第四章　4.3　三角恒等变换（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

4．3　三角恒等变换
1．会推导两角差的余弦公式，能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)
sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．S(α＋β)
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．S(α－β)
cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．C(α＋β)
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．C(α－β)
tan (α＋β)＝．T(α＋β)
tan (α－β)＝．T(α－β)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)
sin 2α＝2sin αcos α．S2α
cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1．C2α
tan2α＝．T2α
2．简单的三角恒等变换
(1)降幂公式
sin2α＝．
cos2α＝．
sin αcos α＝sin 2α．
(2)升幂公式
1＋cos α＝2cos2．
1－cosα＝2sin2．
1＋sinα＝．
1－sin α＝．
(3)辅助角公式
a sin α＋b cos α＝sin (α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝，tan φ＝．
教材拓展
1．常用的拆角、拼角技巧
(1)－α＝－.
(2)－α＝－.
(3)＋α＝π－.
(4)＋α＝π－.
2．正切公式的常用变形
(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β).
(2)tan αtan β＝－1＝1－.
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　√　)
(2)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　√　)
2．(人教A版必修第一册P226T2改编)已知α∈，若cos 2α＝，则sin α＝－．
解析：因为cos 2α＝，所以1－2sin2α＝，即sin2α＝，又α∈，所以sinα＝－.
3．(人教A版必修第一册P229T2改编)已知cos α＝，0<α<，则sin ＝．
解析：由cos α＝，0<α<，则sin α＝＝，则sin ＝sin αcos ＋cos αsin ＝(sin α＋cos α)＝×＋＝.
4．(人教A版必修第一册P219例4改编)若tan α＝－3，则tan ＝．
解析：因为tan α＝－3，所以tan ＝＝＝.
考点1 三角函数式的化简
【例1】　(1)(2024·重庆渝北区模拟)的值为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】　＝＝
＝1＋＝.故选A.
(2)(2024·山西吕梁一模)的值为(　D　)
A．　　 B．
C．2　　 D．4
【解析】　＝＝＝
＝＝＝4.故选D.
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
2．三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
【对点训练1】　(1)化简：·＝．
解析：原式＝tan(90°－2α)·＝
·＝·＝.
(2)计算：－2cos 80°tan 80°＝．
解析：－2cos 80°tan 80°＝
－2cos 80°×＝
－2cos 10°＝＝
＝＝.
考点2 求三角函数值
命题角度1　给角求值
【例2】　(1)化简：tan 67°tan 68°－tan 67°－tan 68°＝(　B　)
A．8　　 　 B．1　　 　
C．2　　 　 D．4
【解析】　因为tan 135°＝＝－1，所以tan 67°＋tan 68°＝
－1＋tan 67°tan 68°，即tan 67°tan 68°－tan 67°－tan 68°＝1.故选B.
(2)(2024·四川宜宾三模)下列各式中，正确的是(　A　)
A．cos 15°sin 15°＝
B．＝
C．＝1
D．sin275°－cos275°＝
【解析】　对于A，cos 15°sin 15°＝sin 30°＝，故A正确；对于B，＝
＝＝，故B错误；对于C，＝×＝×tan 45°＝，故C错误；对于D，sin275°－cos275°＝－(cos275°－sin275°)＝－cos 150°＝，故D错误．故选A.
命题角度2　给值求值
【例3】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　A　)
A．－3m　 B．－　
C．　　 D．3m
【解析】　方法一　cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝m，由tan αtan β＝＝2，可得sin αsin β＝2cos αcos β，所以cos αcos β＝－m，sin αsin β＝－2m，则cos (α－β)＝
cos αcos β＋sin αsin β＝－3m.故选A.
方法二　设cos (α－β)＝t＝cos α·cos β＋sin αsin β，又m＝cos (α＋β)＝cos αcos β－
sin αsin β，两式相除得，＝＝＝＝－3，所以cos (α－β)＝t＝－3m.故选A.
(2)(2024·山东淄博二模)设β∈，若sin α＝3sin (α＋2β)，tan β＝，则tan (α＋2β)＝(　A　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】　由sin α＝3sin (α＋2β)，得sin [(α＋2β)－2β]＝3sin (α＋2β)，则sin (α＋2β)cos 2β－cos (α＋2β)sin 2β＝3sin (α＋2β)，即sin (α＋2β)(cos 2β－3)＝cos (α＋2β)sin 2β，因此tan (α＋2β)＝＝＝＝－，而tanβ＝，所以tan (α＋2β)＝－＝－.故选A.
1．给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角来求值．
2．给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可．
【对点训练2】　(1)(2024·全国甲卷)已知＝，则tan ＝(　B　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
解析：方法一　由＝，得＝，所以tan α＝1－，
故tan ＝＝2－1.故选B.
方法二　设tan ＝x，则＝x，即tan α＝，由＝，得＝，即＝，故x＝2－1，即tan ＝2－1.故选B.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝－．
解析：由题知tan (α＋β)＝＝＝－2，即sin (α＋β)＝－2cos (α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan (α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，故sin (α＋β)＝－.
