第八章　8.1　直线的方程（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

　平面解析几何
8．1　直线的方程
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线(不与y轴平行)斜率的计算公式．
2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°.
(3)范围：直线倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°．
2．直线的斜率
(1)定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α．倾斜角等于90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式：过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式为k＝．
(3)直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1).若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量．
3．直线方程的五种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点 斜 式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k为斜率 不垂直于x轴的直线(k存在)
斜 截 式 y＝kx＋b k为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例 不垂直于x轴的直线(k存在)
两 点 式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个点 不垂直于x轴和y轴的直线(x1≠x2，y1≠y2)
截 距 式 ＋＝1 a为横截距，b为纵截距，是两点式的特例 不垂直于x轴和y轴，且不过原点的直线(ab≠0)
一 般 式 Ax＋By＋ C＝0(A2＋ B2≠0) A，B，C为系数 任何位置的直线
特殊地，横截式x＝my＋n表示横截距为n，斜率不为零或斜率不存在的直线．
教材拓展
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．(　√　)
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(　×　)
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　×　)
(4)经过点P0(x0，y0)的任意直线的方程可表示为y－y0＝k(x－x0).(　×　)
2．(人教A版选择性必修第一册P55T4改编)经过P(0，－3)，Q(－，0)两点的直线的倾斜角为(　C　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：由题意知，经过P，Q两点的直线的斜率为k＝＝－，设该直线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°)，则k＝tan θ＝－，所以θ＝120°，即直线的倾斜角为120°.故选C.
3．(人教A版选择性必修第一册P67T7改编)经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程是(　D　)
A.x＋y＝4
B．y＝x＋2
C．y＝3x或x＋y＝4
D．y＝3x或y＝x＋2
解析：当直线过原点时，方程为y＝3x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，将(1，3)代入得，＋＝1，解得a＝－2，所以直线方程为y＝x＋2.综上，所求直线的方程为y＝3x或y＝x＋2.故选D.
4．(人教A版选择性必修第一册P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为(1，－1)．
解析：直线方程x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
令解得
故直线所过的定点坐标为(1，－1).
考点1 直线的倾斜角和斜率
【例1】　(1)设直线l的方程为x cos θ＋y－1＝0，则直线l的倾斜角α的范围是(　D　)
A．[0，π] B．
C． D．∪
【解析】　因为直线x cos θ＋y－1＝0的斜率k＝－cos θ∈[－1，1]，所以tan α∈[－1，1]，又α∈[0，π)，所以α∈∪.故选D.
(2)已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直线l：ax＋y－1－a＝0与线段MN相交，则a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，－4]∪
B．∪[4，＋∞)
C．
D．
【解析】　将ax＋y－1－a＝0变形得y－1＝－a(x－1)，于是得l过定点P(1，1)，斜率k＝－a，直线PM斜率为kPM＝＝－4，直线PN斜率为kPN＝＝，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则斜率k满足k≤kPM或k≥kPN，如图，即k≤－4或k≥，于是有－a≤－4或－a≥，解得a≥4或a≤－，所以a的取值范围是∪[4，＋∞).故选B.
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
【对点训练1】　(1)已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若0<α<<β，则下列关系正确的是(　D　)
A．0C．k1<0解析：依题意，得k1＝tan α，k2＝tan β，α∈，β∈，在上，y＝tan x>0，在上，y＝tan x<0，所以tan β<0(2)已知点A(1，2)，B(0，－)，若经过点M(－1，0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为(　C　)
A． B．∪
C．∪ D．∪
解析：依题意，直线MA的斜率kMA＝＝1，直线MB的斜率kMB＝＝－，如图，若直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k满足－≤k≤1，当－≤k<0时，直线l的倾斜角α∈，当0≤k≤1时，α∈，所以直线l的倾斜角的取值范围为∪.故选C.
考点2 直线的方程
【例2】　求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6；
(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的2倍．
【解】　(1)∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，∴y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)设直线方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝－b，
∴|b|·＝6，解得b＝±3，∴直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，又直线过点(2，1)，∴1＝2k，解得k＝，∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为＋＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的形式，并直接写出直线方程．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，再由题设条件求出待定系数，进而得出直线方程．
【对点训练2】　(1)已知直线l的一个方向向量为(2，－3)，且经过点(3，1)，则l的方程为(　B　)
A．3x＋2y－3＝0 B．3x＋2y－11＝0
C．2x－3y－1＝0 D．3x＋2y＋3＝0
解析：因为直线l的一个方向向量为(2，－3)，所以其斜率为k＝－，又直线经过点(3，1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－3)，即3x＋2y－11＝0.故选B.
