第八章　8.6　双曲线（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

8．6　双曲线
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、轴长、渐近线、离心率).
3．了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
(1)定义：一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
(2)等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点 F1(－c，0)， F2(c，0) F1(0，－c)， F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
a，b，c 的关系 c2＝a2＋b2
简 单 几 何 性 质 范围 x≤－a或x≥a， y∈R y≤－a或y≥a， x∈R
对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点
顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a)
轴长 实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
渐近线 ±x ±x
离心率 e＝，且e∈(1，＋∞)
教材拓展
1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
4．与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系方程可表示为－＝t(t≠0).
1．判断(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)
(3)双曲线－＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)
2．(人教A版选择性必修第一册P121T3改编)已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是(　C　)
A．－15
C．k<－1 D．k≠－1且k≠5
解析：若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k<－1.故选C.
3．(人教A版选择性必修第一册P127习题T3改编)双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±x．
解析：依题意知，双曲线9y2－16x2＝144即－＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3，所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝±x.
4．(人教A版选择性必修第一册P127习题T1改编)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝17．
解析：根据题意及双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
考点1 双曲线的定义
【例1】　(1)已知一个动圆P与两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和C2：(x－3)2＋y2＝9都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为(　A　)
A．x2－＝1(x≤－1)
B．x2－＝1
C．x2－＝1(x≥1)
D．x2－＝1(x≥1)
【解析】　由题意易知两圆圆心分别为C1(－3，0)，C2(3，0)，半径分别为r1＝1，r2＝3，设动圆P的圆心为P(x，y)，半径为r，根据题意有 |PC2|－|PC1|＝r2－r1＝2<|C1C2|，根据双曲线的定义知P的轨迹是以原点为中心，C1(－3，0)，C2(3，0)分别为左、右焦点，2为实轴长的双曲线的左支，故其轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).故选A.
(2)F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上的一点，PF1与双曲线C的左支交于点Q.已知△PQF2是等边三角形，则双曲线C的实轴长为(　C　)
A．1 B．
C．2 D．2
【解析】　由双曲线的对称性，可设点P在第一象限，如图．因为△PQF2是等边三角形，所以
|PQ|＝|PF2|＝|QF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，|QF2|－|QF1|＝2a，则|QF2|＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理可得cos ∠F1PF2＝＝＝，整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2＝6，解得a＝1，所以实轴长为2.故选C.
双曲线定义的应用策略
(1)利用双曲线的定义可判断平面内动点的轨迹是否为双曲线．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立所求与|PF1|·|PF2|的联系．
(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差要取绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在的坐标轴．
【对点训练1】　(1)设F1，F2是双曲线C：－＝1的左、右焦点，过F2的直线与C的右支交于P，Q两点，则|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝(　C　)
A．5 B．6
C．8 D．12
解析：双曲线C：－＝1，则a2＝4，a＝2，由双曲线的定义知|F1P|－|PF2|＝2a＝4，|F1Q|－|QF2|＝2a＝4，|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，所以|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|＋|F1Q|－(|PF2|＋|QF2|)＝|F1P|－|PF2|＋|F1Q|－|QF2|＝8.故选C.
(2)(2024·辽宁沈阳二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，渐近线方程为y＝±x，焦距为8，点A的坐标为(1，3)，点P为C的右支上的一点，则|PF|＋|PA|的最小值为(　C　)
A．4＋2 B．6
C．7 D．4＋
解析：如图所示，由题意知解得
记C的右焦点为F1，即F1(4，0)，由双曲线的定义，
得|PF|－|PF1|＝2a＝4，
即|PF|＝4＋|PF1|，
所以|PF|＋|PA|＝4＋|PA|＋|PF1|≥4＋|AF1|＝4＋＝7，当且仅当点P在线段AF1上时等号成立，所以|PF|＋|PA|的最小值为7.故选C.
考点2 双曲线的方程
【例2】　(1)与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且经过点(，6)的双曲线方程为(　D　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】　由题意设所求双曲线方程为x2－＝k(k≠0)，又该双曲线过点(，6)，∴2－＝k，解得k＝－2，∴所求双曲线方程为x2－＝－2，即－＝1.故选D.
