微专题七　圆锥曲线中的最值与范围问题（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

七　 圆锥曲线中的最值与范围问题
掌握求解圆锥曲线中的最值与范围问题的方法，会求解圆锥曲线中最值与范围问题．
考点1 不等式法求最值、范围
【例1】　（2024·辽宁丹东二模）已知椭圆E：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，过A的直线与E交于点P，点Q在E上，AP⊥AQ.
(1)设直线AP，PB的斜率分别为k，k1，求证：k·k1为定值；
(2)求△APQ面积的最大值．
【解】　(1)证明：由题意可知A(－2，0)，B(2，0)，设点P(x0，y0)，
k＝，k1＝，
因为＋＝1，得y＝，
所以k·k1＝·＝，
即k·k1＝－.
(2)不妨设Q(x1，y1)，y0>0，y1<0，
则直线AP：x＝y－2(k>0)，
将x＝y－2代入＋＝1中，得y2－y＝0，所以y0＝，
所以|AP|＝y0＝＝，
因为AP⊥AQ，用－替换k，得y1＝，|AQ|＝－y1＝，
所以△APQ的面积
S＝|AP|·|AQ|＝，
所以S＝，令k＋＝m(m≥2)，则S＝＝，
又因为函数y＝12m＋在[2，＋∞）上单调递增，所以当m＝2时，y有最小值，即12m＋≥，所以S＝≤＝（当且仅当m＝2，即k＝1时等号成立），
所以△APQ面积的最大值为.
利用不等式法求解最值、范围问题的策略
(1)利用圆锥曲线的几何性质或几何量之间的关系构造不等式．
(2)利用直线与圆锥曲线的位置关系、判别式构造不等式．
(3)利用已知或其他隐含条件中的不等关系构造不等式．
(4)常与一元二次不等式、基本不等式相关．
【对点训练1】　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)上的点到焦点距离最短为2－，到焦点距离最长为2＋.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(－1，0)作直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，△F1AF2，△F1BF2的面积分别为S1，S2，求|S1－S2|的最大值．
解：(1)由题意知
解得则b2＝a2－c2＝6，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知，F1（－，0），F2（，0），
当直线l的斜率不存在时，S1＝S2，则|S1－S2|＝0；
当直线l的斜率存在时，如图，设直线l的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，
联立
得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－12＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以S1＝×2×|y1|＝|y1|，
S2＝×2×|y2|＝|y2|，
由于y1，y2异号，所以|S1－S2|＝|y1＋y2|＝|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝
|k(x1＋x2)＋2k|＝
＝·＝2·≤2·＝，
当且仅当＝2|k|，即k＝±时等号成立，所以|S1－S2|的最大值为.
综上所述，|S1－S2|的最大值为.
考点2 函数法求最值、范围
【例2】　（2023·全国甲卷）已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4.
(1)求p；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且·＝0，求△MFN面积的最小值．
【解】　(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，把x＝2y－1代入y2＝2px，得y2－4py＋2p＝0，
∵直线与抛物线有两个交点A，B，
∴Δ＝16p2－8p>0，得p>.
由根与系数的关系，可得y1＋y2＝4p，y1y2＝2p，∴|AB|＝|y1－y2|＝×＝×＝4，解得p＝2或p＝－（舍去），
故p＝2.
(2)由(1)知，抛物线的焦点为F(1，0).由题意知直线MN的斜率不可能为0，∴设直线MN的方程为x＝my＋t，M(x3，y3)，N(x4，y4)，
联立消去x得y2－4my－4t＝0，∴Δ＝16m2＋16t>0，即m2＋t>0，
由根与系数的关系得y3＋y4＝4m，
y3y4＝－4t，
∵·＝0，∴(x3－1，y3)·(x4－1，y4)＝0，即(x3－1)(x4－1)＋y3y4＝(my3＋t－1)(my4＋t－1)＋y3y4＝(m2＋1)y3y4＋m(t－1)(y3＋y4)＋(t－1)2＝(m2＋1)·(－4t)＋m(t－1)·4m＋(t－1)2＝0，
即－4m2t－4t＋4m2t－4m2＋t2－2t＋1＝0，即4m2＝t2－6t＋1.
设点F到直线MN的距离为d，
则d＝，
又|MN|＝|y3－y4|＝·＝·
＝4·，
∴S△MFN＝|MN|·d＝×4··＝2·|t－1|＝·|t－1|＝·|t－1|＝(t－1)2.
∵4m2＝t2－6t＋1≥0，解得t≤3－2或t≥3＋2，
∴当且仅当t＝3－2时，S△MFN取得最小值12－8，即△MFN面积的最小值为12－8.
