第四章 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）
文档属性
| 名称 | 第四章 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 176.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-31 00:00:00 | ||
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文档简介
4．2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．掌握诱导公式及其应用．
1．同角三角函数的基本关系
sin2α＋cos2α＝1．
＝tan α．
2．诱导公式
项目 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
与α终 边关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y＝x对称 —
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α — —
记忆 规律 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
3.同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝ α≠＋kπ，k∈Z．
(4)cos2α＝＝α≠＋kπ，k∈Z．
教材拓展
1．sinα＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立．( × )
(4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( × )
2．(人教A版必修第一册P185T12改编)如果sin ＝，且α是第四象限角，那么cos ＝－．
解析：由sin ＝cos α＝，又α是第四象限角，所以sin α＝－＝－＝－，所以cos＝sin α＝－.
3．(人教A版必修第一册P195T6改编)若θ是钝角，tan θ＝－2，则sin θ－cos θ＝．
解析：因为tan θ＝－2，所以＝－2，即sin θ＝－2cos θ，因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以5cos2θ＝1，因为θ是钝角，所以cosθ＝－，故sin θ－cos θ＝－3cos θ＝.
4．(人教B版必修第三册P26T5改编)若tan θ＝，则＝－1．
解析：因为tan θ＝，则＝＝＝－1.
考点1 同角三角函数的基本关系
命题角度1 弦切互化
【例1】 (1)(2024·河北邯郸模拟)已知tan α＝，α为第一象限角，则sin α的值为( A )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 因为tan α＝，所以＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋sin2α＝1，sin2α＝.因为α为第一象限角，所以sinα＝.故选A.
(2)(2024·四川攀枝花二模)若角θ的终边经过点(－1，2)，则sin2θ＋sin2θ的值为( A )
A． B．－
C． D．－
【解析】 根据θ的终边经过点(－1，2)，则
tan θ＝－2，则sin2θ＋sin2θ＝＝＝＝.故选A.
同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解．
命题角度2 “和”“积”转换
【例2】 (多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( ABD )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
【解析】 因为sin θ＋cos θ＝，所以sin2θ＋2sinθcos θ＋cos2θ＝1＋2sinθcos θ＝，所以2sin θcos θ＝－，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈，所以A正确；又(sin θ－cos θ)2＝sin2θ－2sinθcos θ＋cos2θ＝，所以sinθ－cos θ＝，所以D正确；联立方程组解得所以B正确；由三角函数的基本关系，可得tan θ＝＝－，所以C错误．故选ABD.
“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用
sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，
sin αcos α＝，sin αcos α＝.
【对点训练1】 (1)若＝，则tan α＝( C )
A． B．
C．－ D．－
解析：由＝可得＝，解得tan α＝－.故选C.
(2)已知角α的终边在直线y＝－2x上，则cos α＝( C )
A． B．
C．± D．±
解析：由题设知，tan α＝－2，即sin α＝－2cos α，且sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，而α终边在第二或第四象限，所以cosα＝±.故选C.
(3)已知x∈，sin4x＋cos4x＝，则sinx－cos x＝( B )
A． B．－
C． D．－
解析：∵sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＝1－2sin2x cos2x＝，
∴sin2x cos2x＝，又x∈，
∴sinx<0，cos x>0，∴sin x cos x＝－，sin x－cos x＝－＝
－＝－＝－.故选B.
考点2诱导公式
【例3】 (1)已知sin ＝，则cos (π－α)的值为( C )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 ∵sin ＝sin1 012π＋＋α＝sin ＝cos α＝，∴cos (π－α)＝－cos α＝－.故选C.
(2)＝－1．
【解析】 原式＝＝＝－·＝－1.
1．诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数．
2．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
【对点训练2】 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( D )
A．sin(3π－x)＝－sin x
B．sin＝－cos
C．cos＝sin 3x
D．cos＝－sin 2x
解析：sin (3π－x)＝sin (π－x)＝sin x，
sin ＝sin ＝cos ，cos＋3x＝cos ＝－sin 3x，cos
＝－sin 2x.故选D.
