第五章　5.2　平面向量基本定理及坐标运算（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

5．2　平面向量基本定理及坐标运算
1．了解平面向量基本定理及其意义．
2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．
4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)平面向量的坐标运算
①平面向量线性运算的坐标表示
假设平面上两个向量a，b满足a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)(λ∈R)，ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)(u，v∈R).
②向量模的坐标计算公式
如果向量a＝(x，y)，那么|a|＝．
③向量坐标的求法
a．若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
b．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝．
(3)平面向量共线的坐标表示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，向量a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0．
3．平面向量基本定理的推论
(1)设a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共线，若a＝b，则λ1＝λ3且λ2＝λ4.
(2)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
(3)如图，已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，则平面内任意一点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝(1－t)＋t.特别地，当t＝时，点P是线段AB的中点．
(4)对于平面内任意一点O，有P，A，B三点共线 存在唯一的一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
教材拓展
已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则线段AB的中点坐标为，，△ABC的重心坐标为，．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一个基底.(　×　)
(2)基底中可以含有零向量．(　×　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　×　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换，其坐标不变．(　√　)
2．(人教A版必修第二册P30T2改编)已知向量＝(2，3)，点A的坐标为(3，2)，则点B的坐标为(　C　)
A．(6，4) B．(1，－1)
C．(5，5) D．(－1，1)
解析：设B(x，y)，则＝(x－3，y－2)＝(2，3)，解得x＝5，y＝5，∴B(5，5).故选C.
3．(人教A版必修第二册P33T2改编)已知向量a＝(1，3λ)，b＝(2＋λ，－3)，若a∥b，则λ＝(　B　)
A．1　　　 B．－1
C．2　　　 D．－3
解析：因为a＝(1，3λ)，b＝(2＋λ，－3)，且a∥b，所以3λ(2＋λ)＝1×(－3)，解得λ＝－1.故选B.
4．(人教A版必修第二册P36习题6.3T1改编)在△ABC中，点D为边BC上一点，且BD∶DC＝1∶2，设＝a，＝b，则用a，b表示为(　D　)
A．＝a－b B．＝a－b
C．＝a＋b D．＝a＋b
解析：如图，由题意，可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故选D.
考点1 平面向量基本定理及应用
【例1】　(1)(2024·四川成都模拟)已知平行四边形ABCD中，E为AC的中点，F为线段AD上靠近点A的四等分点，设＝a，＝b，则＝(　C　)
A．－a－b B．－a－b
C．－a－b D．－a－b
【解析】　如图所示，由题意可得＝＋＝a＋b，而＝＋＝＋
＝－(a＋b)＋b＝－a－b.故选C.
(2)在△ABC中，点M是AB的中点，点N分AC的比为AN∶NC＝1∶2，BN与CM相交于E，设＝a，＝b，则向量＝(　C　)
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
【解析】如图，由题意得B，E，N三点共线，所以存在λ∈R，使得＝λ＋(1－λ)＝λ＋，同理C，E，M三点共线，所以存在μ∈R，使得＝μ＋(1－μ)＝μ＋，由平面向量基本定理可得解得所以＝a＋b.故选C.
1．应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
【对点训练1】　(1)在平行四边形ABCD中，＝3，＋＝0，设＝m，＝n，则＝(　A　)
A．－m＋n B．m－n
C．－m＋n D．m－n
解析：如图所示，由题意得＝＋＋＝－－＋＝－(－)－＋＝－＋＝－m＋n.故选A.
(2)(2024·贵州六盘水三模)已知点O为△ABC的重心，＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　A　)
A．－3 B．－2
C．1 D．6
解析：根据向量加法的三角形法则知＝＋＝＋＋①，
如图，取BC的中点F，连接OF，则＝2＝2(＋)②，
点O为△ABC的重心，则＝，
代入②得到＝2＝2＋，代入①得到＝＋＋2＋＝
－2－，结合＝λ＋μ，可得λ＝－2，μ＝－1，所以λ＋μ＝－3.故选A.
考点2 平面向量的坐标运算
【例2】　(1)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】　以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，则A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，
∴a＝＝(－1，1)，b＝＝(6，2)，c＝＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，
∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)，
则解得
∴＝＝4.故选D.
