第八章　8.2　两条直线的位置关系（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

8．2　两条直线的位置关系
1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．
3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
1．两条直线的特殊位置关系
(1)平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则l1∥l2 k1＝k2．特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的位置关系为l1∥l2．
(2)垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则l1⊥l2 k1k2＝－1．特别地，若直线l1：x＝a，直线l2：y＝b，则l1与l2的位置关系为l1⊥l2．
2．两条直线的交点坐标
一般地，将两条直线的方程联立，得方程组(A＋B≠0，A＋B≠0).若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行．
3．三种距离公式
(1)两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为|P1P2|＝．特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离为|OP|＝．
(2)点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝．
(3)两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)间的距离d＝.
教材拓展
1．两条直线平行、垂直的充要条件
设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)，则
(1)l1∥l2
(2)l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．常见直线系方程
(1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1.
(2)平行于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.
(4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)与A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0和A2x＋B2y＋C2＝0.
3．对称常用结论
(1)点(x，y)关于直线y＝x＋t的对称点为(y－t，x＋t)，关于直线y＝－x＋t的对称点为(－y＋t，－x＋t).
(2)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
(3)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　×　)
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　×　)
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)
2．(人教A版选择性必修第一册P102T2改编)已知直线l1：(m＋2)x＋2y－1＝0与直线l2：3x＋(m＋1)y＋1＝0平行，则实数m＝(　C　)
A．－4 B．1
C．－4或1 D．－
解析：已知直线l1：(m＋2)x＋2y－1＝0与直线l2：3x＋(m＋1)y＋1＝0平行，则
解得m＝－4或m＝1.故选C.
3．(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两条平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：6x＋8y－5＝0间的距离等于(　B　)
A．3　　　 B．
C．　　　 D．7
解析：l1：3x＋4y－2＝0即为6x＋8y－4＝0，则两条平行直线间的距离为＝.故选B.
4．(人教A版选择性必修第一册P102T4改编)若直线l过点(1，3)且与斜率为4的直线垂直，则直线l的方程为(　A　)
A．x＋4y－13＝0 B．4x－y－1＝0
C．x＋4y－8＝0 D．4x－y－15＝0
解析：因为直线l与斜率为4的直线垂直，所以直线l的斜率为－，又直线l过点(1，3)，所以直线l的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋4y－13＝0.故选A.
考点1 两条直线的位置关系
【例1】　(1)已知直线l1：(m－2)x－3y－1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y＋1＝0互相平行，则实数m的值是(　C　)
A．－4或1　　 B．1　　　
C．－4　　 D．6
【解析】　根据题意可知，两直线斜率均存在，由两直线平行可得＝，解得m＝1或m＝－4.经检验，当m＝1时，两直线重合，不合题意，舍去，当m＝－4时符合题意．故选C.
(2)已知A(－1，2)，B(1，3)，C(0，－2)，点D使AD⊥BC，AB∥CD，则点D的坐标为(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】　设D(x，y)，∵AD⊥BC，∴×＝－1，∴x＋5y－9＝0.∵AB∥CD，∴＝，∴x－2y－4＝0.
由解得故选D.
判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)对于选择、填空题，可直接利用直线方程系数之间的关系得出结论，减少计算．
【对点训练1】　(1)过点(2，－1)且与直线2x－3y＋9＝0平行的直线的方程为(　A　)
A．2x－3y－7＝0 B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－4＝0 D．2x－3y＋7＝0
解析：设与直线2x－3y＋9＝0平行的直线的方程为2x－3y＋λ＝0(λ≠9)，将(2，－1)代入得2×2－3×(－1)＋λ＝0，解得λ＝－7，所以所求直线的方程为2x－3y－7＝0.故选A.
(2)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　A　)
A．不论a为何值，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2都互相平行
C．当a＝1时，l1与l2关于y轴对称
D．直线l1与圆x2＋y2＝1不能相切
解析：由直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，可得a×1＋(－1)×a＝0，所以不论a为何值，l1与l2都互相垂直，所以A正确，B不正确；当a＝1时，直线l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，如图所示，此时直线l1与l2关于x轴对称，所以C不正确；由圆x2＋y2＝1，可得圆心为O(0，0)，半径为r＝1，当a＝0时，直线l1：y－1＝0，则原点到直线l1的距离为d＝1＝r，此时直线l1与圆x2＋y2＝1相切，所以D不正确．故选A.
