第四章　4.5　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

4．5　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
1．了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义，能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
2．会用三角函数解决简单的实际问题，可以利用三角函数构建事物周期变化的数学模型．
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)
(1)匀速圆周运动的数学模型
如图，点P从P0(t＝0)开始，逆时针绕圆周匀速运动(角速度为ω)，则点P距离水面的高度H与时间t的函数关系式为H＝r sin (ωt＋φ)＋h．
(2)函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
①用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的简图：
列表．先由ωx＋φ＝0，，π，，2π分别求出x的值，再由ωx＋φ的值求出y的值，列出下表．
ωx＋φ 0 π 2π
x －
y＝ A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
描点．在平面直角坐标系中描出各点．
连线．用光滑的曲线连接这些点，得到一个周期内的图象．
成图．利用函数的周期性，通过左、右平移得到定义域内的简图．
②由y＝sin x的图象通过图象变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的方法：
2．三角函数的应用
(1)如果某种变换着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．
(2)在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，大都与这个解析式中的常数有关：
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin .(　×　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　×　)
(3)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　√　)
2．(人教A版必修第一册P240T1改编)要得到y＝3sin的图象，只要把函数y＝3sin 2x的图象(　C　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：因为y＝3sin ＝3sin 2，所以只要把函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度即可得到y＝3sin 的图象．故选C.
3．(人教A版必修第一册P240T3改编)若函数f(x)＝3sin ＋1(x∈R)的图象向右
平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则函数g(x)(　D　)
A．最大值为3 B．最小正周期为2π
C．为奇函数 D．图象关于y轴对称
解析：依题意可得g(x)＝3sin 2－＋1＝3sin ＋1＝－3cos 2x＋1，所以g(x)的最大值为4，最小正周期为π，g(x)为偶函数，图象关于y轴对称．故选D.
4．(人教A版必修第一册P241T4改编)已知f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)＝3sin ．
解析：由题图可得A＝＝3，＝－＝，解得T＝.又T＝，解得ω＝3.因为f(x)的图象经过，所以3＝3sin ，＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－.故f(x)＝3sin .
考点1 函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
【例1】　已知函数f(x)＝2sin .
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
【解】　(1)因为x∈[0，π]，所以2x＋∈.
列表如下：
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线，图象如图所示．
(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，再将y＝sin 的图象上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin 的图象．
作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用的两种方法
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
【对点训练1】　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　C　)
A．3　 　　 B．4　　 　
C．6　　 　 D．8
解析：因为函数y＝2sin 的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin 在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin 与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示，由图可知，这两个图象共有6个交点．故选C.
(2)(多选)要得到函数y＝sin 的图象，可将函数y＝sin x的图象(　BC　)
A．向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍
B.向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
C．纵坐标不变，横坐标变为原来的，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
解析：对于A，所得解析式为y＝sin ，A错误；对于B，所得解析式为y＝sin ，B正确；对于C，所得解析式为y＝sin 2＝sin ，C正确；对于D，所得解析式为y＝sin ＝sin ，D错误．故选BC.
考点2 由图象确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
【例2】　(1)（2024·湖南邵阳三模）宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写道：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似用函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象来描述，如图所示，则f(x)＝sin ．
【解析】　由题知A＝1，T＝＝4＝，∴ω＝，即f(x)＝sin ，
又∵f＝1，|φ|<，∴×＋φ＝，故φ＝，即f(x)＝sin .
(2)（2023·新课标Ⅱ卷）已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝－．
【解析】　对比正弦函数y＝sin x的图象易知，点为“五点（画图）法”中的第五点，所以ω＋φ＝2π①.由题知|AB|＝xB－xA＝，两式相减，得ω(xB－xA)＝，即ω＝，解得ω＝4.代入①，得φ＝－，所以f(π)＝sin ＝－sin ＝－.
确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入．
【对点训练2】　(1)（2024·湖南长沙一模）如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象，则该函数的解析式可以是(　C　)
A.y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
解析：由题图可得，A＝2，T＝－＝，即T＝π＝，即ω＝±2，观察各选项可知，本题考虑ω＝2即可，则y＝2sin (2x＋φ)，把点代入y＝2sin (2x＋φ)中，可得sin ＝1，故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，所以y＝2sin ＝2sin .故选C.