(2)如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD＝2CD＝2CB＝2，点P在线段BC上运动，若＝x＋y，则x2＋y2的最小值为(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
【解析】　如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C，D，
∴＝(2，0)，＝，＝，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ＝λ，∴＝＋＝，又＝x＋y＝x(2，0)＋y＝，
∴解得
∴x2＋y2＝＋λ2＝λ2－λ＋1＝＋≥，即x2＋y2的最小值为.故选B.
1．利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．
2．向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．
【对点训练2】　(1)在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　C　)
A． B．
C． D．
解析：因为在平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，所以＝－＝－(＋)＝－，－5．故选C.
(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为AD上一点，BE⊥AC，若＝λ＋μ，则λ－μ的值为(　D　)
A．　　 B．
C．　　 D．1
解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由AB＝3，BC＝4，可得B(0，0)，C(4，0)，A(0，3)，D(4，3)，
因为E为AD上一点，可设E(x，3)，所以＝(0，3)，＝(x，3)，＝(4，－3).因为BE⊥AC，所以·＝0，即4x－9＝0，解得x＝，所以E.由＝λ＋μ得解得
所以λ－μ＝1.故选D.
考点3 向量共线的坐标表示
【例3】　(1)(2024·陕西渭南三模)已知向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)，若m与n共线且反向，则实数λ的值为(　A　)
A．4 B．2
C．－2 D．－2或4
【解析】　由向量m＝(2，λ)，n＝(2－λ，－4)共线，得λ(2－λ)＝－8，解得λ＝－2或λ＝4.当λ＝－2时，m＝(2，－2)，n＝(4，－4)，m与n同向，不符合题意；当λ＝4时，m＝(2，4)，n＝(－2，－4)，m与n反向，符合题意．所以实数λ的值为4.故选A.
(2)已知O为坐标原点，＝－2，若P1(1，2)，P2(2，－1)，则与共线的单位向量为(　C　)
A．(3，－4)
B．(3，－4)或(－3，4)
C．或
D．
【解析】　由＝－2得＋2＝0，即＋＝0，＝，－＝－，＝2－＝2(2，－1)－(1，2)＝(3，－4)，||＝＝5，与同向的单位向量为＝，反向的单位向量为.故选C.
平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1.
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R).
【对点训练3】　(1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是(　BD　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(1，1)，e2＝(1，－1)
解析：因为e1＝(0，0)为零向量，所以不能作为基底，A错误；因为－1×7－2×5≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，B正确；因为e1＝e2，所以e1，e2共线，不能作为基底，C错误；因为1×(－1)－1×1≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，D正确．故选BD.
(2)(2024·河南开封三模)已知向量a＝(2，1)，a＋b＝(1，m)，若a∥b，则m＝(　D　)
A．－3　　B．3　　C．－　　D．
解析：由a＝(2，1)，a＋b＝(1，m)可得b＝(a＋b)－a＝(－1，m－1)，由a∥b可得－1＝2(m－1)，解得m＝.故选D.
课时作业34(总分：100分)
1．(5分)(2024·河南郑州模拟)已知向量＝(2，－1)，＝(3，2)，点C(－1，2)，则点B的坐标为(　A　)
A．(－2，－1) B．(0，5)
C．(2，－5) D．(2，－1)
解析：由题意得，＝ －＝(2，－1)－(3，2)＝(－1，－3)，设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－2)＝(－1，－3)，即解得所以点B的坐标为(－2，－1).故选A.
2．(5分)(2024·四川广安二模)已知D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，若＝(3，4)，B(－2，－3)，则点C的坐标为(　A　)
A．(4，5) B．(1，1)
C．(－5，－7) D．(－8，－11)
解析：如图，因为D，E分别为AB，AC的中点，所以＝2＝(6，8)，设C(x，y)，又B(－2，－3)，所以(x＋2，y＋3)＝(6，8)，即解得故选A.
3．(5分)(2024·江苏南京二模)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，x＋3).若a∥b，则x＝(　C　)
A．－6 B．－2
C．3 D．6
解析：由a∥b，知1·(x＋3)＝2·x，解得x＝3.故选C.