考点2 两条直线的交点与距离问题
【例2】　(1)经过直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　C　)
A．x＋y＋1＝0
B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0
D．x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0
【解析】　设直线方程为3x＋2y＋6＋λ(2x＋5y－7)＝0，即(3＋2λ)x＋(2＋5λ)y＋6－7λ＝0，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝.由＝，解得λ＝或λ＝.所以直线方程为x＋y＋1＝0或3x＋4y＝0.故选C.
(2)已知A，B，C三点在曲线y＝上，其横坐标依次为1，m(1A．3 B．
C． D．
【解析】　由题意知，A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，易知直线AC的斜率为kAC＝，故直线AC的方程为y－1＝(x－1)，即x－3y＋2＝0，点B到直线AC的距离为d＝
，故S△ABC＝×|AC|×d＝××＝|m－3＋2|＝.∵m∈(1，4)，∴当＝，即m＝时，S△ABC有最大值．故选B.
1．求过两条定直线交点的直线方程，往往用设直线系方程求参的方法求解．
2．已知两平行直线方程求距离时，如果直接利用两平行直线间的距离公式求解，要注意两平行直线方程中x，y的系数应对应相等．
【对点训练2】　(1)已知直线l1∥l2，l1：2x＋y＋4＝0，l2：6x＋ay＋2＝0，则它们间的距离为(　D　)
A． B．
C． D．
解析：因为l1∥l2，所以2a＝6，解得a＝3，故l2：2x＋y＋＝0.所以l1，l2之间的距离为＝＝.故选D.
(2)若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　B　)
A． B．
C． D．
解析：联立
解得所以
解得k>，所以直线l的倾斜角的取值范围为.故选B.
考点3 对称问题
【例3】　(1)已知实数x，y满足x＋y＋1＝0，则＋的最小值为(　D　)
A． B．2
C． D．2
【解析】　＋表示直线x＋y＋1＝0上一动点P(x，y)到定点A(1，1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，
设点A(1，1)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A′(x0，y0)，则
解得所以A′(－2，－2)，则|A′B|＝＝2，由图知
＋的最小值为2.故选D.
(2)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，0)和点重合，点(7，3)和点(m，n)重合，则m＋n＝(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】　设点O(0，0)和P，线段OP中点为M，折痕所在直线即为线段OP的中垂线，则＝，＝－，所以点M，直线OP的斜率为＝－，则折痕所在直线斜率为2，其方程为y＝2－ y＝2x－3，由题知点(7，3)与点(m，n)关于折痕所在直线对称，则两点的中点在折痕所在直线上且两点连线与折痕所在直线垂直，所以解得所以m＋n＝.故选A.
对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
【对点训练3】　(1)已知点M(1，－2)，N(m，2)，若M，N关于直线x＋2y－2＝0对称，则实数m的值是(　A　)
A．3 B．1
C．－2 D．－7
解析：由题意得线段MN的中点在直线x＋2y－2＝0上，且直线x＋2y－2＝0与直线MN垂直，即解得m＝3.故选A.
(2)一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为(　B　)
A．2x－y－1＝0 B．x－2＝0
C．3x－y－3＝0 D．4x－y－5＝0
解析：设点P(－1，5)关于直线x－3y＋1＝0的对称点为P1(a，b)，则
解得故反射光线经过点(2，－4)，(2，3)，则反射光线所在直线的方程为x－2＝0.故选B.
课时作业54
1．(5分)过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　D　)
A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋4＝0
解析：设垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为x－2y＋m＝0，又直线过点A(2，3)，所以2－2×3＋m＝0，解得m＝4，故所求直线的方程为x－2y＋4＝0.故选D.
