第四章　4.4　三角函数的图象和性质（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

4．4　三角函数的图象和性质
1．能画出三角函数的图象．
2．了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值．
3．借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质．
1．“五点法”作图
(1)在确定正弦函数y＝sin x在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在确定余弦函数y＝cos x在[－π，π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(－π，－1)，，(0，1)，，(π，－1)．
2．三角函数的图象和性质
函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象（一 个周期）
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
最值 (k∈Z) 当x＝＋2kπ时，ymax＝1； 当x＝－＋2kπ时，ymin＝－1 当x＝2kπ时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π时，ymin＝－1 —
对称性 (k∈Z) 对称轴：x＝kπ＋； 对称中心：(kπ，0) 对称轴：x＝kπ； 对称中心： 无对称轴；对称中心：
最小正 周期 2π 2π π
单调性 (k∈Z) 单调递增区间： ； 单调递减区间： 单调递增区间： [2kπ－π，2kπ]；单调递减区间： [2kπ，2kπ＋π] 无单调递减区间； 单调递增区间：
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
教材拓展
1.关于周期性的常用结论
(1)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT（n∈Z且n≠0）也是f(x)的周期．
(2)周期函数的定义域是无限集．
(3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质，因此要研究某周期函数的性质，一般只需要研究它在一个周期内的性质．
2.关于奇偶性的常用结论
(1)若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则f(x)为偶函数 φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则f(x)为奇函数 φ＝kπ(k∈Z).
3.正、余弦函数在其图象的对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值点与最小值点间的距离为其半周期；图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是半周期；函数取最值的点与其相邻的零点间的距离为周期．
1.判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)余弦曲线y＝cos x的对称轴是y轴．(　×　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(4)y＝sin |x|是偶函数．(　√　)
2.（人教A版必修第一册P214T12改编）函数f(x)＝－sin 2x在上(　B　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
解析：x∈，则2x∈，因为y＝－sin z在上单调递减，故f(x)＝－sin 2x在上单调递减．故选B.
3.（人教A版必修第一册P207T2改编）函数f(x)＝sin2x＋，x∈的最大值和最小值分别为(　A　)
A．1，－ B．1，－
C．，－1 D．1，－1
解析：由x∈，得2x＋∈，则当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1，当2x＋＝，即x＝时，f(x)min＝－，所以所求最大值、最小值分别为1，－.故选A.
4.（人教A版必修第一册P214T19改编）函数y＝cos图象的一个对称中心是(　B　)
A． B．
C． D．
解析：由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以函数y＝cos 图象的对称中心是，k∈Z，当k＝0时，函数y＝cos 图象的对称中心是.故选B.
考点1 三角函数的定义域和值域
【例1】　(1)在[0，2π]内函数f(x)＝＋ln 的定义域是(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】　由函数f(x)＝＋ln 可得即
又x∈[0，2π]，解得≤x<，即函数f(x)的定义域为.故选C.
(2)（2024·天津卷）已知函数f(x)＝sin 3ωx＋的最小正周期为π，则f(x)在的最小值是(　A　)
A．－ B．－
C．0 D．
【解析】　由f(x)的最小正周期为π，可得π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin (2x＋π)＝
－sin 2x.当x∈时，2x∈－，，sin 2x∈，所以f(x)min＝－.故选A.
(3)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋2sin x·cos x＋2，则f(x)的最大值为3＋．
【解析】　设t＝sin x＋cos x，则sin x·cos x＝＝，t＝sin x＋cos x＝＝sin x＋∈[－，]，则g(t)＝t＋t2－1＋2＝＋，∴t＝时，g(t)max＝＋2＋1＝3＋，即f(x)max＝3＋.
1.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域，实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数的图象来求解．
2.三角函数值域的不同求法
(1)把所给的三角函数式变换成y＝A sin (ωx＋φ)的形式求值域．
(2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
(3)利用sin x±cos x和sin x cos x的关系转换成二次函数求值域．
【对点训练1】　(1)函数f(x)＝cos 2x＋6cos 的最大值为(　B　)
A．4　　 　 B．5　　 　
C．6　　 　 D．7
解析：函数f(x)＝cos 2x＋6cos ＝1－2sin2x＋6sinx＝－2＋＋1＝－2＋，由于x∈，故sin x∈[0，1]，令t＝sin x，t∈[0，1]，则g(t)＝－2＋，当t＝1时，g(t)max＝5，即sin x＝1，亦即x＝时，f(x)max＝5.故选B.
(2)（2024·全国甲卷文）函数f(x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是2．
解析：f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，所以当x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f＝2.