(2)已知cos ＝，则sin 的值为．
解析：由cos ＝，得sin ＝sin ＝cos ＝.
考点3 基本关系式与诱导公式的综合应用
【例4】 (1)(2024·山东泰安模拟)已知sin＋α＝且<α<π，则tan α＝( B )
A．－ B．－
C． D．3
【解析】 由诱导公式得sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－，又因为α∈，所以sin α＝，所以tan α＝＝－.故选B.
(2)(2024·广东茂名一模)已知cos (α＋π)＝－2sin α，则＝( D )
A．－1 B．－ C． D．
【解析】 由cos (α＋π)＝－2sin α，得cos α＝2sin α，则tan α＝，所以
＝＝tan2α＋tanα＝＋＝.故选D.
1．利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
2．注意角的范围对三角函数符号的影响．
【对点训练3】 (1)已知sin θ－sin ＝，则tan θ＝( B )
A．－ B．－1
C．1 D．
解析：sin θ－sin ＝sin θ－cos θ＝，由题意可得解得因此，tan θ＝＝－1.故选B.
(2)已知sin (5π＋α)＝5sin ，则sin 2α＋sin2α＝( C )
A．－ B．
C． D．
解析：由sin(5π＋α)＝5sin ，
可得－sin α＝5cos α，即tan α＝－5，
所以sin 2α＋sin2α＝＝
＝＝
＝.故选C.
课时作业26(总分：100分)
1．(5分)(2024·四川成都二模)若角α的终边位于第二象限，且sinα＝，则sin ＝( D )
A． B．－
C． D．－
解析：因为角α的终边位于第二象限且sin α＝，则cos α＝－＝－，所以
sin＝cos α＝－.故选D.
2．(5分)(2024·福建泉州模拟)数学家泰勒给出如下公式：
sin x＝x－＋－＋…，
cos x＝1－＋－＋…，
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．若根据以上公式估算sin 的值，则以下数值中最精确的是( C )
A．0.952 B．0.994
C．0.995 D．0.996
解析：由题意可得sin ＝cos 0.1＝1－＋－＋…≈0.995.故选C.
3．(5分)(2024·四川自贡三模)已知α，β∈R，则“sin α＝cos β”是“α－β＝”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为sin α＝cos β＝sin ，所以α＝－β＋2kπ或α＋＝π＋2kπ，k∈Z，所以α＋β＝＋2kπ或α－β＝＋2kπ，故“sin α＝cos β”是“α－β＝”的必要不充分条件．故选B.
4．(5分)已知tan α＝，则＝( D )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
解析：＝＝＝＝3.故选D.
5．(5分)若角α的终边不在坐标轴上，且sin α＋2cos α＝2，则tan α＝( A )
A． B．
C． D．
解析： cos α＝或cos α＝1，∵α的终边不在坐标轴上，∴cos α＝，
∴sin α＝2－2×＝，∴tan α＝＝.故选A.
6．(5分)(2024·辽宁沈阳三模)已知tan ＝2，则sin2＋sinα的值是( D )
A． B．
C． D．
解析：因为tan ＝2，所以sin2＋sinα＝＝＝
＝.故选D.
7．(6分)(多选)下列化简正确的是( ABD )
A．tan(π＋1)＝tan1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝－1
解析：tan (π＋1)＝tan 1，故A正确；＝＝＝cos α，故B正确；＝＝－tan α，故C错误；＝
＝＝－1，故D正确．故选ABD.