(2)已知函数f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ，f(x1)＝0，f(x2)＝1，若|x1－x2|的最小值为，且f＝，则f(x)的解析式为f(x)＝sin ．
解析：因为f(x)＝sin ωx cos φ＋cos ωx sin φ＝sin (ωx＋φ)，又f(x1)＝0，f(x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，所以＝，即T＝2π，又ω>0，所以ω＝＝1，所以f(x)＝sin (x＋φ)，又f＝，所以sin ＝，即cos φ＝，因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝sin .
考点3 三角函数图象、性质的综合应用
命题角度1　图象与性质的综合应用
【例3】　（2024·福建三明三模）已知函数f(x)＝sin ωx＋cos （其中ω>0）图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)若f(x)在(0，m)上有最大值无最小值，求实数m的取值范围；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到g(x)的图象，设h(x)＝g(x)＋x，求h(x)在(－2π，π)上的极大值点．
【解】　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin (ω>0)，因为图象相邻两条对称轴间的距离为，所以周期T＝2×＝π，即ω＝＝2，因此f(x)＝sin ，当x∈(0，m)时，2x＋∈，
若f(x)在(0，m)上有最大值，无最小值，则由正弦函数图象得<2m＋≤，解得即m的取值范围为.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度得y＝sin ＝sin 2x的图象，
再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得g(x)＝sin x的图象，
所以h(x)＝g(x)＋＝sin x＋，
h′(x)＝cos x＋，x∈(－2π，π)，
令h′(x)＝0，得cos x＝－，
解得x＝－或x＝－或x＝，
当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
当x∈时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)的极大值点为－和.
命题角度2　三角函数的零点问题
【例4】　(1)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝x－的交点个数为3.
【解析】　把函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度后得到函数f(x)＝
cos ＝cos ＝－sin 2x的图象．作出函数f(x)的部分图象和直线y＝x－，如图所示．观察图象知，共有3个交点．
(2)（2024·江西九江三模）已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间(0，π)上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是.
【解析】　令t＝ωx－，∵x∈(0，π)，∴t∈，问题转化为函数y＝sin t在区间上有且仅有三个零点，
∴2π<ωπ－≤3π，解得<ω≤.
1．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想研究其单调性、对称性和最值等．
2．与三角函数相关的方程根的问题（零点问题）等常通过函数与方程思想化为图象交点问题，再借助图象分析．
【对点训练3】　(1)（多选）（2024·安徽芜湖三模）已知g(x)＝2sin cos
(ω>0)，下面结论正确的是(　CD　)
A．当ω＝1时，g(x)在上单调递增
B．若g(x1)＝1，g(x2)＝－1，且|x1－x2|的最小值为π，则ω＝1
C．若g(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是
D．存在ω∈(1，3)，使得g(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
解析：对于A，g(x)＝2sin cos ＝sin ，当x∈时，令t＝2x＋，则t∈，而y＝sin t在上不单调，故A错误；对于B，g(x)＝sin ，由|x1－x2|的最小值为π，则函数周期为2π，所以＝2π，解得ω＝，故B错误；对于C，g(x)＝sin 在[0，2π]上恰有7个零点，结合正弦曲线可知，2ω·2π＋∈[7π，8π），解得ω∈，故C正确；对于D，将g(x)＝sin 的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin 的图象，由它关于y轴对称，可知－＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝－1－3k，k∈Z，当ω∈(1，3)时，取k＝－1，ω＝2，故D正确．故选CD.