(2)(2024·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　C　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
【解析】　方法一　根据题意，画出图形，如图，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，因为△PF1F2是面积为8的直角三角形，所以m2＋n2＝(2c)2＝4c2，mn＝8，因为直线PF2的斜率为2，所以tan ∠F1F2P＝＝2，所以m＝2n，联立解得所以2a＝m－n＝2，即a＝，所以4c2＝m2＋n2＝40，即c2＝10，所以b2＝c2－a2＝10－2＝8，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
方法二　由题可知，点P必落在第四象限，
∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝t，∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由kPF2＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝，因为∠F1PF2＝90°，所以kPF1·kPF2＝－1，求得kPF1＝－，即tan θ2＝，sin θ2＝，由正弦定理可得|PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶，则由|PF2|＝t得|PF1|＝2t，|F1F2|＝2c＝t，由S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2t×t＝8得t＝2，则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝，由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，a＝，b＝＝2，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－a2<λ【对点训练2】　(1)过点(2，3)且与椭圆5x2＋9y2＝45有相同焦点的双曲线的标准方程为(　A　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故c＝＝2，可得焦点坐标为(±2，0).设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，故解得故双曲线的标准方程为x2－＝1.故选A.
(2)(2024·天津南开区二模)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若|F1F2|＝|AF2|，则此双曲线的标准方程可能为(　C　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：因为|AF2|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，可得|AF1|＝2a＋2c，由于过F2的直线斜率为，所以在等腰三角形AF1F2中，tan ∠AF2F1＝－，则cos ∠AF2F1＝－，由余弦定理得cos ∠AF2F1＝－＝，化简得39c2－50ac－25a2＝0，可得3c＝5a，即a＝c，b＝c，可得a∶b＝3∶4，a2∶b2＝9∶16，所以此双曲线的标准方程可能为－＝1.故选C.
考点3 双曲线的几何性质
命题角度1　渐近线
【例3】　(1)(2024·河北廊坊模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：x－2y－5＝0，且双曲线的一个焦点在直线l上，则该双曲线的方程为－＝1．
【解析】　因为双曲线的一个焦点在直线l：x－2y－5＝0上，令y＝0，则x＝5，故双曲线的右焦点为(5，0)，所以c＝5，所以c2＝a2＋b2＝25①，又因为双曲线的一条渐近线平行于直线l：x－2y－5＝0，所以＝②，由①②解得b2＝5，a2＝20，所以双曲线的方程为－＝1.
(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线的垂线交双曲线的左支于点P，已知＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x．
【解析】　如图，依题意，＝，|PF2|－|PF1|＝2a，则|PF2|＝4a，|PF1|＝2a，令双曲线半焦距为c，双曲线－＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，则点F2(c，0)到渐近线的距离d＝＝b，有cos ∠PF2F1＝，在△PF1F2中，由余弦定理|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2||PF2|·cos ∠PF2F1＝|PF1|2，得(2c)2＋(4a)2－2×2c×4a×＝(2a)2，整理得c2＋3a2－4ab＝0，即4a2－4ab＋b2＝0，解得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
1．求双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令－＝0，即得两渐近线方程为±＝0.
2．在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
命题角度2　离心率
【例4】　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为．
【解析】　方法一　由题意知，|F1A|＝13，
|F2A|＝|AB|＝5，∴|F1A|－|F2A|＝2a＝8，解得a＝4.又x＝c时，y＝±，即|F2A|＝＝5，∴b2＝5a＝20，∴c2＝a2＋b2＝16＋20＝36，∴c＝6，∴双曲线C的离心率为e＝＝.
方法二　仿方法一，不妨令A在x轴上方，则A，由|F1A|＝13，|F2A|＝|AB|＝5，F1(－c，0)，得＝5，且(2c)2＋2＝132，又c2＝a2＋b2，解得a＝4，c＝6，∴双曲线的离心率e＝＝.
方法三　∵AB⊥x轴，|AB|＝10，直线AB过F2，∴由双曲线的对称性得|AF2|＝|BF2|＝5，不妨设A(c，5)，又F1(－c，0)，|AF1|＝13，∴(2c)2＋52＝132，解得c＝6，从而A(6，5)，代入双曲线的方程得－＝1，即－＝1，解得a＝4，∴双曲线的离心率e＝＝.
