微专题十　圆锥曲线中的证明、探索性问题（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

十　 圆锥曲线中的证明、探索性问题
掌握圆锥曲线中的证明、探索性问题的一般解法，进一步提升数学运算素养．
考点1 证明问题
【例1】　（2024·全国甲卷）设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴．
(1)求C的方程；
(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，求证：AQ⊥y轴．
【解】　(1)设F(c，0)，由题设有c＝1且＝，故＝，
故a＝2，故b＝，故椭圆方程为＋＝1.
(2)证明：直线AB的斜率必定存在，设直线AB的方程为y＝k(x－4)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0，
故Δ＝1 024k4－4(3＋4k2)(64k2－12)>0，解得－又x1＋x2＝，x1x2＝，
而N，故直线BN的方程为y＝，
故yQ＝＝，
所以y1－yQ＝y1＋＝
＝
＝
k×＝
k×＝
k×＝0，
故y1＝yQ，即AQ⊥y轴．
圆锥曲线中常见的证明问题
(1)位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等．
(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.
在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明．
【对点训练1】　（2024·北京顺义区三模）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A(－2，0)，上、下顶点分别为B1，B2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P是椭圆C上一点，不与顶点重合，M满足四边形PB1MB2是平行四边形，过点P作垂直于y轴的直线交直线AB1于点Q，再过点Q作垂直于x轴的直线交直线PB2于点N，求证：A，M，N三点共线．
解：(1)因为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A(－2，0)，所以a＝2，
又＝，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：由(1)知B1(0，1)，B2(0，－1)，
设直线PB2的方程为y＝kx－1，k≠0，k≠±，联立
可得(4k2＋1)x2－8kx＝0，
解得或
所以P.
如图，因为四边形PB1MB2是平行四边形，由椭圆的对称性可知点P与点M关于原点对称，所以M，
直线AB1的方程为y＝x＋1，把y＝代入可得x＝，
所以Q，
把x＝代入y＝kx－1可得N，
所以过A，N的直线的斜率为kAN＝＝＝，
过A，M的直线的斜率为kAM＝＝＝＝kAN，
所以A，M，N三点共线．
考点2 探索性问题
【例2】　（2024·天津卷）已知椭圆＋＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝.
(1)求椭圆的方程．
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】　(1)因为椭圆的离心率为e＝，故a＝2c，b＝c，其中c为半焦距，所以A(－2c，0)，B（0，－c），C，故S△ABC＝×2c×c＝，
故c＝，所以a＝2，b＝3，故椭圆的方程为＋＝1.
(2)假设存在满足条件的点T，设T(0，t).若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线的方程为y＝kx－，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由
可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，
故Δ＝144k2＋108(3＋4k2)＝324＋576k2>0，且x1＋x2＝，x1x2＝－.
而＝(x1，y1－t)，＝(x2，y2－t)，故·＝x1x2＋(y1－t)(y2－t)＝x1x2＋＝(1＋k2)x1x2－k·(x1＋x2)＋＝(1＋k2)×－k×＋＝＝
，
因为·≤0，
所以
解得－3≤t≤.
若过点的动直线的斜率不存在，则P(0，3)，Q(0，－3)或P(0，－3)，Q(0，3)，
此时需－3≤t≤3.
综上，可得－3≤t≤.
故在y轴上存在点T，使得·≤0，点T纵坐标的取值范围为.
此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．
【对点训练2】　（2024·陕西西安一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线S：x2＝2py(p>0)，其焦点为F，过点F的直线l交抛物线S于A，B两点，|AB|＝，θ＝60°（如图）.
(1)求抛物线S的方程．
(2)在抛物线S上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，求出该两点所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线S：x2＝2py的焦点F，直线l的方程为y＝x＋.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得3x2－2px－3p2＝0（显然Δ>0），则x1＋x2＝p，
y1＋y2＝(x1＋x2)＋p＝p，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋p＝p，
于是p＝，解得p＝2，
所以抛物线S的方程为x2＝4y.
