第四章　4.6　正弦定理、余弦定理（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

4．6　正弦定理、余弦定理
1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．
2．理解三角形的面积公式并能应用．
3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝c2＋a2－2ca cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C
变形 (1)a＝2R sin A， b＝2R sin B， c＝2R sin C； (2)sin A＝， sin B＝， sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.三角形解的判断
项目 A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关 系 式 a＝b sin A b sin A< ab
解的 个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha（ha表示边a上的高）.
(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．
(3)S＝r(a＋b＋c)（r为三角形的内切圆半径）.
教材拓展
在△ABC中，常有以下结论：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(3)a>b A>B sin A>sin B，cos A(4)sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .
(5)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.
(6)三角形的面积S＝.
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比．(　×　)
(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则a>b.(　√　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　×　)
(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　×　)
2．（人教A版必修第二册P48T2(2)改编）在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝＋.
解析：B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得＝，得c＝＋.
3．（人教A版必修第二册P44T2改编）在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A＝120°．
解析：因为cos A＝＝－，所以A＝120°.
4．（人教A版必修第二册P53T10改编）在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于6．
解析：因为cos A＝＝>0，所以A为锐角，所以A＝，sin A＝，所以△ABC的面积为bc sin A＝×3×8×＝6.
考点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
命题角度1　正弦定理
【例1】　(1)（2024·全国甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　C　)
A．　 B．　
C．　　 D．
【解析】　因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA·sin C＝，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝，因为A，C为三角形的内角，所以sin A＋sin C>0，则sin A＋sin C＝.故选C.
(2)（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　BC　)
A．b＝10，A＝45°，C＝60°
B．b＝，c＝4，B＝60°
C．a＝，b＝2，A＝45°
D．a＝8，b＝4，A＝80°
【解析】　因为b＝10，A＝45°，C＝60°，所以B＝75°，所以△ABC只有一解，故A错误；因为b＝，c＝4，B＝60°，所以由正弦定理得sin C＝＝＝<1，因为b60°，所以△ABC有两解（60°(3)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a cos C＋b＝2c cos A，c＝a，则A＝(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】　方法一　已知c＝a，由正弦定理得sin C＝sin A，所以sin2C＝3sin2A，所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.由2a cosC＋b＝2c cos A，得2sin A cos C＋sin B＝2sin C·cos A，2sin A cos C＋sin (A＋C)＝2sin C cos A，3sin A cos C＝sin C cos A，9sin2A cos2C＝sin2C cos2A，9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，由sinA≠0，解得sin A＝±，又0＜A＜π，且A方法二　由射影定理，得b＝a cos C＋c cos A，代入2a cos C＋b＝2c cos A，得3a cos C＝c cos A，又c＝a，所以cos A＝cos C①，由c＝a及正弦定理得sin A＝sin C②，①2＋②2，可得cos2A＋3sin2A＝1，即sinA＝，又由①得A∈，故A＝.故选A.
1．利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角（该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断）.
2．已知△ABC的两边a，b及角A，解三角形的一般步骤
(1)由正弦定理＝，得到sin B＝.
(2)当sin B>1时，无解；当sin B＝1，且a任意三角形中的射影定理
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A.
注：以“a＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故名为射影定理．
证明：如图，在△ABC中，AD⊥BC，则b cos C＝CD，c cos B＝BD，
故b cos C＋c cos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝b cos C＋c cos B，
同理可证b＝c cos A＋a cos C，c＝a cos B＋b cos A．　
【典例】　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B的大小为(　B　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
【解析】　因为2b cos B＝a cos C＋c cos A，所以2b cos B＝b，解得cos B＝，又因为B∈(0，π)，故B＝.故选B.