考点2 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
【例2】　（多选）（2024·新课标Ⅱ卷）对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的有(　BC　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【解析】　对于A，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，令g(x)＝sin ＝0，解得x＝＋，k∈Z，故f(x)，g(x)零点不同，故A错误；对于B，f(x)∈[－1，1]，g(x)∈[－1，1]，两函数有相同的最大值，故B正确；对于C，显然两函数最小正周期都为π，故C正确；对于D，由2x＝kπ＋，k∈Z，得函数f(x)的对称轴是x＝＋，k∈Z，由2x－＝kπ＋，k∈Z，得函数g(x)的图象的对称轴是x＝＋，k∈Z，故D错误．故选BC.
有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性问题的解题思路
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解．
(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数图象的对称轴、对称中心．
【对点训练2】　(1)（2024·山东烟台三模）若函数f(x)＝sin 的图象在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数ω的值为(　C　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意得ω>0且ω是整数，若x∈，则ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin 的图象在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，所以π<ω＋<，ω∈N*，解得<ω<，ω∈N*，即ω＝3.故选C.
(2)（多选）（2024·山东淄博二模）已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)0<ω<6，ω∈N*，φ∈满足 x∈R，f(x)－f≤0恒成立，且f(x)在上有且仅有2个零点，则下列说法正确的是(　BCD　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．函数f(x)在区间上单调递减
C．函数f(x)图象的一个对称中心为
D．函数f是奇函数
解析：因为 x∈R，f(x)－f≤0恒成立，所以f(x)的最大值为f，所以ω＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝－ω＋2kπ，k∈Z，当x∈时，ωx＋φ∈，又φ∈，f(x)在上有且仅有2个零点，所以<ω＋φ≤，所以<ω－ω＋2kπ≤，k∈Z，即<2kπ≤，k∈Z，得k＝1，所以φ＝－ω＋2π，因为0<ω<6，ω∈N*，φ∈，所以ω＝5，φ＝，所以f(x)＝2cos .对于A，函数f(x)的最小正周期T＝，故A错误；对于B，当x∈时，5x＋∈，又y＝cos x在上单调递减，所以函数f(x)在区间上单调递减，故B正确；对于C，因为f＝2cos ＝2cos ＝0，所以函数f(x)图象的一个对称中心为，故C正确；对于D，因为f＝2cos ＝2cos 5x－＝2sin 5x，为奇函数，故D正确．故选BCD.
考点3 三角函数的单调性
命题角度1　求三角函数的单调区间
【例3】　(1)（2024·福建泉州一模）已知函数f(x)的周期为π，且在区间内单调递增，则f(x)可能是(　C　)
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝cos
【解析】　因为函数f(x)的周期为π，所以当ω>0时，对正、余弦函数来说，ω＝＝＝2，故排除A，B；当x∈时，2x－∈，因为y＝sin x在上单调递增，y＝cos x在上单调递减，故C正确，D错误．故选C.
(2)函数f(x)＝sin 在[0，π]上的单调递减区间为和．
【解析】　f(x)＝sin ＝－sin 2x－，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，则f(x)的单调递减区间为，k∈Z，令A＝，k∈Z，B＝[0，π]，∴A∩B＝∪，∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
命题角度2　三角函数单调性的应用
【例4】　(1)（2024·山东日照三模）已知a＝(sin 14°＋cos 14°)，b＝sin 61°，c＝，则a，b，c的大小关系为(　A　)
A．aC．a【解析】　由题意得a＝(sin 14°＋cos 14°)＝××sin (14°＋45°)＝sin 59°，b＝sin 61°，c＝＝sin 60°，由正弦函数y＝sin x在上单调递增知，a(2)（2024·安徽马鞍山三模）已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx(ω>1)的一个零点是，且f(x)在上单调，则ω＝(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【解析】　f(x)＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin ，x∈，当ω>1时，2ωx＋∈，且－ω＋<0<ω＋，若f(x)在上单调，则解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是，则πω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝k－，k∈Z，所以k＝2，ω＝.故选B.
1.已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)（其中ω>0）的函数的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
2.已知三角函数的单调区间求参数
先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
【对点训练3】　(1)函数y＝tan ＋的单调递增区间为(　C　)
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
解析：令kπ－<2x－(2)（2024·河北唐山二模）函数f(x)＝sin (2x－φ)在上为单调递增函数，则φ的取值范围为(　C　)
A． B．
C． D．
解析：由x∈可得2x－φ∈－φ，－φ，又|φ|≤，则≤－φ≤，因为f(x)在上为单调递增函数，所以解得≤φ≤，即φ的取值范围为.故选C.
