，l＝2，则圆心角∠BOC＝＝2，则∠BOD＝1，所以BC＝2BD＝2×1×sin 1＝2sin 1.故选D.
(2)(2024·山东潍坊三模)如图，半径为1的圆M与x轴相切于原点O，切点处有一个标志，该圆沿x轴向右滚动，当圆M滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N)，标志位于点A处，圆N与x轴相切于点B，则阴影部分的面积是( B )
A．2 B．1
C． D．
解析：由圆M与圆N外切，得MN＝2，又圆M、圆N与x轴分别相切于原点O和点B，则OB＝MN＝2，所以的长l＝OB＝2，所以对应的扇形面积为×2×1＝1.故选B.
考点3 三角函数的定义
命题角度1 三角函数的定义及应用
【例3】 (1)(2024·浙江金华三模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合．若P(－1，2)为角α终边上的一点，则cos α＝－.
【解析】 由P(－1，2)为角α终边上的一点，得cos α＝＝－.
(2)(2024·上海松江区二模)已知点A的坐标为，将线段OA绕坐标原点O逆时针旋转至OP，则点P的坐标为．
【解析】 设点P的坐标为(xP，yP).如图，因为点A的坐标为，所以∠xOA＝，所以∠xOP＝＋＝，所以xP＝cos ＝－，yP＝sin ＝，所以点P的坐标为.
命题角度2 三角函数值符号的判断
【例4】 (1)已知点M(cos α，tan α)在第二象限，则角α的终边在( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 因为点M(cos α，tan α)在第二象限，所以cos α<0，tan α>0，所以α的终边在第三象限．故选C.
(2)已知角θ的终边经过点P(3a－9，log2a－2)，若cos θ>0，且sin θ<0，则实数a的取值范围是( B )
A．(1，3) B．(2，4)
C．(3，4) D．(4，6)
【解析】 由题意可得P在第四象限，所以解得2
(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
2．要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解．
【对点训练3】 (1)已知点P(m，－)(m≠0)在角α终边上，且cos α＝m，则sin α＝( A )
A．－ B．－
C． D．
解析：因为点P(m，－)(m≠0)在角α终边上，且cos α＝m，所以cos α＝
＝m，所以m2＝5，所以sin α＝＝＝－.故选A.
(2)若sin α<0且cos α>0，则α的终边所在象限为( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：α的终边过点(cos α，sin α)，又sin α<0且cos α>0，则α的终边所在象限为第四象限．故选D.
课时作业25
1．(5分)下列各角中，与79°终边相同的是( D )
A．349° B．379°
C．679° D．799°
解析：349°＝360°－11°，故A错误；379°＝360°＋19°，故B错误；679°＝360°×2－41°，故C错误；799°＝2×360°＋79°，故D正确．故选D.
2．(5分)下列命题为真命题的是( B )
A．小于90°的角都是锐角
B．钝角一定是第二象限角
C．第二象限角大于第一象限角
D．若cos θ<0，则θ是第二或第三象限角
解析：小于90°的角，例如0°<90°，但0°不是锐角，所以A是假命题；因为钝角的范围是，是第二象限角，所以B是真命题；例如：－210°是第二象限角，30°是第一象限角，但－210°<30°，所以C是假命题；当θ＝π时，cos θ＝－1，但θ＝π不是第二或第三象限角，所以D是假命题．故选B.
3．(5分)若扇形的圆心角为，弧长为2π，则该扇形的半径为( A )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：设该扇形的半径为r，则由题意得r＝2π，解得r＝3.故选A.
4．(5分)在平面直角坐标系Oxy中，已知角α的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(－1，－2)，则sin α＝( D )
A． B．
C．－ D．－
解析：因为角α终边经过点P(－1，－2)，所以sin α＝＝－.故选D.
5．(5分)已知α是第二象限角，P(x，6)为其终边上的一点，且sin α＝，则x＝( C )
A．－4 B．±4
C．－8 D．±8
解析：点P(x，6)是第二象限角α终边上的一点，则x<0，由sin α＝，得＝，所以x＝－8.故选C.
6．(5分)已知扇形的圆心角为2 rad，所对的弦长为4，则扇形的面积为( D )
A．2sin 1 B．4sin21
C． D．
解析：扇形的圆心角为2rad，所对的弦长为4，如图，设扇形的半径为r，由垂径定理得sin 1＝，即r＝，故扇形的面积为×2×＝.故选D.