4．(5分)(2024·上海浦东新区三模)给定平面上的一组不共线向量e1，e2，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是(　C　)
A．2e1＋e2和e1－e2
B．e1＋3e2和e2＋3e1
C．3e1－e2和2e2－6e1
D．e1和e1＋e2
解析：对于A，不存在实数λ，使得2e1＋e2＝λ(e1－e2)，故2e1＋e2和e1－e2不共线，可作基底；对于B，不存在实数λ，使得e1＋3e2＝λ(e2＋3e1)，故e1＋3e2和e2＋3e1不共线，可作基底；对于C，因为e1，e2是不共线的两个非零向量，且存在实数－2，使得2e2－6e1＝－2(3e1－e2)，故3e1－e2和2e2－6e1共线，不可作基底；对于D，不存在实数λ，使得e1＝λ(e1＋e2)，故e1和e1＋e2不共线，可作基底．故选C.
5．(5分)(2024·重庆江北区模拟)已知点G是△ABC的重心，点M是线段AC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　C　)
A． B．
C．－ D．－
解析：如图，因为＝＝(－)＝－＝－＋，所以λ＝－，μ＝，λ＋μ＝－.故选C.
6．(5分)(2024·山西吕梁三模)已知等边三角形ABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，若＝3，则＝(　B　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
解析：如图，在△ABC中，取{，}为基底，因为点D，E分别为AB，BC的中点，＝3，所以＝＝，所以＝＋＝(＋)＋＝＋.故选B.
7．(5分)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　B　)
A． B．
C． D．2
解析：在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令|AB|＝2，则B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，＝(2，2)，＝(2，1)，＝(－2，2)，λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，于是得解得λ＋μ＝，所以λ＋μ的值为.故选B.
8．(5分)如图，延长正方形ABCD的边CD至E，使得DE＝CD，若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A，且＝λ＋μ，则下列判断正确的是(　D　)
A．满足λ＋μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ＋μ＝1的点P有且只有一个
C．λ＋μ的最小值不存在
D．λ＋μ的最大值为3
解析：设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，E的坐标分别为(0，0)，(1，0)，(1，1)，(0，1)，(－1，1)，则＝(1，0)，＝(－1，1)，设＝(a，b)，由＝λ＋μ得(a，b)＝(λ－μ，μ)，所以当P在线段AB上时，0≤a≤1，b＝0，此时μ＝0，λ＝a，λ＋μ＝a，所以0≤λ＋μ≤1；当P在线段BC上时，a＝1，0≤b≤1，此时μ＝b，λ＝a＋μ＝1＋b，λ＋μ＝1＋2b，所以1≤λ＋μ≤3；当P在线段CD上时，0≤a≤1，b＝1，此时μ＝1，λ＝a＋μ＝a＋1，λ＋μ＝a＋2，所以2≤λ＋μ≤3；当P在线段DA上时，a＝0，0≤b≤1，此时μ＝b，λ＝a＋μ＝b，λ＋μ＝2b，所以0≤λ＋μ≤2.由以上讨论可知，当λ＋μ＝2时，P可为BC的中点，也可以是点D，所以A错误；使λ＋μ＝1的点有两个，分别为点B与AD中点，所以B错误；当P运动到点A时，λ＋μ有最小值0，故C错误；当P运动到点C时，λ＋μ有最大值3，所以D正确．故选D.
9．(8分)(多选)在下列向量组中，可以作为基底的是(　BC　)
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，8)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)
解析：因为0×2－0×1＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故A错误；因为－1×(－2)－2×5＝－8≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故B正确；因为3×8－5×6＝－6≠0，所以e1，e2不共线，可以作为基底，故C正确；因为2×3－(－3)×(－2)＝0，所以e1，e2共线，不能作为基底，故D错误．故选BC.