(2)已知直线l过点(－3，3)，且在x轴上的截距为在y轴上截距的3倍，则直线l的方程为(　C　)
A．x＋3y－6＝0
B．x－3y＋12＝0
C．x＋y＝0或x＋3y－6＝0
D．x＋y＝0或x＋3y＋12＝0
解析：分两种情况：①当直线l过原点时，由直线经过点(－3，3)，可得直线方程为y＝－x，即x＋y＝0；②当l不过原点时，设l的方程为＋＝1(a≠0)，将点(－3，3)的坐标代入得＋＝1，解得a＝2，此时l的方程为＋＝1，即x＋3y－6＝0.
综上，直线l的方程为x＋y＝0或x＋3y－6＝0.故选C.
考点3 直线方程的综合应用
【例3】　已知直线l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1.
(1)求证：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
【解】　(1)证明：由l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1，得a(2x－y)－3x＋y＋1＝0，
令解得
所以直线l过定点(1，2).
(2)如图所示，结合图象可知，
当a＝1时，直线斜率不存在，方程为x＝1，不经过第二象限，成立；
当a≠1时，直线斜率存在，方程为y＝x＋，
又直线不经过第二象限，则解得a<1.
综上所述，a≤1.
(3)已知直线l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1，且由题意知a≠1，
令x＝0，得y＝>0，得a>1，
令y＝0，得x＝>0，
得a<，所以1则围成的三角形的面积S＝××＝＝，
所以当a＝时，S取最小值，
此时直线l的方程为y＝x＋1，即2x＋y－4＝0.
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
【对点训练3】　已知直线y－3＝k(x－4)分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B，O为坐标原点．
(1)若|AB|＝10，求实数k的值；
(2)求|OA|＋|OB|的最小值．
解：(1)由题意易得直线AB过定点M(4，3)，又|OM|＝＝5，且|AB|＝10，
则|OM|＝|AB|＝5，而△OAB是直角三角形，故M为AB的中点，故A(8，0)，故k＝＝－.
(2)设A(a，0)，B(0，b)，其中a>0，b>0，则直线AB的方程可以写成＋＝1，
将M(4，3)代入，得＋＝1，
故|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝7＋＋≥7＋4，
当且仅当＝，即2b＝a，亦即k＝－＝－时取等号，
故|OA|＋|OB|的最小值为7＋4.
课时作业53(总分：100分)
1．(5分)已知直线方程为x＋y－3＝0，则该直线的倾斜角为(　A　)
A．　　 B．
C．　　 D．
解析：依题意，直线y＝－x＋3的斜率为－1，所以该直线的倾斜角为.故选A.
2．(5分)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　A　)
A．k1B．k3C．k1D．k3解析：倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k13．(5分)已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－4，则直线l的一般式方程是(　D　)
A．x－y－4＝0 B．x－y＋4＝0
C．x－y＋4＝0 D．x－y－4＝0
解析：由直线的倾斜角可得直线的斜率k＝tan 60°＝，所以直线l的方程为y＝x－4，则直线l的一般式方程为x－y－4＝0.故选D.
4．(5分)若直线l过点A(2，3)，则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形面积的最小值为(　B　)
A．9　　　 B．12
C．18　　　 D．24
解析：设直线l：＋＝1(a，b>0)，因为直线l过点A(2，3)，所以＋＝1，即2b＋3a＝ab，所以2b＋3a＝ab≥2，解得ab≥24，当且仅当2b＝3a，即a＝4，b＝6时等号成立，则直线l与x轴、y轴的正半轴围成的三角形面积S＝ab≥12.故选B.
5．(5分)直线(4a2－2)x＋2y＋3＝0(a为常数)的倾斜角的取值范围是(　C　)
A． B．
C．∪ D．∪
解析：直线(4a2－2)x＋2y＋3＝0的斜率一定存在，故倾斜角不为，直线的斜率≤1，如图所示，结合正切函数在∪上的图象，可得倾斜角的取值范围是∪.故选C.
6．(5分)直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　C　)
A．[－2，2]
B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C．[－2，0)∪(0，2]
D．(－∞，＋∞)
解析：令x＝0，可得y＝；令y＝0，可得x＝－b，则≤1，b≠0，解得－2≤b≤2，且b≠0.故选C.
7．(6分)(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有(　AD　)
A．直线l的斜率为－
B．直线l的倾斜角为
C．直线l不经过第四象限
D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
解析：由直线l：x＋y－2＝0，可得y＝－x＋2，故其斜率为k＝－，倾斜角为，故A正确，B错误；由直线y＝－x＋2知其斜率k<0，纵截距b>0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C错误；取直线上两点A(0，2)，B(，－1)，可得＝(－，3)，即直线l的一个方向向量为v＝(－，3)，故D正确．故选AD.