(2)由(1)知直线l：y＝x＋1，假设在抛物线S上存在关于直线l对称的相异两点，设这两点坐标为M，N，
于是直线MN的斜率kMN＝＝(x3＋x4)＝－，解得x3＋x4＝－4.
线段MN的中点（－2，y0）在直线l上，则y0＝－1，而（－2，y0）应在线段AB上，必有y0>0，与y0＝－1矛盾，所以在抛物线S上不存在关于直线l对称的相异两点．
解析几何中的创新问题
解析几何的创新题型的表现形式有两种：①定义新的解析几何的概念或性质，如曲线、距离、曲率等，在此新定义下研究定点、定值、最值、范围等问题；②与其他数学知识交汇命题，如与数列、导数、立体几何等，借助这些数学知识解决解析几何问题．
【典例】　三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角α(0<α<π)的顶点为A，在α的两边上截取|AB|＝|AC|，连接BC，在线段BC上取一点O，使得|BO|＝2|CO|，记BO的中点为D，以O为中心，C，D为顶点作离心率为2的双曲线M，以A为圆心，AB为半径作圆，与双曲线M左支交于点E（射线AE在∠BAC内部），则∠BAE＝∠BAC.在上述作法中，以O为原点，直线BC为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，若B(－2，0)，点A在x轴的上方．
(1)求双曲线M的方程．
(2)过点A且与x轴垂直的直线交x轴于点G，点E到直线AG的距离为d，连接BE.
求证：①为定值；
②∠BAE＝∠BAC.
【解】　(1)设双曲线M的方程为－＝1(a>0，b>0)，由|BO|＝2|CO|及B(－2，0)，可得C(1，0)，所以a＝1，因为双曲线M的离心率为2，所以＝＝4，解得b2＝3，所以双曲线M的方程为x2－＝1.
(2)证明：①如图，因为|AB|＝|AC|，B(－2，0)，C(1，0)，
所以直线AG的方程为x＝－.
设E(x0，y0)(x0<－1)，则x－＝1，y＝3x－3，
所以d＝＝－x0－，
又|BE|＝＝＝＝－2x0－1，所以＝2，为定值．
②因为|AB|＝|AE|，
所以sin ∠BAE＝，sin ∠EAG＝，
因为＝2，所以sin ∠BAE＝sin ∠EAG，
又∠BAE，∠EAG都是锐角，
所以∠BAE＝∠EAG，所以∠BAC＝2∠BAG＝2(∠BAE＋∠EAG)＝3∠BAE，
所以∠BAE＝∠BAC.
课时作业64
1．（15分）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与抛物线C的交点为G，H.
(1)若|FG|＋|FH|＝，求抛物线C的方程及焦点F的坐标；
(2)如图，点P为x轴正半轴上的任意一点，过点P作直线交抛物线C于A，B两点，点P关于原点的对称点为M，连接MA交抛物线于点N，连接NP，直线NP交抛物线于点E，求证：PM为∠APE的平分线．
解：(1)由题意得F，设直线l的方程为y＝，G(x1，y1)，H(x2，y2)，
由抛物线焦半径公式可知|FG|＋|FH|＝x1＋x2＋p＝，
∴x1＋x2＝－p.
联立消去y得8x2－17px＋2p2＝0，
∴x1＋x2＝＝－p，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F(1，0).
(2)证明：设A(x3，y3)，N(x4，y4)，P(m，0)，则M(－m，0)，直线AM的方程为x＝ty－m.
联立消去x得y2－2pty＋2pm＝0，∴y3＋y4＝2pt，y3y4＝2pm，
而kAP＋kNP＝＋＝，
又x3y4＋x4y3－m(y3＋y4)＝(ty3－m)y4＋(ty4－m)y3－m(y3＋y4)＝2ty3y4－2m(y3＋y4)＝4ptm－4ptm＝0，
∴kAP＋kNP＝0，
∴PM为∠APE的平分线．
2．（15分）（2024·北京延庆区一模）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，C分别是E的上、下顶点，|AC|＝2，B，D分别是E的左、右顶点．
(1)求E的方程；
(2)设P为第二象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线BP与直线CD交于点N，求证：MN⊥BD.
