第一章　1.4　基本不等式（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

1．4　基本不等式
1．掌握基本不等式≤(a，b>0)及其推导过程．
2．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).
(2)＋≥2（a，b同号）.
(3)ab≤(a，b∈R).
(4)≥(a，b∈R).
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．“四个平均数”
给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均数；数称为a，b的几何平均数；和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．“四个平均数”可构成不等式链：≤≤≤.
4．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0.
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值，是2（简记：积定和最小）.
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值，是（简记：和定积最大）.
教材拓展
1．ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式．
2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)不等式ab≤与≥成立的条件是相同的．(　×　)
(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　×　)
(3)函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.(　×　)
(4)“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件．(　×　)
2．（人教A版必修第一册P48习题2.2T1(1)改编）已知x>1，则x＋的最小值为3．
解析：x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时等号成立．
3．（人教A版必修第一册P58T5改编）若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为9．
解析：由ab＝a＋b＋3≥2＋3，得ab－2－3≥0，解得≥3（≤－1舍去），即ab≥9.当且仅当a＝b＝3时取等号．
4．（人教A版必修第一册P46例3(1)改编）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形两邻边的长分别为10 m，10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度是40 m.
解析：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，由已知得xy＝100，篱笆的长度为2(x＋y) m．由≥，可得x＋y≥2＝20，所以2(x＋y)≥40，当且仅当x＝y＝10时等号成立．因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m．
考点1 利用基本不等式求最值
命题角度1　配凑法
【例1】　(1)已知x<4，则x＋的最大值为(　B　)
A．－4　　 B．0　　
C．4　　 D．8
【解析】　因为x<4，所以4－x>0，所以4－x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，所以x－4＋≤－4，所以x＋≤0，即x＋的最大值为0.故选B.
(2)已知0A． B．
C． D．
【解析】　已知0命题角度2　常数代换法
【例2】　（2024·江苏南通二模）设x>0，y>0，＋2y＝2，则x＋的最小值为(　C　)
A． B．2
C．＋ D．3
【解析】　因为＋2y＝2，所以＋y＝1，因为x>0，y>0，所以x＋＝＋y＝＋xy＋＋1＝＋xy＋≥＋2＝＋2×＝＋.当且仅当即时取等号．故选C.
命题角度3　消元法
【例3】　已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为6．
【解析】　方法一（换元消元法）　由已知得9－(x＋3y)＝xy＝·x·3y≤·，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二（代入消元法）　由x＋3y＋xy＝9，得x＝，所以x＋3y＝＋3y＝＝＝＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，即x＋3y的最小值为6.
1．利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式．
2．常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t（t为常数），求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值．
3．当要求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值．
【对点训练1】　(1)已知a>b，且ab＝8，则－2的最小值是(　A　)
A．6 B．8
C．14 D．16
解析：因为ab＝8，所以＝＝a－b＋.因为a>b，所以a－b>0，所以a－b＋≥2＝8，即≥8，当且仅当a－b＝4时，等号成立，故－2的最小值是6.故选A.
(2)（2024·山西临汾三模）若0A．1 B．4
C．2＋2 D．3＋2
解析：因为00，则＋＝·[x＋(1－x)]＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即x＝－1时，等号成立，所以＋的最小值是3＋2.故选D.
(3)（2024·浙江嘉兴二模）若正数x，y满足x2－2xy＋2＝0，则x＋y的最小值是(　A　)
A． B．
C．2 D．2
解析：由x2－2xy＋2＝0可得y＝＋，∴x＋y＝x＋＋＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，此时y＝>0，符合题意．
∴x＋y的最小值为.故选A.
考点2 利用基本不等式求参数的范围
【例4】　若正数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，且x＋≥a2－3a恒成立，则实数a的取值范围是(　B　)
A．{a|－1B．{a|－1≤a≤4}
C．{a|－4≤a≤1}
D．{a|－4【解析】　因为正数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，即xy＝4x＋y，所以＋＝1，所以x＋＝·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝8，x＝2时取等号，因为正数x，y满足(x－1)(y－4)＝4，且x＋≥a2－3a恒成立，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，即实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．故选B.