考点3 已知三角函数值求角
【例4】　(1)(2024·黑龙江双鸭山模拟)已知α，β∈，cos2α－sin2α＝，且3sinβ＝sin (2α＋β)，则α＋β的值为(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】　因为cos2α－sin2α＝，cos2α＋sin2α＝1，所以cos2α＝，sin2α＝，因为α∈，所以cosα＝，sin α＝，所以tan α＝.由3sin β＝sin (2α＋β)，得3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，即3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin α＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α，所以sin (α＋β)cos α＝2cos (α＋β)sin α，所以tan (α＋β)＝2tan α＝.又0<α＋β<，所以α＋β＝.故选D.
(2)已知α，β为钝角，且cos α＝－，sin β＝，则α＋β＝(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】　由于α，β为钝角，且cos α＝－，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝－，且α∈，β∈，所以α＋β∈(π，2π)，所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－×－×＝，所以α＋β＝.故选D.
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数．
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
【对点训练3】　(1)已知α，β，γ∈，若sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β＝(　A　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：由sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，得sin α－sin β＝－sin γ，cos α－cos β＝cos γ，∴(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝(－sin γ)2＋cos2γ＝1，即2－2sinαsin β－2cos αcos β＝1，∴2－2cos (α－β)＝1，解得cos (α－β)＝.又α，β，γ∈，∴sin α－sin β＝－sin γ<0，∴sin α(2)若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝(　A　)
A． B．
C． D．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α>0，∴sin α，cos α符号相同，又α∈，∴α∈，，2α∈，由sin 2α＝，可得cos 2α＝－，又β∈，∴β－α∈，，∵sin (β－α)＝>0，∴β－α∈，∴cos (β－α)＝－，
∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)＝
－×－×＝，由α∈，β∈，得α＋β∈，2π，
∴α＋β＝.故选A.
【例】　方程2cos 2x＝cos 4x－1所有正根的和为(　C　)
A．810π B．1 008π
C．1 080π D．1 800π
【解析】　2cos 2x＝cos 4x－1＝2cos22x－2，令a＝cos2x，b＝
cos ，则2a(a－b)＝2a2－2，即ab＝1，因为a＝cos 2x，所以a∈[－1，1]，同理b∈[－1，1]，所以a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，当a＝1，b＝1时，cos 2x＝1，cos ＝1，所以x＝kπ，k∈Z，x＝，k1∈Z，因为1 007＝1×19×53，所以x＝π，19π，53π，1 007π，当a＝－1，b＝－1时，cos 2x＝－1，
cos ＝－1，则x＝，k2∈Z，x＝，k3∈Z，令＝，k2，k3∈Z，得(2k2＋1)(2k3＋1)＝4 028，k2，k3∈Z，方程无解，所以方程所有正根的和为π＋19π＋53π＋1 007π＝1 080π.故选C.
本题解题的关键是通过换元将计算式变简单后，利用三角函数的有界性确定方程的解，与利用三角恒等变换等方法解方程的题目不同，需要在复习过程中多涉猎不同类型的题目，拓展解题思路，锻炼思维能力，以应对新高考对思维能力考查的要求．
课时作业27
1．（5分）已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则cos α＝(　D　)
A． B．
C． D．
解析：2sin 2α＝cos 2α＋1 4sin αcos α＝2cos2α 2cosα(2sin α－cos α)＝0，因为α∈，所以cos α≠0，sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以cosα＝.故选D.
2．（5分）（2024·四川达州二模）cos 147°cos 333°＋cos 57°cos 63°＝(　D　)
A．1 B．
C．－ D．－
解析：cos 147°cos 333°＋cos 57°cos 63°＝cos(180°－33°)cos(360°－27°)＋cos(90°－33°)cos(90°－27°)＝－cos 33°cos 27°＋sin 33°·sin 27°＝－cos(33°＋27°)＝－cos 60°＝－.故选D.
3．（5分）（2024·安徽六安模拟）的值为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：＝＝＝.故选A.
4．（5分）（2024·浙江温州三模）已知sin ＝－，则sin (α－2β)cos α－cos (2β－α)·sin α＝(　B　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：因为sin ＝－，所以sin β＋cos β＝，两边平方得1＋2sin βcos β＝1＋sin 2β＝，即sin 2β＝－，故sin (α－2β)cos α－cos (2β－α)sin α＝sin (α－2β)cos α－cos (α－2β)sin α＝sin (α－2β－α)＝－sin 2β＝.故选B.
5．（5分）（2024·重庆三模）已知cos ＝3cos ，则tan α＝(　B　)
A．2 B．
C．3 D．
解析：因为cos ＝3cos ，所以cos ＝3cos ，即sin α＋＝3cos ，所以tan ＝3，则tan ＝＝3，解得tan α＝.故选B.
6．（5分）（2024·福建南平二模）已知tan α＋＝，则cos ＝(　A　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：因为tan ＝，所以
所以sin2＝，cos＝cos ＝－cos 2＝
－＝－＝－.故选A.