8．(6分)(多选)设α∈(0，π)，已知sin α，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则下列等式正确的是( BD )
A．m＝－
B．sin α－cos α＝
C．tan α＝
D．cos2α－sin2α＝－
解析：sinα，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则有由(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sinα·cos α＋cos2α，得＝1－，解得m＝，A错误；由α∈(0，π)，得sinα>0，由sin α·cos α＝－＝－<0，得cos α<0，(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinα·cos α＋cos2α＝1＋＝，又sinα－cos α>0，所以sin α－cos α＝，B正确；由得tan α＝＝－，C错误；cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)＝×＝－，D正确．故选BD.
9．(5分)(2024·湖北武汉模拟)已知＝，则sin4α＋cos4α＝．
解析：由＝，得＝，平方可得＝3，故cos αsin α＝，sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×＝.
10．(5分)已知点A(3，4)在角θ的终边上，则＝2．
解析：因为点A(3，4)在角θ的终边上，则tan θ＝，所以＝
＝＝＝2.
11．(16分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－.
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
解：(1)∵tan α＝＝－，∴y＝－4，
∴sin α＝－，cos α＝，
则sin α＋cos α＝－.
(2)原式＝＝＝＝＝－10.
12．(17分)如图，在平面直角坐标系Oxy中，A为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标为f(θ).
(1)求f(θ)的表达式，并求f＋f；
(2)若f＝，θ∈，求tan θ的值．
解：(1)因为点A的坐标为，所以tan ∠AOx＝，所以∠AOx＝，根据三角函数的定义，可得f(θ)＝cos ，
所以f＋f＝cos ＋cos ＝－＝.
(2)由f＝，可得cos θ＝，因为θ∈，所以sin θ＝±＝±，当sinθ＝时，θ∈，可得tan θ＝＝2；当sin θ＝－时，θ∈，可得tan θ＝＝－2.综上可得，tan θ的值为±2.
13．(5分)1626年，阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号：sin ，tan ，sec (正割)，1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos ，cot ，csc (余割)，但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中sec θ＝，csc θ＝，若α∈，且＋＝2，则tan α＝( C )
A．1 B．
C． D．2
解析：由题意α∈，且＋＝2，可得sin α＋cos α＝2，两边平方，可得
3sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝4，
则＝＝4，可得tan2α－2tanα＋3＝0，解得tan α＝.故选C.
14．(5分)(2024·湖南岳阳二模)已知n∈Z，sin ＋cos ＝，则( C )
A．cos α＋sin α＝
B．cos α＋sin α＝－
C．sin 2α＝－
D．sin 2α＝
解析：设k∈Z，①n＝4k时，sin ＋cos ＝sin (2kπ＋α)＋cos (2kπ－α)＝sin α＋cos α＝；②n＝4k＋1时，sin ＋α＋cos ＝sin ＋cos ＝cos α＋sin α＝；③n＝4k＋2时，sin ＋cos ＝sin (2kπ＋π＋α)＋cos (2kπ＋π－α)＝－sin α－cos α＝，此时cos α＋sin α＝－；④n＝4k＋3时，sin ＋cos ＝sin2kπ＋＋α＋cos ＝－cos α－sin α＝，此时cos α＋sin α＝－.综合①②③④，可以排除A，B，(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝sin2α＋cos2α＋sin2α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.故选C.
15．(5分)若sin α与cos α是关于x的方程2x2＋4kx＋3k＝0的两个实根，则实数k的值为－．
解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得又sin2α＋cos2α＝1，所以(sinα＋cos α)2－2sin αcos α＝4k2－3k＝1，解得k＝1或k＝－，当k＝1时，sin αcos α＝>1，不合题意；当k＝－时，原方程的根为，在区间[－1，1]内，符合题意．
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．掌握诱导公式及其应用．
1．同角三角函数的基本关系
sin2α＋cos2α＝1．
＝tan α．
2．诱导公式
项目 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α＋2kπ (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
与α终 边关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y＝x对称 —
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α — —
记忆 规律 函数名不变，符号看象限 函数名改变， 符号看象限
奇变偶不变，符号看象限
3.同角关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sin α)．
(2)sin α＝tan αcos α.