方法四　∵|AB|＝10，∴＝＝10，由方法三可知c＝6，∴a2＋5a－36＝0，解得a＝4，∴双曲线的离心率e＝＝.
(2)(2024·四川宜宾模拟)已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为(0，b).若|PF2|－|PQ|有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是(，＋∞)．
【解析】　如图所示，由双曲线的定义，P为双曲线右支上任意一点，可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF2|＝|PF1|－2a，则|PF2|－|PQ|＝|PF1|－|PQ|－2a≤|F1Q|－2a，当三点P，Q，F1共线时，取得最大值，由点P为双曲线右支上任意一点，可得<，所以e＝>，即双曲线的离心率的取值范围为(，＋∞).
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程(或不等式)，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
【对点训练3】　(1)(2024·四川雅安三模)设F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2的直线交双曲线右支于点M，交y轴于点N，且F2为线段MN的中点，并满足⊥，则双曲线C的离心率为(　A　)
A． B．＋1
C．2 D．＋1
解析：由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，设M(x，y)，因为F2为线段MN的中点，所以N(0，－y)，x＝2c，即M(2c，y)，则＝(3c，y)，＝(c，－y)，因为⊥，所以·＝3c2－y2＝0，即y2＝3c2，又M在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，所以－＝1，结合b2＝c2－a2整理得4c4－8c2a2＋a4＝0，所以4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝1＋或e2＝1－(舍去)，由e>1，解得e＝.故选A.
(2)(多选)(2024·江苏南通二模)已知双曲线C：－＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　AD　)
A．C的虚轴长为2
B．C的离心率为
C．|PF|的最小值为2
D．直线PF的斜率不可能等于－
解析：双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－＝－，解得b＝，C的虚轴长2b＝2，A正确；C的离心率e＝＝，B错误；点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离为＝，即|PF|的最小值为，C错误；直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不可能等于－，D正确．故选AD.
【例】　(2024·广东汕头模拟)已知点M(x0，y0)为双曲线－y2＝1上的动点．
(1)判断直线－y0y＝1与双曲线的公共点个数，并说明理由．
(2)(ⅰ)如果把(1)的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明．
(ⅱ)将双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为－＝0，请利用该方程证明如下命题：若T(m，n)为双曲线C上一点，直线l：－＝1与C的两条渐近线分别交于点P，Q，则T为线段PQ的中点．
【解】　(1)直线与双曲线只有1个公共点．理由：∵点M(x0，y0)在双曲线－y2＝1上，
∴－y＝1①，
由
得x2＋x0x－(1＋y)＝0，
将①式代入，整理得x2－2x0x＋x＝0，
∵Δ＝4x－4x＝0，∴该直线与双曲线有且只有1个公共点．
(2)(ⅰ)过双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点(x0，y0)的切线方程为－＝1.
(ⅱ)证明：当n＝0时，直线l的斜率不存在，此时T为双曲线与x轴的交点，
由对称性知，点T为线段PQ的中点，
当n≠0时，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(t，s)，
由得x2＋2mx－a2＝0，由－＝1将上式整理得x2－2mx＋a2＝0，∴t＝＝m，
又∵－＝1(注意：点N(t，s)在直线l上)，∴s＝＝n，则N(m，n)，
∴点T与点N重合，∴T为线段PQ的中点．
综上，T为线段PQ的中点．
本题考法新颖，不同于以往解析几何大题先求曲线方程的常规套路，而是要求证明一个二级结论，教学过程中师生都易关注常见结论，而忽视结论的由来和证明，导致学生出现“知其然，不知其所以然”的现象，本题提示我们在学习过程中要注重数学推导过程的学习．
圆锥曲线的第三定义
1．链接教材：(1)（人教A版选择性必修第一册P108例3）
如图，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程．
(2)（人教A版选择性必修第一册P121探究）
如图，点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，比较(1)和(2)的轨迹方程，你有什么发现？
2．圆锥曲线的第三定义
平面内的动点到两定点A1(－a，0)，A2(a，0)的斜率之积等于常数e2－1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线，其中两个定点为椭圆或双曲线的两个顶点．其中如果常数e2－1∈(0，＋∞)，轨迹为双曲线，如果常数e2－1∈(－1，0)，轨迹为椭圆．
3．圆锥曲线的第三定义的有关结论
(1)椭圆方程中有关－的经典结论
①AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，O为坐标原点，则有kOM·kAB＝－，即kAB＝－.
②椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，A1，A2为椭圆的长轴顶点，点P是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有kPA1·kPA2＝－.
③椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，B1，B2为椭圆的短轴顶点，点P是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有kPB1·kPB2＝－.
④椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A，B两点，点P是椭圆上异于A，B两点的任一点，则有kPA·kPB＝－.
(2)双曲线方程中有关的经典结论
①AB是双曲线－＝1(a>0，b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0，y0)为AB的中点，O为坐标原点，则有kOM·kAB＝，即kAB＝.
②双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，A1，A2为双曲线的实轴顶点，点P是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有kPA1·kPA2＝.
③双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，B1，B2为双曲线的虚轴端点，点P是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有kPB1·kPB2＝.
④双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线交双曲线于A，B两点，点P是双曲线上异于A，B两点的任一点，则有kPA·kPB＝.　
【典例】　(1)已知A，B分别是双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　D　)
A． B．2
C． D．
【解析】　设双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，点M在双曲线右支上，则∠ABM
＝120°，∠BAM＝∠BMA＝30°，如图，过点M作MH⊥x轴于点H，则∠MBH＝180°－∠ABM＝60°，所以直线AM和直线BM的斜率分别为和，由双曲线第三定义，得kMA·kMB＝×＝1＝e2－1，所以离心率e＝.故选D.
(2)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　B　)
A. B．
C． D．
【解析】　设点P坐标为(x0，y0)，则＋＝1，kPA2＝，kPA1＝，于是kPA1·kPA2＝＝＝－，故kPA1＝－·.因为kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈.故选B.
课时作业58
1．（5分）已知双曲线－＝1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，则实数a＝(　A　)
A．5　　　 B．6
C．8　　　 D．9
解析：由双曲线－＝1(a>4)的实轴长是虚轴长的3倍，可得＝3，可得a＋4＝9(a－4)，解得a＝5.故选A.
2．（5分）若方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是(　A　)
A．m<－1或m>0 B．m>0
C．m<－1 D．－1解析：若方程－＝1表示双曲线，则m(m＋1)>0，解得m<－1或m>0.故选A.
3．（5分）（2024·河北石家庄三模）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为(　B　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)，双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，由点到直线的距离公式可得＝＝b＝3，又双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，所以a＝，所以双曲线C的渐近线方程为3y±x＝0，即y＝±x.故选B.
4．（5分）（2024·福建莆田三模）已知圆C：(x－3)2＋y2＝16，A(－3，0)，P是圆C上的动点，线段PA的垂直平分线与直线PC（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是(　C　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．抛物线
解析：由题意可得圆心C(3，0)，半径r＝4.因为M在线段PA的垂直平分线上，所以|MA|＝|MP|，则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||＝|CP|＝4.因为|AC|＝6>|CP|，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线．故选C.
5．（5分）（2024·北京东城区二模）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)过点（3，），且一条渐近线的倾斜角为30°，则双曲线的方程为(　A　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1
C．－＝1 D．x2－4y2＝1
解析：由题意可知，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，设双曲线方程为－y2＝λ≠0，将（3，）代入，可得λ＝－（）2＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.故选A.
6．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，则cos ∠F1BF2＝(　B　)
A．　　 B．
C．　　 D．
解析：如图，由于|AF1|＝2|F1B|，|AB|＝|BF2|，且|BF2|－|BF1|＝2a，
|AF2|－|AF1|＝2a，设|BF1|＝m，则|AF1|＝2m，故|BF2|＝3m，所以3m－m＝2a，即m＝a，则|BF1|＝a，|AF1|＝2a，|BF2|＝3a，
|AF2|＝4a，在△BAF2中，由余弦定理得cos ∠F1BF2＝＝.故选B.