8．(6分)(多选)已知直线l：m2x－2m2y＋1＝0(m≠0)，当m变化时，以下结论正确的是(　BCD　)
A．直线l必过定点
B．直线l的倾斜角大小不变
C．直线l一定不经过第四象限
D．直线l一定经过第一、二、三象限
解析：因为l：m2x－2m2y＋1＝0(m≠0)，分别取m＝1，m＝2得易知该方程组无实数解，故直线l：m2x－2m2y＋1＝0(m≠0)不过定点，故A错误；因为m≠0，所以直线方程可转化为y＝x＋，故直线斜率为，倾斜角为定值，故B正确；直线l的方程为y＝x＋，因为m≠0，则>0，故当x>0时，必有y>0恒成立，即直线l一定不经过第四象限，故C正确；直线l的方程为y＝x＋，可得直线斜率为正，纵截距也为正，故直线l一定经过第一、二、三象限，故D正确．故选BCD.
9．(5分)若点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，11)在同一条直线上，则实数k的值为－9．
解析：因为A(3，1)，B(－2，k)，C(8，11)三点在同一条直线上，所以直线AB的斜率和直线AC的斜率相等，即＝，解得k＝－9.
10．(5分)若直线l的倾斜角为且在x轴上的截距为－1，则直线l的一般式方程是x－y＋＝0．
解析：由直线l的倾斜角为，可得直线l的斜率为k＝tan ＝，又直线l在x轴上的截距为－1，所以直线l的方程为y＝(x＋1)，即x－y＋＝0.
11．(16分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解：(1)直线l：(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在y轴上的截距为a－2，
由l在两坐标轴上的截距相等知，a＋1≠0，则直线l在x轴上的截距为，于是＝a－2，解得a＝2或a＝0，所以直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)直线l：(x－1)a＋x＋y＋2＝0，
由得即直线l过定点P(1，－3)，
显然点P在第四象限，要使直线l不经过第二象限，而直线l的斜率存在，
因此直线l的斜率不小于0，即－(a＋1)≥0，解得a≤－1，
所以实数a的取值范围是(－∞，－1].
12．(17分)已知直线l1：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.
(1)求证：无论m为何实数，直线l1恒过一定点M；
(2)若直线l2过点M，且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线l2的方程．
解：(1)证明：将直线l1的方程化为m(x－2y－3)＋2x＋y＋4＝0，
令解得
故直线l1恒过定点M(－1，－2).
(2)由题意可知，直线l2的斜率存在且不为零，设直线l2的方程为y＋2＝k(x＋1)，令x＝0，可得y＝k－2，令y＝0，可得x＝－1，由直线l2与x轴负半轴、y轴负半轴相交可得k<0，所以，三角形面积为S＝(2－k)＝≥＝4，当且仅当k＝－2时，等号成立，此时直线l2的方程为2x＋y＋4＝0.
13．(5分)已知两点A(－1，5)，B(0，0)，若直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为(　A　)
A．∪
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪∪
D．[－1，0]∪[1，＋∞)
解析：由直线l：(k＋1)x－(2k－2)y＋2k－6＝0，变形可得(x－2y＋2)k＋x＋2y－6＝0，由
解得
可得直线l恒过定点P(2，2)，则直线PA的斜率kPA＝＝－1，直线PB的斜率kPB＝＝1，又直线l的斜率为＝＋≠，如图，若直线l与线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为∪.故选A.
14．(5分)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是(　D　)
A．|a|<|b|
B．<
C．(b－a)(b＋a)>0
D．<
解析：已知直线＋＝1经过第一、二、三象限，则直线在x轴上的截距a<0，在y轴上的截距b>0，由直线的斜率小于1，可知0<－<1，结合a<0可得a<0|b|，故A错误；由幂函数的单调性可知>，故B错误；由不等式的性质，可知b－a>0，b＋a<0，则(b－a)(b＋a)<0，故C错误；<0，>0，则<，故D正确．故选D.
15．(5分)已知函数f(x)＝mx－|2x－1|，若满足f(x)>0的整数解恰有3个，则实数m的取值范围为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：由f(x)>0得mx>|2x－1|，所以满足f(x)>0的整数解恰有3个，等价于函数y＝|2x－1|的图象在直线y＝mx下方的部分有3个横坐标为整数的点．如图，当直线y＝mx的斜率m满足kOA