(3)sin2α＝＝ α≠＋kπ，k∈Z．
(4)cos2α＝＝α≠＋kπ，k∈Z．
教材拓展
1．sinα＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系
(1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α.
(2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.
(3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.
(4)(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.( × )
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )
(3)若α∈R，则tan α＝恒成立．( × )
(4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.( × )
2．(人教A版必修第一册P185T12改编)如果sin ＝，且α是第四象限角，那么cos ＝－．
解析：由sin ＝cos α＝，又α是第四象限角，所以sin α＝－＝－＝－，所以cos＝sin α＝－.
3．(人教A版必修第一册P195T6改编)若θ是钝角，tan θ＝－2，则sin θ－cos θ＝．
解析：因为tan θ＝－2，所以＝－2，即sin θ＝－2cos θ，因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以5cos2θ＝1，因为θ是钝角，所以cosθ＝－，故sin θ－cos θ＝－3cos θ＝.
4．(人教B版必修第三册P26T5改编)若tan θ＝，则＝－1．
解析：因为tan θ＝，则＝＝＝－1.
考点1 同角三角函数的基本关系
命题角度1 弦切互化
【例1】 (1)(2024·河北邯郸模拟)已知tan α＝，α为第一象限角，则sin α的值为( A )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 因为tan α＝，所以＝，又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＋sin2α＝1，sin2α＝.因为α为第一象限角，所以sinα＝.故选A.
(2)(2024·四川攀枝花二模)若角θ的终边经过点(－1，2)，则sin2θ＋sin2θ的值为( A )
A． B．－
C． D．－
【解析】 根据θ的终边经过点(－1，2)，则
tan θ＝－2，则sin2θ＋sin2θ＝＝＝＝.故选A.
同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解．
命题角度2 “和”“积”转换
【例2】 (多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是( ABD )
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
【解析】 因为sin θ＋cos θ＝，所以sin2θ＋2sinθcos θ＋cos2θ＝1＋2sinθcos θ＝，所以2sin θcos θ＝－，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，所以θ∈，所以A正确；又(sin θ－cos θ)2＝sin2θ－2sinθcos θ＋cos2θ＝，所以sinθ－cos θ＝，所以D正确；联立方程组解得所以B正确；由三角函数的基本关系，可得tan θ＝＝－，所以C错误．故选ABD.
“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用
sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，
sin αcos α＝，sin αcos α＝.
【对点训练1】 (1)若＝，则tan α＝( C )
A． B．
C．－ D．－
解析：由＝可得＝，解得tan α＝－.故选C.
(2)已知角α的终边在直线y＝－2x上，则cos α＝( C )
A． B．
C．± D．±
解析：由题设知，tan α＝－2，即sin α＝－2cos α，且sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，而α终边在第二或第四象限，所以cosα＝±.故选C.
(3)已知x∈，sin4x＋cos4x＝，则sinx－cos x＝( B )
A． B．－
C． D．－
解析：∵sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＝1－2sin2x cos2x＝，
∴sin2x cos2x＝，又x∈，
∴sinx<0，cos x>0，∴sin x cos x＝－，sin x－cos x＝－＝
－＝－＝－.故选B.
考点2诱导公式
【例3】 (1)已知sin ＝，则cos (π－α)的值为( C )
A． B．
C．－ D．－
【解析】 ∵sin ＝sin1 012π＋＋α＝sin ＝cos α＝，∴cos (π－α)＝－cos α＝－.故选C.
(2)＝－1．
【解析】 原式＝＝＝－·＝－1.
1．诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角的三角函数．
2．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
【对点训练2】 (1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是( D )
A．sin(3π－x)＝－sin x
B．sin＝－cos
C．cos＝sin 3x
D．cos＝－sin 2x
解析：sin (3π－x)＝sin (π－x)＝sin x，
sin ＝sin ＝cos ，cos＋3x＝cos ＝－sin 3x，cos
＝－sin 2x.故选D.