利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法
(1)根据基本不等式等号成立的条件，求参数的值或取值范围．
(2)转化为求最值问题，利用基本不等式求解．
【对点训练2】　若关于x的不等式＋≥4对任意x>2恒成立，则正实数a的取值范围为(　C　)
A．[1，4] B．(0，4)
C．（0，4] D．（1，4]
解析：由题意可得＋≥4－对任意x>2恒成立，由a>0，x>2，可得＋≥2＝，当且仅当＝，即x＝2＋时，取得等号，则4－≤，解得0考点3 基本不等式的实际应用
【例5】　石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业．为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查．若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在10【解析】　设本次活动中筹集的资金为y元，则y＝，10利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为关于其他变量的函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．
【对点训练3】　如图，实验中学欲利用原有的墙（墙足够长）为背面，建造一间长方体形状的房屋作为体育器材室．房屋地面面积为18 m2，高度为3 m．若房屋侧面和正面每平方米的造价均为1 000元，屋顶的造价为6 000元，且不计房屋背面和地面的费用，则该房屋的最低总造价为42 000元．
解析：设房屋地面平行于墙的一边长为x m，则其垂直于墙的一边的长为 m，则总造价y＝6 000＋1 000×，∴y＝6 000＋3 000×≥6 000＋3 000×2＝42 000，当且仅当x＝，即x＝6时取等号，故房屋的最低总造价为42 000元．
课时作业4
1．（5分）（2024·甘肃定西一模）x2＋＋的最小值为(　B　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由题意知x≠0，所以x2>0，>0，所以x2＋＋≥2＋＝3.当且仅当x2＝，即x2＝时，等号成立．故选B.
2．（5分）已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则的最小值为(　C　)
A． B．4
C． D．2
解析：∵a>0，b>0，由基本不等式得4＝2a＋b≥2，则ab≤2（当且仅当2a＝b＝2时等号成立），∴≥，即的最小值为.故选C.
3．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨二模）已知正数x，y满足＋＝1，则2xy－3x的最小值为(　B　)
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：易知＋＝1 2x＋y＝xy，则2xy－3x＝2(2x＋y)－3x＝(x＋2y)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y＝3时取等号．故选B.
4．（5分）（2024·广东湛江二模）当x>0，y>0时，≥.这个基本不等式可以推广为当x，y>0时，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考虑取等号的条件，进而可得当x≈y时，λx＋μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作：10×9≈×10＋×9＝，则≈≈3.167.用这样的方法，可得的近似值为(　C　)
A．3.033 B．3.035
C．3.037 D．3.039
解析：依题意，28×27≈×28＋×27＝，则≈≈3.037.故选C.
5．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1元和a2元，则(　B　)
A．a1＝a2
B．a1C．a1>a2
D．a1，a2的大小无法确定
解析：由题意得a1＝＝，a2＝＝，因为m>0，n>0，m≠n，故>，<＝，即a16．（5分）（2024·江西新余二模）已知x，y为正数，且x＋y＝2，则的最小值为(　C　)
A．12 B．3＋2
C． D．
解析：由x＋y＝2，得＝＝＝＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立．故选C.
7．（6分）（多选）已知a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列结论一定正确的有(　AC　)
A．(a＋2b)2≥8ab B．＋≥2
C．ab有最大值4 D．＋有最小值9
解析：对于A，(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，当且仅当a＝2b时取“＝”，A正确；对于B，当a＝b＝2时，＋＝，2＝4，＋<2，B不正确；对于C，∵a＋b＝4≥2，∴ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，C正确；对于D，＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取“＝”，D不正确．故选AC.
8．（6分）（多选）（2024·湖北武汉二模）下列说法正确的是(　AD　)
A．若ac2>bc2，则a>b
B．＋的最小值为2
C. a>b，m>0，<
D．＋的最小值为2
解析：对于A，若ac2>bc2，则a>b，故A正确；对于B，＋≥2或＋≤－2，故B错误；对于C，若a>b，m>0，则－＝＝，而m(b－a)<0，但是a(a＋m)与0的大小关系不能确定，故C错误；对于D，＋≥2，当且仅当＝，即sinx＝0取等号，故D正确．故选AD.
9．（5分）若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是．
解析：∵x>0，∴＝≤＝，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立，∴a≥.
10．（5分）某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区（如图所示）.要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为6 m2.