解：(1)由题意得所以a＝2，b＝1.所以E的方程为＋y2＝1.
(2)证明：因为椭圆E的方程为＋y2＝1，所以A(0，1)，C(0，－1)，B(－2，0)，D(2，0)，如图．
设直线PD的方程为y＝k(x－2)，其中－由化简并整理得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0，
由－0，由根与系数的关系有2xP＝，所以xP＝，yP＝k(xP－2)＝k＝，
即P.
直线BC的方程为＋＝1，即y＝－x－1.
由得xM＝.
直线PB的方程为＝，即y＝－.
直线CD的方程为＋＝1，即y＝x－1.
由得xN＝.
因为xM＝xN，所以MN⊥BD.
3．（15分）（2024·吉林白山二模）已知双曲线C：x2－＝1的右焦点为F，点P(x0，y0)(y0≠0)在双曲线C上，Q.
(1)若y0＝3，且点P在第一象限，点Q关于x轴的对称点为R，求直线PR与双曲线C相交所得的弦长．
(2)探究：△PQF的外心是否落在双曲线C在点P处的切线上？若是，请给出证明过程；若不是，请说明理由．
解：(1)如图，依题意得P(2，3)，Q，R，则直线PR的斜率为＝4，
则直线PR的方程为y－3＝4(x－2)，即y＝4x－5.
联立得13x2－40x＋28＝0，解得x＝2或x＝，
故所求弦长为×＝.
(2)△PQF的外心落在双曲线C在点P处的切线上．证明过程如下：
设双曲线C在点P处的切线斜率为k，则在点P处的切线方程为y－y0＝k(x－x0)，
联立得(3－k2)x2－2k(y0－kx0)x－(y0－kx0)2－3＝0，
其中k2≠3，则Δ＝4k2(y0－kx0)2＋4(3－k2)[(y0－kx0)2＋3]＝0，
而x－＝1，故y＋3＝3x，代入上式，可得k2y－6kx0y0＋9x＝0，
解得k＝，故双曲线C在点P处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即x0x－＝1.
直线FQ的斜率为kFQ＝－，线段FQ的中点为E，故线段FQ的中垂线方程为y－＝，线段PQ的中垂线方程为x＝＝.
联立
可得y＝，
故外心坐标为，
其满足x0x－＝1，故△PQF的外心落在双曲线C在点P处的切线上．
4．（15分）（2024·北京朝阳区一模）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A，B分别是E的左、右顶点，P是E上异于A，B的点，△APB的面积的最大值为2.
(1)求E的方程．
(2)设O为原点，点N在直线x＝2上，N，P分别在x轴的两侧，且△APB与△NBP的面积相等．
①求证：直线ON与直线AP的斜率之积为定值．
②是否存在点P使得△APB≌△NBP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)当点P是短轴端点时，△APB的面积最大，面积的最大值为·2a·b＝2，所以ab＝2，则解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)①证明：设P(x0，y0)(x0≠±2)，N(2，t)，ty0<0，
S△APB＝×|AB|×|y0|＝2|y0|，
S△NBP＝|t|×(2－x0)，
由题意可知，2|y0|＝|t|×(2－x0)，|t|＝，即t＝，
所以kAP·kON＝×＝＝－1.
故直线ON与直线AP的斜率之积为定值－1.
②假设存在点P使得△APB≌△NBP.
因为|AB|>|AP|，|NP|>|NB|，|BP|＝|BP|，所以|AP|＝|NB|，∠APB＝∠NBP，∠ABP＝∠NPB，
则∠APN＝∠NBA＝90°.
由①可知，AP⊥ON，又AP⊥NP，所以O，N，P三点共线，如图，
则∠OPB＝∠OBP，所以
|OP|＝|OB|＝2，
则点P与点A重合，这与已知矛盾，
所以不存在点P使得△APB≌△NBP.