7．(6分)(多选)下列说法正确的是( CD )
A．2rad的角是一个锐角
B．24°与2 024°的终边相同
C．将时钟拨快30分钟，则分针转过的角度是－180°
D．若α是第一象限角，则为第一或第二或第三象限角
解析：2 rad≈2×57.3°＝114.6°，是钝角，A错误；∵2 024°＝360°×5＋224°，∴2 024°与224°终边相同，又224°是第三象限角，而24°是第一象限角，∴终边不同，B错误；时钟拨快30分钟，则分针转过的角为负角，且是整个表盘的一半，则为－180°，C正确；∵α是第一象限角，∴2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，∴<<＋，k∈Z，∴是第一或第二或第三象限角，D正确．故选CD.
8．(6分)(多选)某市政府欲在一个扇形区域OAB建造市民公园，已知该扇形区域的面积为160 000平方米，圆心角为2，则( ACD )
A．该扇形的半径为400米
B．该扇形的半径为800米
C．该扇形的周长为1 600米
D．该扇形的弧长为800米
解析：设该扇形的半径为r米，弧长为l米，根据题意，可得解得所以该扇形的周长为2r＋l＝800＋800＝1 600(米).故选ACD.
9．(5分)在直角坐标系中，已知角α的终边过点P(1，－2)，角β的终边与角α的终边关于y轴对称，则cos β＝－．
解析：由题意知cos α＝，因为角β的终边与角α的终边关于y轴对称，所以β＝π－α＋2kπ(k∈Z)，所以cos β＝cos (π－α＋2kπ)＝－cos α＝－.
10．(5分)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是．
解析：直线y＝－x的倾斜角是，所以终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为.
11．(16分)已知角α的终边与单位圆交于点P，其中m<0.
(1)求实数m的值；
(2)求sin α，cos α，tan α的值．
解：(1)由角α的终边与单位圆交于点P，得＝1，又m<0，所以m＝－.
(2)因为角α的终边与单位圆交于点P，所以sin α＝－，cos α＝，
tan α＝－2.
12．(17分)如图，这是一个扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)展台，AD＝4米．
(1)若∠COD＝，OA＝2米，求该扇形环面展台的周长；
(2)若该扇形环面展台的周长为14米，布置该展台的平均费用为500元/平方米，求布置该扇形环面展台的总费用．
解：(1)由题意可得弧AB的长l1＝米，弧CD的长l2＝4π米，
所以扇形环面展台的周长为l1＋l2＋2×4＝米．
(2)设∠COD＝θ，OA＝r米，
则弧AB的长l1＝θr米，弧CD的长l2＝θ(r＋4)＝(θr＋4θ)米，
因为该扇形环面展台的周长为14米，所以l1＋l2＋4×2＝14，即θr＋θr＋4θ＋8＝14，整理得θr＋2θ＝3，
则该扇形环面展台的面积S＝θ(r＋4)2－θr2＝4θr＋8θ＝4(θr＋2θ)＝12(平方米)，
所以布置该扇形环面展台的总费用为12×500＝6 000(元).
13．(5分)已知集合A＝，B＝，则( A )
A．A B B．B A
C．A＝B D．A∩B＝
解析：当k＝2n，n∈Z时，B＝＝A，当k＝2n＋1，n∈Z时，B＝，所以A B.故选A.
14．(5分)(2024·湖南长沙一模)出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾云纹黄玉璜”(图1)的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，璜身外镂空雕饰双龙，造型精美．现要计算璜身面积(厚度忽略不计)，测得各项数据(图2)：AB≈8 cm，AD≈2 cm，AO≈5 cm，若sin 37°≈，π≈3.14，则璜身(即曲边四边形ABCD)面积近似为( C )
A．6.8 cm2 B．9.8 cm2
C．14.8 cm2 D．22.4 cm2
解析：显然△AOB为等腰三角形，OA＝OB≈5，AB≈8，则cos ∠OAB＝≈，
sin ∠OAB≈，又sin 37°≈，所以∠OAB≈37°，于是∠AOB≈180°－2×37°＝106°＝，所以璜身的面积近似为∠AOB·(OA2－OD2)＝××(52－32)≈14.8(cm2).故选C.
15．(5分)已知扇形AOB的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB＝( C )
A．2 B．sin 1
C．2sin 1 D．2cos 1
解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则l＝4－2r，所以扇形的面积为S＝lr＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
当r＝1时，该扇形的面积取到最大值1，扇形的弧长为l＝4－2r＝2，此时∠AOB＝＝2.如图所示，取AB的中点C，连接OC，则OC⊥AB，且∠AOC＝1，因此，AB＝2AC＝2r sin 1＝2sin 1.故选C.
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