解析：设矩形空地中仅与一块试验区相邻的一边的长为x m，则其邻边的长为 m，依题意可得，试验区的总面积S＝(x－0.5×4)－0.5×2＝34－x－≤34－2＝18，当且仅当x＝，即x＝8时等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为＝6(m2).
11．（16分）(1)求函数y＝x＋的最小值．
(2)求函数y＝(0解：(1)因为x>，所以x－>0，所以y＝x－＋＋≥2＋＝，当且仅当x－＝，即x＝时，等号成立，故函数y＝x＋的最小值为.
(2)因为00，
所以y＝＝≤·＝，
当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时，等号成立，故函数y＝(012．（16分）设计中的经济原则是指以最低的费用取得最大的效益，即在实现产品功能的同时控制各方面的成本．白塔制药厂意图设计一条新的生产线，以满足市场需求．已知生产线每年需要投入的固定成本为160万元，且年产量达到x吨时，需要另外投入的成本为C(x)＝x2＋20x（单位：万元），已知每吨药品的售价为60万元，每年所生产药品均可售出，由于环境因素限制，该生产线允许的最大年产量不超过280吨．
(1)要使每年度的总利润最大，求生产线的规模及对应的年利润；
(2)要使每年度的药品平均利润（总利润与药品产量的比值）最大，求生产线的规模及对应的年利润．
解：(1)设年利润为f(x)万元，则f(x)＝60x－C(x)－160＝－x2＋40x－160＝－(x－200)2＋3 840，
所以当x＝200时，f(x)取最大值3 840，即年产量为200吨时，年利润为3 840万元．
(2)药品平均利润为＝－x＋40－＝40－≤40－2＝32，当且仅当x＝，即x＝40时取等号，此时f(40)＝32×40＝1 280，
即年产量为40吨时，药品平均利润最大，年利润为1 280万元．
13．（5分）对任意正数a，b，不等式λ＋≥恒成立，则(　C　)
A．实数λ有最小值1 B．实数λ有最大值1
C．实数λ有最小值 D．实数λ有最大值
解析：λ＋≥，故－λ≥－，－＝≥0，当a＝b时，不等式恒成立；当a≠b时，λ≥＝，≤＝，当且仅当a＝b时等号成立，又a≠b，故<＝，故λ≥.故选C.
14．（5分）数学中，悬链线指的是一种曲线，是两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，它被广泛应用到现实生活中，比如计算山脉的形状、描述星系的形态、研究植物的生长等等．在合适的坐标系中，这类曲线可用函数f(x)＝aex＋be－x（其中a，b为非零常数，e＝2.718 28…）来表示，当f(x)取到最小值2时，下列说法正确的是(　B　)
A．x＝ln a
B．a＋b的最小值为2
C．2a＋2b的最小值为2
D．ln a ln b的最小值为0
解析：函数f(x)＝aex＋be－x，a，b为非零常数，ex>0，e－x>0，由f(x)取到最小值2，得a>0，b>0，对于A，aex＋be－x≥2＝2＝2，则ab＝1，当且仅当aex＝be－x，即e2x＝＝时取等号，此时ex＝，x＝－ln a，A错误；对于B，a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，B正确；对于C，2a＋2b≥2＝2≥4，当且仅当a＝b＝1时取等号，C错误；对于D，ln a ln b≤＝＝0，当且仅当a＝b＝1时取等号，D错误．故选B.
15．（6分）（多选）已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则(　BD　)
A．xy的取值范围是[1，9]
B．x＋y的取值范围是[2，3）
C．x＋4y的最小值是3
D．x＋2y的最小值是4－3
解析：对于A，x>0，y>0，由xy＝3－(x＋y)≤3－2可得（＋3）（－1）≤0，因为>0，所以0<≤1，则00，所以x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，又x＋y＝3－xy<3，所以x＋y的取值范围是[2，3），故B正确；对于C，由x＋y＋xy－3＝0得x＝，所以x＋4y＝＋4y＝＋4(1＋y)－5≥
2－5＝3，当且仅当＝4(1＋y)，即y＝0时，等号成立，所以x＋4y>3，故C错误；对于D，由x＋y＋xy－3＝0得x＝，所以x＋2y＝＋2y＝＋2(1＋y)－3≥2－3＝4－3，当且仅当＝2(1＋y)，即y＝－1时，等号成立，故D正确．故选BD.