第八章　8.7　抛物线（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲义（教师版）

8．7　抛物线
1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程．
2．掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.
3．掌握抛物线的简单应用．
1．抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
图形
开口 向右 向左 向上 向下
焦点
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
简单 几何 性质 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R y≥0， x∈R y≤0， x∈R
对称轴 x轴 y轴
顶点 原点O(0，0)
离心率 e＝1
教材拓展
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．
3．设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过焦点F的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线l的斜率为k，倾斜角为α，则有如下的焦点弦长公式：|AB|＝|x1－x2|，|AB|＝|y1－y2|，|AB|＝x1＋x2＋p，|AB|＝.
1．判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．(　×　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).(　×　)
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离．(　√　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的．(　√　)
2．（人教A版选择性必修第一册P133T2改编）已知抛物线C：y＝6x2，则C的准线方程为(　C　)
A．y＝－ B．y＝
C．y＝－ D．y＝
解析：抛物线C：y＝6x2的标准方程为x2＝y，所以其准线方程为y＝－.故选C.
3．（人教A版选择性必修第一册P133T3改编）已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是(　B　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－2x D．y2＝－4x
解析：由题意知p>0，则准线方程为x＝－，点M(2，y0)到焦点的距离等于其到准线的距离，即＝3，∴p＝2，则y2＝4x.故选B.
4．（人教A版选择性必修第一册P138练习T3改编）P为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p＝(　D　)
A．2 B．4
C．4或9 D．2或18
解析：由题意可得抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，设点P(x，y)，又点P到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以有解得或即p的值为18或2.故选D.
考点1 抛物线的定义与标准方程
【例1】　(1)（2024·北京海淀区三模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|＝6，则△MNF的面积为(　C　)
A．8 B．4
C．5 D．10
【解析】　如图，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，所以|MF|＝xM＋1＝6，故xM＝5，不妨设M在第一象限，故M（5，2），所以S△MNF＝×(5－0)×2＝5.故选C.
(2)（2024·陕西西安一模）平面上动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，则动点M满足的方程为y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0)．
【解析】　动点M到定点F(3，0)的距离比M到y轴的距离大3，当x≥0时，动点M到定点F(3，0)的距离等于到直线x＝－3的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则＝3，即p＝6，所以y2＝12x；当x<0时，y＝0满足条件．综上所述，动点M的轨迹方程为y2＝12x(x≥0)或y＝0(x<0).
1．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
2．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向．在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
【对点训练1】　(1)（2024·四川雅安三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的一条直径与拋物线x2＝2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p＝(　C　)
A． B．1
C．2 D．4
解析：因为圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的一条直径与抛物线x2＝2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2＝2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，如图，因为圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(2，－1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2，1)，即抛物线x2＝2py(p>0)经过点(2，1)，则4＝2p，解得p＝2.故选C.
(2)（2024·山西晋城一模）吉林雾凇大桥，位于吉林市松花江上，连接雾凇高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾凇大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为p米）的一部分，左、右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为a米（将每根吊索视为线段）.已知最中间的吊索的长度（即图中点A到桥面的距离）为b米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点B到桥面的距离）为(　A　)
A．米 B．米
C．米 D．米
解析：以A为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），依题意可得抛物线的方程为x2＝2py.因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为a米，则点B的横坐标为－14a，则yB＝＝＝，所以点B到桥面的距离为米．故选A.
考点2 抛物线的几何性质
命题角度1　焦半径和焦点弦
【例2】　（2024·河北石家庄三模）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，斜率为k(k>0)的直线过F与C交于P，Q两点，若|FP|－|FQ|＝2，则k的值为(　C　)
A．1 B．
C．2 D．3
【解析】　如图，由C：y2＝8x可得F(2，0)，则lPQ：y＝k(x－2)，k>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立得k2x2－ (4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＝16k4＋64k2＋64－16k4＝64k2＋64>0，x1＋x2＝＝4＋，x1x2＝4，由焦半径公式可得|FP|＝x1＋2，
|FQ|＝x2＋2，则|FP|－|FQ|＝x1－x2＝2，则有x1＝＝＋2＋，x2＝＝－＋2＋，x1x2＝－5＝4，解得k＝±2，又k>0，故k＝2.故选C.
与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ的直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).则有
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)焦点弦长：|AB|＝x1＋x2＋p＝.
通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长：2p.
(3)焦半径：|AF|＝，|BF|＝，＋＝.
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；以AF或BF为直径的圆与y轴相切．
命题角度2　与抛物线有关的最值问题
【例3】　（2024·湖南常德一模）已知抛物线方程为y2＝16x，焦点为F.圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，设P为抛物线上的一点，Q为圆上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　C　)
A．6　　 B．7
C．8　　 D．9
【解析】　由抛物线方程为y2＝16x，得焦点F(4，0)，准线方程为x＝－4，如图，过点P作准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|＝|PN|，所以|PF|＋|PQ|＝
|PN|＋|PQ|，当点Q固定不动时，P，Q，N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，得圆心M(5，1)，半径r＝1，所以
|QN|min＝|MN|－r＝8.故选C.
与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．
转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
【对点训练2】　(1)（2024·山东泰安二模）设抛物线x2＝4y的焦点为F，过抛物线上点P作准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝(　A　)
A． B．
C． D．
解析：如图所示，设M为准线与y轴的交点，因为∠PQF＝30°，且|PF|＝|PQ|，所以∠PFQ＝30°，∠QPF＝120°，因为FM∥PQ，所以∠QFM＝30°，而在Rt△QMF中，|QF|＝＝＝，所以|PF|＝|PQ|＝÷cos 30°＝÷＝.故选A.