(2)（多选）关于函数f(x)＝|cos x|＋|sin 2x|－，下列说法正确的是(　ABD　)
A．π是函数f(x)的一个周期
B．在上单调递减
C．函数图象关于直线x＝对称
D．当x∈[－10π，10π]时，函数f(x)有40个零点
解析：对于A，f(x＋π)＝|cos (x＋π)|＋|sin 2(x＋π)|－＝|cos x|＋|sin 2x|－＝f(x)，故π是函数f(x)的一个周期，故A正确；对于B，当x∈时，f(x)＝cos x＋sin 2x－，则f′(x)＝－sin x＋2cos 2x，因为－sin x∈，2cos 2x∈[－2，0]，所以f′(x)＝－sin x＋2cos 2x<0在上恒成立，即函数f(x)在上单调递减，故B正确；对于C，因为f＝＋－＝＋－≠f(x)，故C错误；对于D，因为f(－x)＝＋|sin (－2x)|－＝＋－＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，又因为f(－x＋π)＝|cos (－x＋π)|＋|sin 2(－x＋π)|－＝|cos x|＋|sin 2x|－＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(x)＝f(x＋π)，故函数f(x)的最小正周期为T＝π，又因为f(x)＝k∈Z，由B知，函数f(x)在上单调递减，由对称性，则函数f(x)在上单调递增，且f(0)＝f(π)＝，f＝－，当x∈时，f(x)＝cos x＋sin 2x－>0恒成立，由对称性，得当x∈时，f(x)＝－cos x－sin 2x－>0恒成立，故函数f(x)在一个周期T＝π内有两个零点，则函数f(x)在[－10π，10π]内共40个零点，故D正确．故选ABD.
【例】　（多选）（2024·湖南师大附中月考）已知函数f(x)＝λsin (λ>0，0<φ<π)的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过点A作x轴的垂线，交x轴于A′，点C为图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|＝，则下列四个结论正确的有(　AC　)
A．λ＝
B．φ＝
C．图2中，·＝5
D．图2中，S是△A′BC及其内部的点构成的集合，设集合T＝{Q∈S||AQ|≤2}，则T表示的区域的面积大于
【解析】　如图1，∵f(x)的最小正周期T＝＝4，|AA′|＝λ，∴|A′B|＝，如图2，|AB|＝＝＝，解得λ＝，故A正确；f(x)＝sin ，∴f(0)＝sin φ＝，
∴sin φ＝，而0<φ<π，∴φ＝或，又∵f(x)的图象在y轴右侧到达最低点前是下降的，∴φ＝，故B错误；f(x)＝sin ，则在图2中，以O为原点，，的方向分别为y′轴、z′轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，
∴＝（，2，－），＝（0，1，－），则·＝×0＋2×1＋（－）×（－）＝5，故C正确；∵＝（0，1，－），∴||＝＝2，则T表示的区域即为扇形CA′N（点N为以A′为圆心，A′C为半径的圆与A′B的交点），在图1中，作BB′⊥x轴，则∠B′A′B<，∵r＝|CA′|＝1，
∴S扇形CA′N＝·∠B′A′B·r2＝∠B′A′B<，故D错误．故选AC.
本题巧妙地将三角函数图象通过折叠变成立体图形，结合空间直角坐标系，考查学生由三角函数图象求解析式的同时，还考查了空间想象能力，D选项还借助几何图形，利用几何方法解决问题，体现新高考进行知识融合创新的趋势．
课时作业29
1．（5分）（2024·河北保定三模）将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　C　)
A．sin 2x B．－sin 2x
C．sin D．cos
解析：将函数f(x)＝sin 的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝f＝sin 的图象．故选C.
2．（5分）（2024·山东青岛三模）为了得到y＝sin 2x＋cos 2x的图象，只要把y＝cos 2x的图象上所有的点(　A　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：y＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，由诱导公式可知y＝cos 2x＝sin ＝sin 2.又y＝sin ＝sin 2，则－＝，即只需把图象向右平移个单位长度．故选A.