(2)已知cos ＝，则sin 的值为．
解析：由cos ＝，得sin ＝sin ＝cos ＝.
考点3 基本关系式与诱导公式的综合应用
【例4】 (1)(2024·山东泰安模拟)已知sin＋α＝且<α<π，则tan α＝( B )
A．－ B．－
C． D．3
【解析】 由诱导公式得sin ＝sin ＝－sin ＝－cos α＝，所以cos α＝－，又因为α∈，所以sin α＝，所以tan α＝＝－.故选B.
(2)(2024·广东茂名一模)已知cos (α＋π)＝－2sin α，则＝( D )
A．－1 B．－ C． D．
【解析】 由cos (α＋π)＝－2sin α，得cos α＝2sin α，则tan α＝，所以
＝＝tan2α＋tanα＝＋＝.故选D.
1．利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
2．注意角的范围对三角函数符号的影响．
【对点训练3】 (1)已知sin θ－sin ＝，则tan θ＝( B )
A．－ B．－1
C．1 D．
解析：sin θ－sin ＝sin θ－cos θ＝，由题意可得解得因此，tan θ＝＝－1.故选B.
(2)已知sin (5π＋α)＝5sin ，则sin 2α＋sin2α＝( C )
A．－ B．
C． D．
解析：由sin(5π＋α)＝5sin ，
可得－sin α＝5cos α，即tan α＝－5，
所以sin 2α＋sin2α＝＝
＝＝
＝.故选C.
课时作业26(总分：100分)
1．(5分)(2024·四川成都二模)若角α的终边位于第二象限，且sinα＝，则sin ＝( D )
A． B．－
C． D．－
解析：因为角α的终边位于第二象限且sin α＝，则cos α＝－＝－，所以
sin＝cos α＝－.故选D.
2．(5分)(2024·福建泉州模拟)数学家泰勒给出如下公式：
sin x＝x－＋－＋…，
cos x＝1－＋－＋…，
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．若根据以上公式估算sin 的值，则以下数值中最精确的是( C )
A．0.952 B．0.994
C．0.995 D．0.996
解析：由题意可得sin ＝cos 0.1＝1－＋－＋…≈0.995.故选C.
3．(5分)(2024·四川自贡三模)已知α，β∈R，则“sin α＝cos β”是“α－β＝”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为sin α＝cos β＝sin ，所以α＝－β＋2kπ或α＋＝π＋2kπ，k∈Z，所以α＋β＝＋2kπ或α－β＝＋2kπ，故“sin α＝cos β”是“α－β＝”的必要不充分条件．故选B.
4．(5分)已知tan α＝，则＝( D )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
解析：＝＝＝＝3.故选D.
5．(5分)若角α的终边不在坐标轴上，且sin α＋2cos α＝2，则tan α＝( A )
A． B．
C． D．
解析： cos α＝或cos α＝1，∵α的终边不在坐标轴上，∴cos α＝，
∴sin α＝2－2×＝，∴tan α＝＝.故选A.
6．(5分)(2024·辽宁沈阳三模)已知tan ＝2，则sin2＋sinα的值是( D )
A． B．
C． D．
解析：因为tan ＝2，所以sin2＋sinα＝＝＝
＝.故选D.
7．(6分)(多选)下列化简正确的是( ABD )
A．tan(π＋1)＝tan1
B．＝cos α
C．＝tan α
D．＝－1
解析：tan (π＋1)＝tan 1，故A正确；＝＝＝cos α，故B正确；＝＝－tan α，故C错误；＝
＝＝－1，故D正确．故选ABD.