7．（5分）（2024·全国甲卷）已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　C　)
A．4 B．3
C．2 D．
解析：方法一　设双曲线的上、下两焦点分别为F1，F2，因为F1(0，4)，F2(0，－4)，点P(－6，4)在该双曲线上，所以|F1F2|＝8，|PF1|＝6，|PF2|＝＝10，所以e＝
＝＝2.故选C.
方法二　由题意得焦点在y轴上，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得从而e＝＝2.故选C.
方法三　设双曲线的上、下两焦点分别为F1，F2，则F1(0，4)，F2(0，－4)，又P(－6，4)，所以点P，F1纵坐标相同，所以|PF1|是通径的一半，即|PF1|＝＝6，因为|F1F2|＝8，所以c＝4，则16－a2＝6a，解得a＝2，则双曲线的离心率e＝＝＝2.故选C.
8．（5分）（2024·江西新余一模）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M为F1关于渐近线的对称点．若＝2，且△MF1F2的面积为8，则双曲线C的方程为(　C　)
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：如图，记F1M与渐近线bx＋ay＝0相交于点N，由题可知，ON为△MF1F2的中位线，且ON⊥F1M，所以F2M⊥F1M，因为焦点F1(－c，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离|F1N|＝＝b，所以|F1M|＝2b，|F2M|＝2|ON|＝2＝2a，则S△F1F2M＝|MF1||MF2|＝2ab＝8，又＝2，即b＝2a，联立解得所以双曲线C的方程为－＝1.故选C.
9．（7分）（多选）（2024·河北邯郸三模）已知双曲线C：－＝1，则(　AC　)
A．λ的取值范围为(－6，3)
B．C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C．C的焦距为6
D．C的离心率e的取值范围为(1，3)
解析：∵－＝1表示双曲线，∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正确；由A可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，∴C的焦点只能在x轴上，故B错误；设C的半焦距为c，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9，∴c＝3，即焦距为2c＝6，故C正确；离心率e＝，∵－6<λ<3，∴0<<3，∴e的取值范围是(1，＋∞)，故D错误．故选AC.
10．（7分）（多选）（2024·河北保定三模）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|＝3|PF2|，则(　ACD　)
A．|PQ|＝2a
B．＝－2
C．C的离心率为
D．直线PQ的斜率为±4
解析：如图，由4|PQ|＝3|PF2|，可设|PQ|＝3m，则|PF2|＝4m.因为PQ⊥PF2，所以|QF2|＝5m.设|PF1|＝x，
|QF1|＝y，则4m－x＝2a，5m－y＝2a，x＋y＝3m，解得m＝，则x＝，y＝，所以|PQ|＝2a，故A正确；＝2，故B错误；在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得＋＝4c2，则＝，从而C的离心率为，故C正确；又tan ∠PF1F2＝＝4，由对称性，得直线PQ的斜率为±4，故D正确．故选ACD.
11．（7分）（多选）（2024·山西吕梁三模）已知椭圆＋＝1(a1>b1>0)的离心率为e1，双曲线－＝1(a2>0，b2>0)的离心率为e2，两曲线有公共焦点F1，F2，P是椭圆与双曲线的一个公共点，∠F1PF2＝60°，以下结论正确的是(　BCD　)
A．a－a＝b－b
B．＋＝1
C．b＝3b
D．若e2∈[，2]，则e1∈
解析：如图，根据题意，设F1(－c，0)，F2(c，0)，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得
所以a－b＝a＋b，即a－a＝b＋b，所以A错误；不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得所以|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，又由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，可得4c2＝2a＋2a－（a－a）＝a＋3a，所以＋＝＋＝＝1，所以B正确；由a－c2＝3c2－3a，可得b＝3b，所以C正确；因为e2∈[，2]，所以∈，由＋＝1可得∈，所以e1∈，所以D正确．故选BCD.
12．（5分）（2024·安徽马鞍山三模）已知双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，若|AF1|＝8，|BF1|＝5，∠AF1B＝60°，则a＝．
解析：如图，依题意过点F2的直线与Γ的右支交于A，B两点，且|AF1|＝8，|BF1|＝5，∠AF1B＝60°，则|AF2|＝8－2a>0，|BF2|＝5－2a>0，所以013．（5分）（2024·湖南岳阳三模）已知双曲线C过点（1，），且渐近线方程为y＝±2x，则C的离心率为．
解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，依题有方程组无解；当双曲线的焦点在y轴上时，设其方程为－＝1(a>0，b>0)，依题有解得则e＝＝＝.