3．（5分）（2024·山东泰安二模）已知函数f(x)＝sin ，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　C　)
A．g(x)＝2sin
B.g(x)在上单调递增
C．g(x)的图象关于点中心对称
D．g(x)在上的值域为[－，]
解析：将f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)＝2sin 的图象，故A错误；由A可知g(x)＝2sin ，由04．（5分）（2024·山西晋城二模）将函数f(x)＝2sin 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有2个零点，则φ的取值范围是(　C　)
A． B．
C． D．
解析：将函数f(x)＝2sin 的图象向右平移φ个单位长度，得g(x)＝2sin 的图象，由05．（5分）半径为2 m的圆盘边缘上有一个质点M，它的初始位置为M0.圆盘按逆时针方向做匀速圆周运动，其角速度为 rad/s.如图，以圆盘圆心O为原点，建立平面直角坐标系，且∠M0Ox＝，则点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为(　D　)
A．x＝2cos
B．x＝2cos
C．x＝2cos
D．x＝2cos
解析：设点M的横坐标x关于时间t（单位：s）的函数解析式为x＝A cos (ωt＋φ)，由题意可得A＝2，φ＝－，因为角速度为 rad/s，经过t s角度为－，则x＝2cos .故选D.
6．（5分）（2024·四川南充二模）将函数f(x)＝2cos 的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则曲线y＝g(x)与直线y＝的所有交点中，相邻交点距离的最小值为(　A　)
A． B．
C． D．π
解析：将函数f(x)＝2cos 的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)＝2cos ＝2cos ，令2cos ＝，即cos ＝，则2x－＝2k1π＋，k1∈Z，或2x－＝2k2π－，k2∈Z，即x＝k1π＋，k1∈Z，或x＝k2π，k2∈Z，可得x＝，，，…，或x＝0，π，2π，…，所以相邻交点距离的最小值为.故选A.
7．（6分）（多选）（2024·贵州六盘水三模）已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)，若函数f(x)图象的相邻两个对称中心之间的距离为，x＝－为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，则(　ABD　)
A．ω＝2
B．φ＝－
C．点是函数f(x)图象的对称中心
D．将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于y轴对称
解析：因为函数f(x)图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以T＝π，ω＝2，因为直线x＝－为函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以－×2＋φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝－，故A，B正确；f(x)＝sin ，则f＝sin ＝1，故C错误；将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y＝sin 2－＝sin ＝cos 2x的图象，图象关于y轴对称，故D正确．故选ABD.
8．（6分）（多选）（2024·浙江金华三模）已知函数f(x)＝sin 2ωx cos φ＋cos 2ωx sin φ
的部分图象如图所示，则(　ACD　)
A．φ＝
B．ω＝2
C．f为偶函数
D．f(x)在区间上的最小值为－
解析：由题意得f(x)＝sin (2ωx＋φ)，由题图可得f(0)＝，即sin φ＝，又0<φ<，所以φ＝，由五点法可得ω×＋＝，所以ω＝1，所以f(x)＝sin ，故A正确，B错误；f＝sin ＝cos 2x，故C正确；当x∈时，2x＋∈，，sin ∈，所以最小值为－，故D正确．故选ACD.
9．（5分）已知函数f(x)＝4cos －3，则f(x)在上的零点个数为2．
解析：令f(x)＝4cos －3＝0，可得cos ＝，原题意等价于求y＝cos 的图象与直线y＝在上的交点个数，∵x∈，∴2x＋∈，且cos 0＝1>，cos ＝>，∴y＝cos x的图象与直线y＝在上有2个交点，∴y＝cos 的图象与直线y＝在上有2个交点．
10．（5分）（2024·湖北武汉二模）函数f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1(|φ|<π)的部分图象如图所示，则φ＝．
解析：令f(x)＝2sin (2x＋φ)＋1＝0，则sin (2x＋φ)＝－，根据题图得x＝－为函数的零点，零点左右函数为上升趋势，则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，则φ＝2kπ＋，k∈Z，因为|φ|<π，所以k＝0，φ＝.
11．（16分）（2024·广东广州模拟）已知函数f(x)＝2sin x cos x－2sin2x＋.
(1)若x∈时，m(2)将函数f(x)的图象的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将其向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若x∈[0，t]，函数g(x)有且仅有4个零点，求实数t的取值范围．
解：(1)f(x)＝2sinx cos x－2sin2x＋＝sin2x＋cos 2x＝2sin ，
当x∈时，2x＋∈，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值2sin ＝1，因为x∈时，m即实数m的取值范围为(－∞，1).