8．(6分)(多选)设α∈(0，π)，已知sin α，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则下列等式正确的是( BD )
A．m＝－
B．sin α－cos α＝
C．tan α＝
D．cos2α－sin2α＝－
解析：sinα，cos α是方程3x2－x－m＝0的两根，则有由(sin α＋cos α)2＝sin2α＋2sinα·cos α＋cos2α，得＝1－，解得m＝，A错误；由α∈(0，π)，得sinα>0，由sin α·cos α＝－＝－<0，得cos α<0，(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinα·cos α＋cos2α＝1＋＝，又sinα－cos α>0，所以sin α－cos α＝，B正确；由得tan α＝＝－，C错误；cos2α－sin2α＝(cosα＋sin α)(cos α－sin α)＝×＝－，D正确．故选BD.
9．(5分)(2024·湖北武汉模拟)已知＝，则sin4α＋cos4α＝．
解析：由＝，得＝，平方可得＝3，故cos αsin α＝，sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－2×＝.
10．(5分)已知点A(3，4)在角θ的终边上，则＝2．
解析：因为点A(3，4)在角θ的终边上，则tan θ＝，所以＝
＝＝＝2.
11．(16分)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(3，y)，且tan α＝－.
(1)求sin α＋cos α的值；
(2)求的值．
解：(1)∵tan α＝＝－，∴y＝－4，
∴sin α＝－，cos α＝，
则sin α＋cos α＝－.
(2)原式＝＝＝＝＝－10.
12．(17分)如图，在平面直角坐标系Oxy中，A为单位圆上一点，射线OA绕点O按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B，点B的横坐标为f(θ).
(1)求f(θ)的表达式，并求f＋f；
(2)若f＝，θ∈，求tan θ的值．
解：(1)因为点A的坐标为，所以tan ∠AOx＝，所以∠AOx＝，根据三角函数的定义，可得f(θ)＝cos ，
所以f＋f＝cos ＋cos ＝－＝.
(2)由f＝，可得cos θ＝，因为θ∈，所以sin θ＝±＝±，当sinθ＝时，θ∈，可得tan θ＝＝2；当sin θ＝－时，θ∈，可得tan θ＝＝－2.综上可得，tan θ的值为±2.
13．(5分)1626年，阿贝尔特·格洛德最早推出简写的三角符号：sin ，tan ，sec (正割)，1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：cos ，cot ，csc (余割)，但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中sec θ＝，csc θ＝，若α∈，且＋＝2，则tan α＝( C )
A．1 B．
C． D．2
解析：由题意α∈，且＋＝2，可得sin α＋cos α＝2，两边平方，可得
3sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝4，
则＝＝4，可得tan2α－2tanα＋3＝0，解得tan α＝.故选C.
14．(5分)(2024·湖南岳阳二模)已知n∈Z，sin ＋cos ＝，则( C )
A．cos α＋sin α＝
B．cos α＋sin α＝－
C．sin 2α＝－
D．sin 2α＝
解析：设k∈Z，①n＝4k时，sin ＋cos ＝sin (2kπ＋α)＋cos (2kπ－α)＝sin α＋cos α＝；②n＝4k＋1时，sin ＋α＋cos ＝sin ＋cos ＝cos α＋sin α＝；③n＝4k＋2时，sin ＋cos ＝sin (2kπ＋π＋α)＋cos (2kπ＋π－α)＝－sin α－cos α＝，此时cos α＋sin α＝－；④n＝4k＋3时，sin ＋cos ＝sin2kπ＋＋α＋cos ＝－cos α－sin α＝，此时cos α＋sin α＝－.综合①②③④，可以排除A，B，(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sinαcos α＝sin2α＋cos2α＋sin2α＝1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝－.故选C.
15．(5分)若sin α与cos α是关于x的方程2x2＋4kx＋3k＝0的两个实根，则实数k的值为－．
解析：根据一元二次方程根与系数的关系可得又sin2α＋cos2α＝1，所以(sinα＋cos α)2－2sin αcos α＝4k2－3k＝1，解得k＝1或k＝－，当k＝1时，sin αcos α＝>1，不合题意；当k＝－时，原方程的根为，在区间[－1，1]内，符合题意．
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