7．（5分）已知tan(β－α)＝，tan α＝－，α，β∈(0，π)，则2β－α的值是(　D　)
A．－ B．
C． D．－
解析：因为tan (β－α)＝，tan α＝－<0，α，β∈(0，π)，所以tan β＝tan [(β－α)＋α]＝＝∈(0，1)，所以α∈，β∈，所以2β－α∈(－π，0)，又因为tan 2β＝＝＝>0，所以tan(2β－α)＝＝＝1，所以2β－α＝－.故选D.
8．（5分）计算：＝(　D　)
A． B．
C．1 D．
解析：因为sin 50°＝cos 40°，1＋tan 10°＝＝
＝，1－cos 20°＝2sin210°，所以＝＝＝＝＝.故选D.
9．（8分）（多选）下列计算正确的是(　ACD　)
A．＝1
B．sin 64°cos 34°－cos 64°sin 34°＝
C．若tan α＝3，则sin 2α＝
D．sin－cos＝－
解析：＝tan(21°＋24°)＝tan 45°
＝1，故A正确；sin 64°·cos 34°－cos 64°sin 34°＝sin(64°－34°)＝sin 30°＝，故B错误；若tan α＝3，则sin 2α＝2sin α·cos α＝＝＝，故C正确；sin－cos ＝sin ＝sin ＝－，故D正确．故选ACD.
10．（8分）（多选）已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则(　BC　)
A．sin αcos β＝ B．cos αsin β＝
C．sin 2αsin 2β＝ D．＝
解析：由题意得sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝①，
sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝②，①＋②，得2sin αcos β＝，即sin αcos β＝③，①－②，得2cos αsin β＝，即cos αsin β＝④，③×④，得sin αcos αsin βcos β＝，即sin 2αsin 2β＝，则sin 2αsin 2β＝，③÷④，得＝，故A，D错误，B，C正确．故选BC.
11．（8分）（多选）已知0<β<α<，且sin (α－β)＝，tan α＝5tan β，则(　ABD　)
A．sin αcos β＝ B．sin βcos α＝
C．sin 2αsin 2β＝ D．α＋β＝
解析：由sin (α－β)＝ sin αcos β－sin β·cos α＝，由tan α＝5tan β ＝
sin αcos β＝5sin βcos α，所以sin αcos β＝，sin βcos α＝，A，B正确；sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×2sin βcos β＝4××＝，C错误；sin (α＋β)＝sin αcos β＋sin β·cos α＝，所以α＋β＝＋2kπ(k∈Z)或α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0<β<α<，所以α＋β∈，所以α＋β＝，D正确．故选ABD.
12．（7分）计算：＝．
解析：＝
＝
＝＝.
13．（7分）（2024·山西晋城二模）已知tan α＝2tan β，sin (α＋β)＝，则sin (β－α)＝－．
解析：因为tan α＝2tan β，所以＝，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以sin (α＋β)＝sin α·cos β＋cos αsin β＝3cos αsin β＝，所以cos αsin β＝，所以sin (β－α)＝
cos αsin β－sin αcos β＝－cos αsin β＝－.
14．（7分）设α∈，β∈，且sin α＋cos α＝cos β，则α－β＝．
解析：因为sin α＋cos α＝sin α＋cos α＝＝cos ，所以cos ＝cos β，即cos ＝cos β，又α∈，β∈，所以α－∈，则α－＝β＝，则α＝，β＝，故α－β＝.
15．（5分）（2024·山东聊城三模）已知α∈，且sin 2α＝－，则cos ＝(　A　)
A．－ B．
C． D．－
解析：因为sin 2α＝－cos ＝－，所以cos ＝，所以cos ＝
cos 2＝2cos2－1＝，则cos2＝，即cos＝±，由α∈，则2α∈，由sin 2α＝－<0，得2α∈，故α∈，所以α＋∈，则cos <0，故cos ＝－.故选A.
16．（5分）（2024·河北保定三模）已知锐角α，β(α≠β)满足sin α＋2cos α＝sin β＋2cos β，则sin (α＋β)的值为(　D　)
A． B．
C． D．
解析：设f(x)＝sin x＋2cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，φ∈，当x∈时，x＋φ∈(0，π)，此时f(x)＝sin x＋2cos x＝sin (x＋φ)在(0，π)上有增有减，又因为f(α)＝f(β)，且α≠β，所以α＋φ＋β＋φ＝π，所以α＋β＝π－2φ，所以sin (α＋β)＝sin (π－2φ)＝sin 2φ＝2sin φcos φ＝.故选D.
17．（5分）给定实数集合P，Q满足P＝{x|sin2[x]＋sin2{x}＝1}（其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}＝x－[x]），Q＝，则P∩Q＝(　C　)
A．P B．Q
C． D．P∪Q
解析：因为[x]≤x<[x]＋1，所以0≤{x}＝x－[x]<1，由sin2[x]＋sin2{x}＝1，可得sin2{x}＝1－sin2[x]＝cos2[x]，所以[x]＝kπ＋＋{x}，k∈Z，所以P＝.集合Q＝＝
＝
＝{x|sin 2x－cos 2x＝1}＝
，所以sin 2x－＝，所以2x－＝2kπ＋，k∈Z，或2x－＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，或x＝kπ＋，k∈Z，所以Q＝.所以P∩Q＝ .故选C.