课时作业28（总分：100分）
1.（5分）（2024·辽宁抚顺三模）已知函数f(x)＝2sin cos ，则下列结论正确的是(　C　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)在上单调递增
C．f′(x)为偶函数
D．f(x)的最小值为
解析：因为f(x)＝2sin ·cos 2x＋＝sin 4x－，所以最小正周期为＝，最小值为－1－，所以A错误，D错误；因为－2.（5分）（2024·天津河西区二模）若函数f(x)满足对于x∈R，f＝f，f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的解析式可能为(　D　)
A．sin B．cos
C．4sin D．2cos
解析：因为f＝f，所以f(x)关于直线x＝＝对称，又f(2＋x)＝－f(x)，则f(4＋x)＝－f(2＋x)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．若f(x)＝sin ，则最小正周期T＝＝4，又f＝sin ×＋＝sin ＝，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；若f(x)＝cos x＋，则最小正周期T＝＝4，又f＝cos ＝cos ＝，所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故B错误；若f(x)＝4sin ，则最小正周期T＝＝2，则f(x＋2)＝f(x)，又f(x)＝－f(x)不恒成立，所以f(2＋x)＝－f(x)不恒成立，故C错误；若f(x)＝2cos ，则最小正周期T＝＝4，又f＝2cos ＝2cos π＝－2，满足f(x)的图象关于直线x＝对称，故D正确．故选D.
3.（5分）（2024·四川泸州二模）已知函数f(x)＝sin 2x＋b cos 2x的图象关于直线x＝对称，则b的值为(　D　)
A．－ B．－1
C． D．1
解析：因为f(x)＝sin 2x＋b cos 2x＝sin (2x＋φ)（其中tan φ＝b），又函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以＝，所以1＋b2＝(1＋b)2，解得b＝1.故选D.
4.（5分）（2024·天津河西区二模）若a＝(sin 1)tan 1，b＝(tan 1)cos 1，c＝logcos 1tan 1，则a，b，c的大小关系是(　A　)
A．cC．c解析：因为1∈，所以sin 1∈，cos 1∈，tan 1∈（1，），所以01，logcos 1tan 1<0，所以logcos 1tan 1<0<(sin 1)tan 1<1<(tan 1)cos 1，所以c5.（5分）（2024·北京卷）设函数f(x)＝sin ωx(ω>0).已知f(x1)＝－1，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝(　B　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为f(x)＝sin ωx，则f(x1)＝－1为函数的最小值，f(x2)＝1为函数的最大值，又|x1－x2|min＝＝，所以T＝π，ω＝2.故选B.
6.（5分）（2024·广东湛江一模）已知函数f(x)＝sinωx＋ (ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　D　)
A．[2，5] B．[1，14]
C．[9，10] D．[10，11]
解析：当x∈时，ωx＋∈ω＋，ω＋，∵f(x)在上单调递增，
∴(k∈Z)，
解得(k∈Z)，又ω>0，
∴解得7.（6分）（多选）（2024·浙江杭州二模）关于函数f(x)＝2sin x·cos x＋2cos2x，下列说法正确的是(　BC　)
A．最小正周期为2π
B．图象关于点中心对称
C．最大值为＋2
D．在区间上单调递减
解析：f(x)＝2sinx·cos x＋2cos2x＝sin2x＋(cos 2x＋1)＝2sin ＋，函数的最小正周期T＝＝π，故A错误；f＝2sin ＋＝0＋＝，所以函数f(x)的图象关于点中心对称，故B正确；f(x)＝2sin ＋，所以函数的最大值为2＋，故C正确；由x∈，得2x＋∈，因为函数y＝sin x在区间上单调递增，所以函数f(x)在区间上单调递增，故D错误．故选BC.
8.（6分）（多选）已知函数f(x)＝tan ，则下列说法正确的是(　BCD　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．f(x)的定义域为
C．f(x)的图象关于点对称
D．f(x)在上单调递增
解析：由题意，函数f(x)＝tan 的最小正周期T＝，所以A不正确；令2x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z，即函数f(x)的定义域为，所以B正确；令2x＋＝，k∈Z，解得x＝－＋，k∈Z，当k＝0时，可得x＝－，所以函数f(x)的图象关于点对称，所以C正确；由x∈，可得2x＋∈，根据正切函数的性质，可得函数f(x)在上单调递增，所以D正确．故选BCD.
9.（5分）函数f(x)＝cos2x＋sinx－2x∈的最大值是－．
解析：f(x)＝cos2x＋sinx－2＝1－sin2x＋sinx－2＝－sin2x＋sinx－1＝
－－，所以当sin x＝，即x＝时，f(x)有最大值－.