2．(5分)已知直线l1：(m＋1)x＋3y－1＝0，l2：5x＋(m－1)y－m＋1＝0，则“m＝4”是“l1∥l2”的(　B　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当l1∥l2时，(m＋1)×(m－1)＝3×5，即m2＝16，解得m＝±4.当m＝4时，l1：5x＋3y－1＝0，l2：5x＋3y－3＝0，此时l1∥l2；当m＝－4时，l1：－3x＋3y－1＝0，即l1：x－y＋＝0，l2：5x－5y＋5＝0，即l2：x－y＋1＝0，此时l1∥l2.故“m＝±4”是“l1∥l2”的充要条件，即“m＝4”是“l1∥l2”的充分不必要条件．故选B.
3．(5分)已知点A(－2，1)，B(3，2)，C(7，－5)，则点B到直线AC的距离为(　C　)
A． B．
C． D．
解析：根据题意，直线AC的斜率为kAC＝＝－，所以直线AC的方程为y－1＝－(x＋2)，即2x＋3y＋1＝0，点B到直线AC的距离为d＝＝.故选C.
4．(5分)已知两条平行直线l1：3x＋4y＋5＝0，l2：6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c等于(　D　)
A．－12 B．48
C．36或48 D．－12或48
解析：将l1的方程3x＋4y＋5＝0变形为6x＋8y＋10＝0，因为两条直线平行，所以b＝8.由＝3，解得c＝－20或c＝40，所以b＋c＝－12或b＋c＝48.故选D.
5．(5分)直线y＝4x－5关于点P(2，1)对称的直线方程是(　C　)
A．y＝4x＋5 B．y＝4x－5
C．y＝4x－9 D．y＝4x＋9
解析：设直线y＝4x－5上的点P(x0，y0)关于点(2，1)的对称点的坐标为(x，y)，所以＝2，＝1，所以x0＝4－x，y0＝2－y，将其代入y＝4x－5中，得到2－y＝4(4－x)－5，化简得y＝4x－9.故选C.
6．(5分)一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在直线方程为(　D　)
A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0
C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0
解析：设点M(2，6)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(x，y)，
所以解得所以M′(3，5)，所以反射光线经过点M′(3，5)与点N(－3，4)，所以反射光线所在直线的方程为x－6y＋27＝0.故选D.
7．(6分)(多选)已知直线l：y＝ax－a＋1，下列说法正确的是(　BD　)
A．直线l过定点(－1，1)
B．当a＝1时，l关于x轴的对称直线为x＋y＝0
C．直线l一定经过第四象限
D．点P(3，－1)到直线l距离的最大值为2
解析：直线l：y＝ax－a＋1＝a(x－1)＋1，所以直线l过定点Q(1，1)，故A错误；当a＝1时，直线l的方程为y＝x，l关于x轴的对称直线为y＝－x，即x＋y＝0，故B正确；当a＝1时，直线l的方程为y＝x，直线l不经过第四象限，故C错误；如图所示，过P作PH⊥l于H，由图可知|PQ|≥|PH|，则点P(3，－1)到直线l距离的最大值为|PQ|＝＝2，故D正确．故选BD.
8．(6分)(多选)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论正确的是(　AD　)
A．若l1∥l2，则a＝6
B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C．若l1⊥l2，则a＝
D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交
解析：直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，它们不重合，若l1∥l2，则4a＝3×8，解得a＝6，经检验符合，故A正确；若l1∥l2，由A可知，l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0，故两条平行直线之间的距离为＝，故B不正确；若l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，解得a＝－，故C不正确；由A知，当l1∥l2时，a＝6，所以若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D正确．故选AD.
9．(5分)不论m取何值，直线l：(2m＋1)x＋(m－1)y＋3＝0恒过一定点，该定点坐标为(－1，2)．
解析：由(2m＋1)x＋(m－1)y＋3＝0 x－y＋3＋(2x＋y)m＝0，令
即该直线过定点(－1，2).
10．(5分)已知A(－2，－3)，B(2，－1)，C(0，2)，则△ABC的面积为8．
解析：由A(－2，－3)，B(2，－1)可得直线AB的方程为＝ x－2y－4＝0，
|AB|＝＝2，点C(0，2)到直线AB的距离为＝，所以△ABC的面积为×2×＝8.