利用函数法求解最值、范围问题的策略
(1)引入单变量，将所求解问题用含该变量的代数式表示，构造函数．
(2)引入双变量，利用题设或其他条件建立两个变量之间的关系，通过消元的方法转化为单变量问题，构造函数．
(3)注意挖掘变量所满足的条件，从而确定变量范围．
(4)用函数的方法，如函数的单调性、导数等分析求解最值或范围．
【对点训练2】　（2024·浙江台州一模）已知椭圆Γ：＋y2＝1(a>1)的上、下顶点分别为A，B，点Q在线段AB上运动（不含端点），点P(－1，0)，直线PQ与椭圆交于C，D两点（点C在点P左侧），PD中点M的轨迹交y轴于E，F两点，且|EF|＝.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)记直线AC，AD的斜率分别为k1，k2，求k1－k2的最小值．
解：(1)设PD中点M(x0，y0)，则D(2x0＋1，2y0)，因为点Q在线段AB上，所以点D(2x0＋1，2y0)只能在右半椭圆上运动，所以0<2x0＋1≤a，即－由点D在椭圆Γ：＋y2＝1上，得＋4y＝1，
令x0＝0，得|y0|＝，由2|y0|＝，解得a2＝4，故椭圆Γ的方程为＋y2＝1.
(2)设CD：y＝k(x＋1)，|k|<1，C(x1，y1)，D(x2，y2).
由得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4(k2－1)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，
又k1＝＝＝k＋，k2＝k＋，所以k1－k2＝(k－1)＝(k－1)·＝(k－1)·
＝，
令t＝k＋1∈(0，2)，得k1－k2＝＝＝≥，
当且仅当t＝，即k＝时取等号，所以k1－k2的最小值为.
课时作业61
1．（15分）（2024·山东烟台一模）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点A(－2，0)，离心率为，直线l过点D(3，0)且与双曲线C交于P，Q两点（异于点A）.
(1)求证：直线AP与直线AQ的斜率之积为定值，并求出该定值；
(2)过点D分别作直线AP，AQ的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，△ADN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值．
解：(1)证明：令双曲线的半焦距为c，依题意，a＝2，＝，
由c2＝a2＋b2，解得b＝4，
则双曲线C的方程为－＝1，显然直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x＝my＋3，
由消去x，得(4m2－1)y2＋24my＋20＝0，
则
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝，
设直线AP，AQ的斜率分别为kAP，kAQ，则kAPkAQ＝·＝
＝＝－.
所以直线AP与直线AQ的斜率之积为定值－.
(2)如图，设直线AP的方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，则直线DM的方程为y＝－(x－3)，
由得点M的纵坐标yM＝，
用－替换上式中的k得点N的纵坐标yN＝，
则S1·S2＝|yMyN|＝＝，
而25k2＋≥2＝40，当且仅当k＝±时取等号．
因此，S1·S2≤，所以S1·S2的最大值为.
2．（15分）已知O为坐标原点，F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，M是C上一点，且|MF|＝|MO|＝.
(1)求C的方程；
(2)A，B是C上两点（A，B异于点O），以AB为直径的圆过点O，Q为AB的中点，求直线OQ斜率的最大值．
解：(1)由抛物线的定义可知F.因为|MF|＝|MO|，所以xM＝.因为|MF|＝，所以＋＝，解得p＝2，故C的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线AB的斜率不为0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，直线AB的方程为x＝my＋t，联立得y2－4my－4t＝0，Δ>0，则yA＋yB＝4m，yAyB＝－4t.
因为以AB为直径的圆过点O，所以OA⊥OB，则xAxB＋yAyB＝0，即·＋yAyB＝0，
解得yAyB＝－16＝－4t，所以t＝4.
又xA＋xB＝m(yA＋yB)＋8＝4m2＋8，所以Q(2m2＋4，2m).
当m＝0时，kOQ＝0；
当m≠0时，kOQ＝＝＝∈∪.
故直线OQ斜率的最大值为.
3．（15分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P（，）为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点A，B，求|AB|的最大值．
解：(1)由题意可得解得
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)直线l的斜率k＝tan ＝1，故可设直线l的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y可得4x2＋6tx＋3t2－12＝0，
Δ＝36t2－16(3t2－12)＝12(16－t2)>0，即－4x1＋x2＝＝－，x1x2＝，
则|AB|＝·＝×＝
×＝，
则当t＝0时，|AB|有最大值，且其最大值为＝2.
4．（15分）（2024·江西宜春模拟）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为，过点P(0，1)的直线l与C交于A，B两点，且当l与x轴平行时，|AB|＝2.
(1)求C的方程；
(2)记C的右顶点为T，若点A，B均在C的左支上，直线AT，BT分别与y轴交于点M，N，且＝λ，＝μ（O为坐标原点），求λ＋μ的取值范围．
解：(1)由题意可知双曲线C过点（，1），则所以b2＝，a2＝1，
所以双曲线C的方程为x2－2y2＝1.
(2)若l的斜率不存在，此时l与双曲线无交点，不符合题意，
根据题意设直线l：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1，x2<0，
联立得(1－2k2)x2－4kx－3＝0，则Δ＝16k2＋12(1－2k2)＝12－8k2>0，且1－2k2≠0，
由x1＋x2＝<0，x1x2＝>0，可得k>，所以由(1)可知T(1，0).如图，
则直线AT的方程为y＝(x－1).
令x＝0，得y＝，
所以M，
同理，可得N.
所以＝，
＝，＝(0，－1).
由＝λ，＝μ，
得－1＝－λ，－1＝－μ，
所以λ＝＋1＝＋1，μ＝＋1，
所以λ＋μ＝＋＋2＝＋2＝
＋2＝＋2＝＋2，
因为所以λ＋μ的取值范围为（，4－）.