命题角度2　余弦定理
【例2】　(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且a2＋b2－c2＝4S，则角C＝．
【解析】　△ABC的面积S＝ab sin C，因为a2＋b2－c2＝4S，所以2ab cos C＝4×ab sin C，所以tan C＝1，又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)（2024·辽宁葫芦岛二模）在△ABC中，B＝45°，AB＝，M是BC的中点，AM＝，则AC＝5，cos ∠MAC＝．
【解析】　如图，在△ABM中，B＝45°，AB＝，
AM＝，由余弦定理得AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos ∠ABM，解得BM＝4，则MC＝4，BC＝8，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC，解得AC＝5，故cos ∠MAC＝＝＝.
1．利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
2．在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理．
【对点训练1】　(1)（2024·湖南衡阳三模）在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠ACB的对边分别为a，b，c，若b＝c，D为AC的中点，b sin ∠BAC＝2sin ∠ABD，则BD＝(　A　)
A．1　　　 B．　　　
C．　　　 D．2
解析：由已知得AD＝CD＝AC＝b，在△ABD中，由正弦定理得＝＝，所以BD＝，又b sin ∠BAC＝2sin ∠ABD，故BD＝＝1.故选A.
(2)（2024·江西赣州一模）在△ABC中，AB＝，AC＝2，C＝120°，则sin A＝(　B　)
A． B．
C． D．
解析：∵AB＝，AC＝2，C＝120°，∴AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C，∴BC2＋2BC－3＝0，解得BC＝1或BC＝－3（舍去），
∴sin A＝＝.故选B.
考点2 判断三角形的形状
【例3】　(1)（2024·陕西渭南三模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b cos C＋c cos B＝b，且a＝c cos B，则△ABC是(　D　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【解析】　b cos C＋c cos B＝b sin B cos C＋sin C cos B＝sin B sin (B＋C)＝sin B，即sin A＝sin B，故a＝b，a＝c cos B sin A＝sin C cos B sin (B＋C)＝sin C cos B sin B cos C＋cos B sin C＝sin C cos B sin B cos C＝0，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，故cos C＝0，因为C∈(0，π)，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形．故选D.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a－c cos B＝b－c cos A，则△ABC为(　D　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【解析】　由a－c cos B＝b－c cos A，得a－c×＝b－c×，化简得＝，当a2＋b2－c2＝0时，a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形；当a2＋b2－c2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形．综上，△ABC为等腰或直角三角形．故选D.
判断三角形形状的两种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
【对点训练2】　(1)（2024·河南新乡二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝7，b＝3，c＝5，则(　C　)
A．△ABC为锐角三角形
B．△ABC为直角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
解析：cos A＝＝＝<0，所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形．故选C.
(2)（2024·河北秦皇岛三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝2C，b＝a，则(　A　)
A．△ABC为直角三角形
B．△ABC为锐角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
解析：由正弦定理得＝，即＝，所以cos C＝，所以C＝，则B＝，所以△ABC为直角三角形．故选A.
考点3 三角形的面积问题
【例4】　（2024·新课标Ⅰ卷）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c.
【解】　(1)因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝＝，结合C为三角形的内角，可得C＝，所以sin C＝cos B＝，所以cos B＝，结合B∈(0，π)，得B＝.
(2)由(1)可知A＝π－B－C＝，设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得b＝2R sin B＝R，c＝2R sin C＝R，由S△ABC＝bc sin A＝3＋，得·R·R·sin ＝3＋，即·＝3＋，解得R2＝4，所以R＝2（负值已舍去），所以c＝R＝2.
三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就利用哪一个角及其两条边求面积．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
【对点训练3】　（2024·福建厦门一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2cos B＋ab cos A＝2c.
(1)求a；
(2)若A＝，且△ABC的周长为2＋，求△ABC的面积．
解：(1)由题设得a(a cos B＋b cos A)＝2c，由正弦定理有a(sin A cos B＋sin B cos A)＝2sin C，
所以a sin (A＋B)＝2sin C，而A＋B＝π－C，故a sin C＝2sin C，又sin C>0，所以a＝2.
(2)由(1)及已知，有cos A＝＝＝－，可得b2＋c2＋bc＝4，又a＋b＋c＝2＋，即b＋c＝，
所以(b＋c)2－bc＝5－bc＝4，所以bc＝1，故S△ABC＝bc sin A＝.