10．(8分)(多选)已知向量a，b，c满足c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)，且c＝(1，2)，则a，b的坐标可以为(　BC　)
A．a＝(1，0)，b＝(0，2)
B．a＝(2，0)，b＝(0，4)
C．a＝(3，1)，b＝(－1，3)
D．a＝(2，1)，b＝(4，－1)
解析：设＝a，＝b，＝c，O为坐标原点，则由c＝λa＋(1－λ)b(0<λ<1)可知A，B，C三点共线，且C在A，B之间．对于A，＝(－1，2)，＝(0，2)，与不平行，故A错误；对于B，＝(－2，4)，＝(－1，2)，与平行，且C在A，B之间，故B正确；对于C，＝(－4，2)，＝(－2，1)，与平行，且C在A，B之间，故C正确；对于D，＝(2，－2)，＝(－1，1)，与平行，但C不在A，B之间，故D错误．故选BC.
11．(8分)(多选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　ABD　)
A．＝＋
B．＝－＋
C．＝－
D．＝－＋
解析：已知AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，由向量加法的三角形法则得＝＋＝＋＝＋，又F为AE的中点，则＝＝＋，故A正确；＝＋＋＝－＋＋＝－＋，故B正确；＝＋＝－＋＋＝－＋，故D正确；＝ ＋＝－＝－＋－－＋＝－－，故C错误．故选ABD.
12．(6分)已知向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则的值为－4．
解析：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设每个小正方形的边长为1.则a＝(0，4)－(1，6)＝(－1，－2)，b＝(7，2)－(1，6)＝(6，－4)，c＝(2，0)－(7，2)＝(－5，－2)，所以λa＋μb＝λ(－1，－2)＋μ(6，－4)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以(－5，－2)＝(－λ＋6μ，－2λ－4μ)，所以解得所以＝－4.
13．(6分)(2024·四川攀枝花三模)已知平面向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，1)，若a∥b，则cos θcos＝．
解析：因为平面向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(3，1)，且a∥b，所以sin θ－3cos θ＝0，所以tan θ＝3，所以cos θcos ＝cos θcos θ＋sin θ＝×＝×＝×＝×＝.
14．(6分)如图，平面内有三个向量，，，其中〈，〉＝120°，〈，〉＝30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝m＋n，则m＋n＝6．
解析：连接AB，交OC于点D(图略)，则∠DOA＝∠OAD＝∠OBD＝30°，∠BOD＝90°，||＝||·tan30°＝，||＝||＝，||＝.
方法一　由平面向量基本定理得＝＋＝＋＝＋，||＝
2＝6||，∴＝6＝4＋2，∴m＋n＝6.
方法二　根据等高线定理可得＝k＝m＋n，k＝＝＝6，∴m＋n＝6.
15．(5分)(2024·陕西铜川模拟)在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　D　)
A． B．
C．－ D．－
解析：如图，因为点D为线段BC的中点，点E满足＝2，所以所以
消去，得2－3＝4，
所以＝－＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝－，所以λ＋μ＝－.故选D.
16．(5分)(2024·内蒙古赤峰二模)如图，边长为4的等边三角形ABC，动点P在以BC为直径的半圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围是(　D　)
A． B．
C． D．
解析：根据题意，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)，
半圆弧BC的方程为x2＋y2＝4(y≤0)，设P(m，n)，则＝(m，n－2)，＝(－2，－2)，＝(2，－2)，由＝λ＋μ，得
解得
由m2＋n2＝4(n≤0)，设m＝2cos θ，n＝2sin θ，其中π≤θ≤2π，可得λ＋μ＝－m－n＋＋m－n＋＝－cos θ－sin θ＋＝－sin ＋，由π≤θ≤2π，得≤θ＋≤，则－1≤sin ≤，得≤－sin ＋≤，得λ＋μ的取值范围为.故选D.
17．(8分)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1).某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为正三角形，AD，BE，CF围成的△DEF也为正三角形．若D为BE的中点，则△DEF与△ABC的面积比为1∶7；设＝λ＋μ，则λ＋μ＝．
解析：如图，连接AE，由题意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D，E，F分别为BE，CF，AD的中点，
所以S△DEF＝S△AEF＝S△AFC，S△ABC＝S△AFC＋S△ABD＋S△BCE＋S△DEF＝7S△DEF，得＝.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋，＝－，＝－＝－，化简得＝＋，所以λ＋μ＝＋＝.