14．（5分）（2024·河南郑州三模）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点O重合），点P在双曲线C上，且＋＝2，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为2．
解析：如图，由e＝＝＝，可得a＝b，故双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，不妨设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，因为＋＝2，则点P为AB的中点，则P，，将其代入x2－y2＝a2中，整理得x1x2＝a2，又|OA|＝|x1|，|OB|＝|x2|，且OA⊥OB，则△AOB的面积为×|x1|×|x2|＝6，即a2＝6，解得a＝，故双曲线的实轴长为2.
15．（5分）（2024·山东日照一模）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A(－2，2)为椭圆C内一点，点Q(a，b)在双曲线E：－＝1上，若椭圆上存在一点P，使得|PA|＋|PF2|＝8，则a的取值范围是(　A　)
A．（＋1，5] B．[3，5]
C．（＋1，2] D．[，]
解析：点Q(a，b)在双曲线E：－＝1上，所以a2－b2＝4，所以椭圆左焦点F1坐标为(－2，0).因为|PA|＋|PF2|＝8，所以|PA|＋2a－|PF1|＝8，所以||PA|－|PF1||＝|8－2a|≤|AF1|＝2，所以3≤a≤5.因为a2－b2＝4，所以b2＝a2－4.点A(－2，2)为椭圆C内一点，所以＋<1，所以＋<1，所以a4－12a2＋16>0，所以a>＋1或016．（7分）（多选）已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过点Q作双曲线的切线交双曲线于点P（P在第一象限），点M在F1P的延长线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是(　ACD　)
A．kOP＝
B．||＝||
C．PQ为∠F1PF2的平分线
D．∠F2PM的平分线所在直线的倾斜角为
解析：由题意知点P为切点，且切线QP的斜率大于零，设切线QP的方程为x＝my＋(m>0)，联立消去x得y2＋y－＝0，由Δ＝＋4×＝0得m＝，所以切线QP的方程为x＝y＋，把m＝代入m2－y2＋y－＝0，解得y＝2，将y＝2代入切线方程得x＝，所以P（，2），所以kOP＝，故A正确；因为F1（－，0），F2（，0），所以||＝4，||＝2，故B错误；因为|F1Q|＝，|F2Q|＝，所以|F1Q|∶|F2Q|＝2∶1，所以|PF1|∶|PF2|＝|F1Q|∶|F2Q|，所以PQ为∠F1PF2的平分线，故C正确；因为kPQ＝，且PQ与∠F2PM的平分线所在直线垂直，所以∠F2PM的平分线所在直线的斜率为－，所以∠F2PM的平分线所在直线的倾斜角为，故D正确．故选ACD.
17．（12分）已知双曲线－＝1与直线l：y＝kx＋m(k≠±2)有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于A(x，0)，B(0，y)两点．当点M运动时，求点P(x，y)的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．如果推广到一般双曲线，能得到什么相应的结论？
解：联立方程可得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0，
因为双曲线与直线有唯一公共点且k≠±2，则Δ＝4k2m2－4(4－k2)·(－m2－16)＝0，
整理得m2＝4(k2－4)，可解得点M坐标为，即，其中km≠0，于是，过点M且与l垂直的直线方程为y＋＝－，可得A，
B，P，
即x＝－，y＝－，
则x2＝＝＝100＋＝100＋4y2，即－＝1，其中y≠0，
所以点P(x，y)的轨迹方程是－＝1(y≠0)，轨迹是焦点在x轴上，实轴长为20，虚轴长为10的双曲线（去掉两个顶点），
如果将此题推广到一般双曲线－＝1(a>0，b>0)，直线l：y＝kx＋m，其他条件不变，可得点P(x，y)的轨迹方程是－＝1(y≠0)，轨迹是焦点在x轴上，实轴长为，虚轴长为的双曲线（去掉两个顶点）.