课时作业30（总分：100分）
1．（5分）（2024·北京东城区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，C＝，b＝，则a＝(　D　)
A．1　　　 B．　　　
C．　　　 D．2
解析：由题意可得B＝π－A－C＝，由正弦定理＝可得a＝＝＝2.故选D.
2．（5分）（2024·江西九江三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c－a＝2b cos A，则B＝(　B　)
A． B．
C． D．
解析：∵2c－a＝2b cos A，∴2sin C－sin A＝2sin B cos A，∵A＋B＋C＝π，∴2sin (A＋B)－2sin B cos A＝sin A，∴2sin A cos B＝sin A.
∵sin A>0，∴cos B＝，又B∈(0，π)，∴B＝.故选B.
3．（5分）（2024·四川成都二模）在△ABC中，BC＝3，AC＝5，C＝，则AB＝(　D　)
A． B．
C． D．7
解析：在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋32－2×5×3×＝49，所以AB＝7.故选D.
4．（5分）（2025·八省联考）在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，则△ABC的面积为(　C　)
A．6 B．8
C．24 D．48
解析：设AB＝x，又BC＝8，AC＝10，cos ∠BAC＝，根据余弦定理BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos ∠BAC，得82＝102＋x2－2×10×x×，即x2－12x＋36＝0，解得x＝6.由于BC2＋AB2＝64＋36＝100＝AC2，故△ABC为直角三角形，则△ABC的面积S＝×6×8＝24.故选C.
5．（5分）（2024·山东泰安三模）在△ABC中，内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的边分别为a，b，c，且－a＝，延长BC至点D，使得BC＝CD，若AD＝2，AB＝2，则a＝(　C　)
A．1 B．
C．2 D．3
解析：由－a＝，可得b sin ∠ABC＝a sin ∠BAC＋(c－a)sin ∠ACB，由正弦定理得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac，所以cos ∠ABC＝＝＝，又因为0<∠ABC<π，所以∠ABC＝，
如图所示，由题意知BD＝2a，AD＝2，AB＝2，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝4＋(2a)2－2×2×2a×cos ＝4＋4a2－4a＝12，解得a＝2或a＝－1（舍去）.故选C.
6．（5分）（2024·浙江绍兴三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2b cos (B＋C)－a cos C＝c cos A，则A＝(　D　)
A． B．
C． D．
解析：因为2b cos (B＋C)－a cos C＝c cos A，所以2b cos (π－A)＝a cos C＋c cos A，即－2b cos A＝a cos C＋c cos A，a cos C＋c cos A＝b，所以－2b cos A＝b，所以cos A＝－，又A∈(0，π)，所以A＝.故选D.
7．（6分）（多选）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．若a＝2b，B＝30°，则△ABC有一个解
B．若a＝b，B＝30°，则△ABC有两个解
C．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形
D．若sin A解析：由正弦定理得sin A＝2sin B＝1，因为30°C，A＋C<90°，因此△ABC为钝角三角形，故D正确．故选ABD.
8．（6分）（多选）（2024·广西桂林三模）在△ABC中，sin ＝，BC＝1，AC＝5，则(　ABD　)
A．cos C＝
B．AB＝
C．△ABC的面积为
D．△ABC外接圆的直径是2
解析：cos C＝1－2sin2＝1－2×＝，故A正确；由A知cosC＝，由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C＝1＋25－2×5×＝21，故AB＝，故B正确；由于在△ABC中，C∈(0，π)，故sin C>0，所以sin C＝＝＝，所以S△ABC＝BC·AC sinC＝×1×5×＝，故C错误；设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理得2R＝＝＝2，故D正确．故选ABD.
9．（5分）（2024·北京昌平区二模）已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝4，b＝2c，cos A＝－，则S△ABC＝．
解析：cos A＝＝＝－，解得c＝，所以b＝2c＝2，又因为cos A＝－，所以sin A＝＝，所以S△ABC＝bc sinA＝×2××＝.