11．(16分)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－4，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；
(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
解：(1)因为直线l1过点(－4，－1)，
所以－4a＋b＋4＝0，
又因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0，所以解得或
(2)因为l1∥l2且l2的斜率为1－a，所以l1的斜率也存在，则＝1－a，即b＝，
故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0.
因为原点到l1与l2的距离相等，
所以4＝，解得a＝2或a＝，
因此或
12．(17分)已知两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2.
(1)求直线l1关于直线l2对称的直线方程；
(2)求直线l1关于直线l3：3x－y－4＝0对称的直线方程．
解：(1)因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以n＝－2×2＝－4.又两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x－4y－6＝0之间的距离是2，所以＝2，解得m＝7或m＝－13(舍去)，即直线l1：x－2y＋7＝0，l2：x－2y－3＝0.设直线l1关于直线l2对称的直线方程为x－2y＋c＝0，则＝，
解得c＝－13或c＝7(舍去)，
故所求直线方程为x－2y－13＝0.
(2)设直线l1关于直线l3对称的直线为l4，
由解得
所以直线l4经过点(3，5)，
在l1上取一点A(－7，0)，它关于l3对称的点设为A′(a，b)，
则有解得
所以直线l4经过点(8，－5)，所以直线l4的斜率为＝－2，所以直线l4的方程为y－5＝－2(x－3)，即2x＋y－11＝0.
13．(5分)已知直线l1：(sin α)x－(cos α)y＋1＝0，l2：(sin α)x＋(cos α)y＋1＝0，l3：(cos α)x－(sin α)y＋1＝0，l4：(cos α)x＋(sin α)y＋1＝0.则下列说法中正确的有(　C　)
①存在实数α，使l1∥l2；
②存在实数α，使l2∥l3；
③对任意实数α，都有l1⊥l4；
④存在点到四条直线距离相等．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：当α＝0时，l1：y＝1，l2：y＝－1，故l1∥l2，①正确；由sin α·(－sin α)－cos2α＝－1≠0，故l2∥l3不成立，②错误；由sinα·cos α＋(－cos α)·sin α＝0恒成立，即l1⊥l4，③正确；由各直线方程知坐标原点(0，0)到各直线距离均为＝1，④正确．所以共有3个正确说法．故选C.
14．(5分)已知两条直线l1：(λ＋2)x＋(1－λ)y＋2λ－5＝0，l2：(k＋1)x＋(1－2k)y＋k－5＝0，且l1∥l2，当两条平行线间的距离最大时，λ＋k＝(　C　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：l1：λ(x－y＋2)＋2x＋y－5＝0，由解得故l1过定点A(1，3).l2：k(x－2y＋1)＋x＋y－5＝0，由解得故l2过定点B(3，2)，故l1，l2间距离的最大值为|AB|＝.此时，－＝－＝2，解得λ＝4，－＝2，解得k＝1，故λ＋k＝5.故选C.
15．(5分)动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻、想象力最丰富、艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是A(2，4)，军营所在位置为B(6，2)，河岸线所在直线的方程为x＋y－3＝0，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营(“将军饮马”)的总路程最短，则(　B　)
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是6x－y－8＝0
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是x－6y＋6＝0
D．“将军饮马”走过的总路程为5
解析：如图所示，由题意可知点A，B在直线x＋y－3＝0的同侧，设点B关于直线x＋y－3＝0的对称点为B1(a，b)，A，C，B1三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”，则解得
即B1(1，－3)，直线AB1的斜率为＝7，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是y＋3＝7(x－1)，即7x－y－10＝0，故A错误；联立解得
即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确；由B分析可知点C，直线CB的斜率为＝，所以直线CB的方程为y－2＝(x－6)，即x－7y＋8＝0，故C错误；|AC|＋|CB|＝|AC|＋|CB1|＝|AB1|＝＝5，即“将军饮马”走过的总路程为5，故D错误．故选B.