(2)将f(x)＝2sin 图象的横坐标缩小为原来的，可得y＝2sin 的图象，再将其向右平移个单位长度，可得y＝2sin ＝2sin 的图象，所以函数g(x)＝2sin ，因为x∈[0，t]，所以4x－∈，在给定区间上正弦函数的零点是0，π，2π，3π，
又函数g(x)有且仅有4个零点，则3π≤4t－<4π，解得≤t<，所以实数t的取值范围是.
12．（16分）（2024·山西临汾三模）已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的图象可由函数y＝3sin x的图象平移得到，且关于直线x＝对称．
(1)求f的值；
(2)求函数g(x)＝f＋f，x∈[0，π]的单调递增区间．
解：(1)依题知函数f(x)与函数y＝3sin x有相同的振幅和周期，所以A＝3，ω＝1，
因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z，
又因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝3sin ，所以f＝3sin ＝3sin ＝.
(2)g(x)＝3sin ＋3sin 2x＝3＝3sin ，
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，又因为x∈[0，π]，所以g(x)的单调递增区间为和.
13．（5分）已知函数f(x)＝sin (ω>0)，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，点A，B，C是f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是(　D　)
A． B．
C． D．
解析：由已知可得，f(x)＝cos ωx，g(x)＝cos ，作出两个函数图象，如图，
A，B，C为连续三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC的中点，由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，AC＝T＝＝2CD，由cos ωx＝cos ，整理得cos ωx＝sin ωx，得cos ωx＝±，则yC＝－yB＝，所以BD＝2|yB|＝，要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB<即可，由tan ∠ACB＝＝<1，得0<ω<π.故选D.
14．（5分）（2024·河南驻马店二模）已知甲、乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是f(x)＝cos x(0≤x≤3π)的图象，某日小明和小红分别从甲、乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行．若将小明行走轨迹的点记为(a，b)，小红行走轨迹的点记为(c，d)，且满足＋c＝3π，函数g(a)＝b－2d，则g(a)的一个单调递减区间为(　A　)
A． B．
C． D．(2π，3π)
解析：依题意可得b＝cos a，d＝cos c＝cos ＝－cos ，且
解得0≤a≤3π，所以g(a)＝b－2d＝cos a＋2cos ＝2cos2＋2cos－1，令t＝cos ，则t∈[－1，1]，因为y＝2t2＋2t－1在区间内单调递减，在区间内单调递增，又y＝cos 在上单调递减且y＝cos ∈，在上单调递减且y＝cos ∈，在上单调递增且y＝cos ∈，在上单调递增且y＝cos ∈，所以g(a)在区间，内单调递减．故选A.
15．（6分）（2024·湖南长沙三模）已知函数y＝f(x)，任取t∈R，定义集合At＝{y∣y＝f(x)，点P(t，f（t)），Q(x，f（x)）满足|PQ|≤}．设Mt，mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h(t)＝Mt－mt，试解答以下问题：
(1)若函数f(x)＝x2，则h(0)＝1；
(2)若函数f(x)＝sin x，则h(t)的最小正周期为2．
解析：(1)因为函数f(x)＝x2，当t＝0时，P(0，0)，Q(x，x2)且
≤，即x2＋x4≤2，令x2＝n，则n2＋n≤2，解得0≤n≤1，所以Mt＝1，mt＝0，所以h(0)＝1－0＝1.
(2)如图所示，若函数f(x)＝sin x，此时，函数的最小正周期为＝4，点P，Q，当点P在点A时，点Q在曲线OAB上，Mt＝1，mt＝0，h(t)＝Mt－mt＝1；
当点P在曲线上从A接近B时，h(t)逐渐增大，当点P在点B时，Mt＝1，mt＝－1，h(t)＝Mt－mt＝2；当点P在曲线上从B接近C时，h(t)逐渐减小，当点P在点C时，Mt＝0，mt＝－1，h(t)＝Mt－mt＝1；
当点P在曲线上从C接近D时，h(t)逐渐增大，当点P在点D时，Mt＝1，mt＝－1，h(t)＝Mt－mt＝2；当点P在曲线上从D接近E时，h(t)逐渐减小，当点P在点E时，Mt＝1，mt＝0，h(t)＝Mt－mt＝1；以此类推，发现h(t)的最小正周期为2.