10．（6分）（2024·北京西城区三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2，a＝，A＝，则sin C＝，b＝±．
解析：由正弦定理＝，有＝，所以sin C＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，有（）2＝b2＋22－2×2b cos ，解得b＝±.
11．（16分）（2024·天津红桥区二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝6，cos B＝，且b sin A＝3c sin B.
(1)求c；
(2)求b；
(3)求cos 的值．
解：(1)因为b sin A＝3c sin B，所以ab＝3cb，所以a＝3c，又a＝6，所以c＝2.
(2)因为b2＝a2＋c2－2ac cos B，即b2＝62＋22－2×6×2×＝32，
所以b＝4（负值已舍去）.
(3)因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝＝，所以sin2B＝2sin B cos B＝2××＝，cos 2B＝2cos2B－1＝2×－1＝－，所以cos＝cos 2B cos －sin 2B sin ＝－×－×＝－.
12．（16分）（2024·北京卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B.
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝.
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)由题意得2sin B cos B＝b cos B，因为A为钝角，
则cos B≠0，则2sin B＝b，则＝＝＝，解得sin A＝，
因为A为钝角，则A＝.
(2)若选①，结合(1)得sin B＝b＝×7＝，因为A＝，则B为锐角，则B＝，
此时A＋B＝π，不合题意，故不选择条件①.
若选②，因为B为三角形的内角，则
sin B＝＝，
代入2sin B＝b，得2×＝b，解得b＝3，因为sin C＝sin (A＋B)＝sin ＝
sin cos B＋cos sin B＝×＋×＝，
则S△ABC＝ab sin C＝×7×3×＝.
若选③，由c sin A＝，得c×＝，解得c＝5，
则由正弦定理得＝，即＝，解得sin C＝，
因为C为三角形的内角，则cos C＝＝，则sin B＝sin (A＋C)＝sin ＝sin cos C＋cos sin C＝×＋×＝，则S△ABC＝ac sin B＝×7×5×＝.
13．（5分）在△ABC中，AB＝3，cos ∠BAC＝－，AD⊥AC，且AD交BC于点D，AD＝3，则sin C＝(　B　)
A． B．
C． D．
解析：如图，由cos ∠BAC＝－，AD⊥AC，得sin ∠BAD＝sin ＝－cos ∠BAC＝，而∠BAD为锐角，则cos ∠BAD＝＝，在△ABD中，由余弦定理得BD＝＝，所以sin C＝cos ∠ADC＝－cos ∠ADB＝
－＝.故选B.
14．（5分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a＋b＝2c cos B，且sin A＋sin B＝1，则△ABC为(　B　)
A．等边三角形
B．顶角为120°的等腰三角形
C．顶角为150°的等腰三角形
D．等腰直角三角形
解析：由已知及正弦定理可得2sin A＋sin B＝2sin C cos B，因为A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以2sin (B＋C)＋sin B＝2sin C cos B，即2sin B cos C＋2cos B sin C＋sin B＝2sin C cos B，即2sin B cos C＋sin B＝0，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos C＝－，因为C∈(0，π)，所以C＝，所以B＋A＝，因为sin A＋sin B＝1，所以sin A＋sin ＝1，所以sin A＋cos A－sin A＝1，即cos A＋sin A＝1，即sin ＝1，因为A∈，所以A＋＝，所以A＝，因为B＋A＝，所以A＝B＝，所以△ABC的形状为顶角为120°的等腰三角形．故选B.
15．（5分）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，则B＝．
解析：由＝，得(b－c)(sin B＋sin C)＝sin (B＋C)，即(b－c)·(sin B＋sin C)＝·sin A，则(b－c)(b＋c)＝a，整理得b2＝a2＋c2－ac tan B，因为b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以tan B＝2cos B，又tan B＝，且sin2B＋cos2B＝1，可得2sin2B＋sinB－2＝0，解得sin B＝或sin B＝－（舍），因为B∈，所以B＝.