10.（5分）（2024·安徽芜湖二模）已知偶函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，且在区间上单调，则ω＝．
解析：因为f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)为偶函数，所以φ＝kπ＋，k∈Z，即f(x)＝cos ωx或f(x)＝－cos ωx，又f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点中心对称，所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，所以ω＝3k＋，k∈Z，因为在上函数f(x)单调，所以0<≤π，即0<ω≤4，所以当k＝0时，ω＝符合条件．
11.（16分）已知函数f(x)＝2sin .
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在上的值域．
解：(1)令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为－＋，＋ (k∈Z).令＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z，得＋≤x≤＋，k∈Z，所以f(x)的单调递减区间为＋，＋ (k∈Z).
综上所述，f(x)的单调递增区间为－＋，＋ (k∈Z)，单调递减区间为＋，＋ (k∈Z).
(2)由(1)知f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)在上的最大值为f＝2，最小值为f(0)＝1，在上的最大值为f＝2，最小值为f＝－2.所以f(x)在上的最大值为2，最小值为－2，即f(x)在上的值域为[－2，2].
12.（17分）已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω>0.
(1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求f的值；
(2)若函数f(x)的图象关于点对称，且函数f(x)在上单调，求ω的值．
解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2＝2sin ，因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为，所以T＝，则T＝π，所以T＝＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝2sin ，所以f＝2sin ＝2sin ＝2×＝.
(2)由(1)知f(x)＝2sin ，因为函数f(x)的图象关于点对称，所以－＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k＋1，k∈Z，由x∈，ω>0，则ωx－∈，又函数f(x)在上单调，所以解得0<ω≤，所以取k＝0，ω＝1.
13.（5分）（2024·吉林长春模拟）已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)满足对 x∈R，有f(0)≤f(x)≤f，若存在唯一的ω值，使得y＝f(x)在区间(m>0)上单调递减，则实数m的取值范围是(　B　)
A． B．
C． D．
解析：对 x∈R，有f(0)≤f(x)≤f，则可得f(0)＝sin φ＝－1，即φ＝2k1π－(k1∈Z)，则f(x)＝sin ＝sin ，则f＝sin ＝1，即ω－＝2k2π＋(k2∈Z)，即ω＝4k2＋2(k2∈Z)，则f＝sin ＝sin k2π＝0，由y＝f(x)在区间－m，＋m (m>0)上单调递减，故ω×－＝π＋2kπ(k∈Z)，即ω＝6＋8k(k∈Z)，由存在唯一的ω值，使其成立，则m≤×＝，m>×＝，即m∈.故选B.
14.（5分）（2024·山东烟台三模）若定义在R上的函数f(x)满足f≠0，f＝0，且对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝4f(x1)f，则(　D　)
A．f(0)＝0
B．f(x)为偶函数
C．π是f(x)的一个周期
D．f(x)的图象关于直线x＝对称
解析：对于A，f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝4f(x1)f中，令x1＝，x2＝0，得2f＝4f·f，又f≠0，所以f＝，令x1＝x2＝，则有f＋f(0)＝4ff＝2f，所以f＝f(0)，令x1＝，x2＝，则有f＋f＝4，即0＋＝4[f(0)]2，解得f(0)＝±，故A错误；对于B，在f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝4f(x1)f中，取x1＝x，x2＝，得f＋f＝0，所以f(x＋π)＝－f(x)，令x＝－，得f＝f＝0，所以f≠f，故f(x)不可能是偶函数，故B错误；对于C，由B可知f(x＋π)＝－f(x)，所以f(x＋2π)＝f(x)，则2π为f(x)的一个周期，故C错误；对于D，在f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝4f(x1)·f中，取x1＝，x2＝x，得f＋f＝2f，所以f＝f，所以f(x)的图象关于直线x＝对称，D正确．故选D.
15.（5分）（2024·山西晋中模拟）已知α∈(0，π)，sin α－cos α＝.若函数f(x)＝sin 2x＋2sin2(x＋α)，且在区间(0，m)上有极大值，无极小值，则m的取值范围为(　D　)
A． B．
C． D．
解析：因为sinα－cos α＝，所以sin α－cos α＝＝sin α－＝，即sin ＝，又α∈(0，π)，所以α－∈，故α－＝，所以α＝，所以f(x)＝sin 2x＋2sin2＝sin2x＋1－cos ＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋1－＝sin 2x＋cos 2x＋1＝sin ＋1，若x∈(0，m)，则2x＋∈，令t＝2x＋∈，则f(x)在区间(0，m)上有极大值，无极小值 y＝sin t＋1在t∈上有极大值，无极小值，如图，由图象易知<2m＋≤