(2)（2024·湖南益阳三模）已知M是抛物线y2＝4x上一点，圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x－1对称的圆为圆C2，N是圆C2上的一点，则|MN|的最小值为(　A　)
A．2－1 B．－1
C．－1 D．
解析：如图，圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心为C1(1，2)，半径r＝1，设C2(a，b)，则由对称性可知解得则C2(3，0)，所以圆C2：(x－3)2＋y2＝1，设M，则|MC2|＝＝，所以当y＝4，即y0＝±2时，|MC2|min＝2，所以|MN|的最小值是2－1.故选A.
考点3 抛物线的综合问题
【例4】　已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
【解】　设直线l的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，其中Δ＝144(1－2t)>0，则x1＋x2＝－，从而－＝，
得t＝－（满足Δ>0），所以直线l的方程为y＝x－.
(2)由＝3，可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0，所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
1．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p；若不过焦点，则可以选用一般弦长公式．
2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
【对点训练3】　过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
解：(1)抛物线C：x2＝2py(p＞0)的准线方程为y＝－，焦点为F.
∵当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝＝1.又F(0，1)，
易得直线l的斜率存在，
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
＝(x1＋2，y1－1)，＝(x2＋2，y2－1).
∵MA⊥MB，∴⊥，∴·＝0，∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，舍去，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
课时作业59
1．（5分）（2024·北京朝阳区二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P为C上一点．若|PF|＝8，则点P的横坐标为(　C　)
A．5　　　 B．6　　　
C．7　　　 D．8
解析：由题意知，F(1，0)，由抛物线的定义知，|PF|＝xP＋1＝8，解得xP＝7，即点P的横坐标为7.故选C.
2．（5分）（2024·江西新余二模）已知点Q(2，－2)在抛物线C：y2＝2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF（O为坐标原点）的面积是(　A　)
A． B．1
C．2 D．4
解析：∵点Q(2，－2)在抛物线C：y2＝2px上，F为抛物线C的焦点，∴4＝4p，解得p＝1，故抛物线C的方程为y2＝2x，F，则△OQF的面积S△OQF＝××2＝.故选A.
3．（5分）（2024·湖南衡阳三模）已知点F(2，0)，动圆P过点F，且与x＝－2相切，记动圆圆心点P的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为(　C　)
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝8x D．y2＝12x
解析：由题意知，点P到点F的距离和它到直线x＝－2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线，所以Γ的方程为y2＝8x.故选C.
4．（5分）（2024·北京西城区三模）点F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝(　C　)
A．2 B．2
C．3 D．4
解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由y2＝2x，得p＝1，所以F，准线方程为x＝－，因为＋＋＝0，所以F为△ABC的重心，所以＝，所以x1＋x2＋x3＝，所以||＋||＋||＝x1＋＋x2＋＋x3＋＝x1＋x2＋x3＋＝＋＝3.故选C.
5．（5分）已知直线y＝k(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k(x－2)与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|－2|MN|，则(　A　)
A．λ＝－12 B．－12<λ<0
C．λ＝－16 D．λ<－16
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝＝2＋.因为直线y＝k(x－1)经过抛物线C的焦点，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋.同理可得|MN|＝8＋，所以λ＝4－16＝－12.故选A.
6．（6分）（多选）（2025·八省联考）已知F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则(　ABC　)
A．p＝4
B．|MF|≥|OF|
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
解析：因为F(2，0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，所以＝2，解得p＝4，A正确；设点M(x0，y0)在抛物线y2＝8x上，所以x0≥0，所以|MF|＝x0＋≥＝|OF|，B正确；因为以M为圆心且过F的圆的半径为|MF|＝x0＋2，|MF|等于M到C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C正确；当∠OFM＝120°时，x0>2，由抛物线的对称性可设M在第一象限，则＝tan 60°＝，且y＝8x0，y0>0，所以y－8y0－16＝0，解得y0＝4或y0＝－（舍去），所以S△OFM＝|OF|×y0＝4，D错误．故选ABC.
7．（6分）（多选）（2024·湖北襄阳二模）抛物线C：x2＝2py的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到(t，1)时，|PF|＝2，直线l与抛物线相交于A，B两点，下列结论正确的是(　BC　)
A．抛物线的方程为x2＝8y
B．抛物线的准线方程为y＝－1
C．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与x轴相切
D．|AF|＋|BF|≥4
解析：当P运动到(t，1)时，|PF|＝1＋＝2，故p＝2，即抛物线的方程为x2＝4y，故A错误；由x2＝4y，得抛物线的准线方程为y＝－1，故B正确；
如图，当直线l过焦点F时，设A(x0，y0)，则|FA|＝y0＋＝y0＋1，故以AF为直径的圆的半径为，又F(0，1)，故以AF为直径的圆的圆心坐标为，圆心到x轴的距离与该圆半径相等，即该圆与x轴相切，故C正确；由题意得直线l的斜率存在，设l的方程为y＝kx＋m，联立整理得x2－4kx－4m＝0，Δ＝(－4k)2＋16m>0，即k2＋m>0，所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4m，所以yA＋yB＝k(xA＋xB)＋2m＝4k2＋2m，所以|AF|＋|BF|＝yA＋1＋yB＋1＝yA＋yB＋2＝4k2＋2m＋2，不能确定什么时候最小，故D错误．故选BC.
8．（6分）（多选）（2024·广东汕头三模）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，动点P在C上，若定点M（2，）满足|MF|＝2|OF|，则(　BD　)
A．C的准线方程为x＝－2
B．△PMF周长的最小值为5
C．四边形OPMF可能是平行四边形
D．·的最小值为－3
解析：因为抛物线C的焦点为F，准线方程为x＝－，又点M（2，）满足|MF|＝2|OF|，所以＝2×，整理得3p2＋8p－28＝0，解得p＝2或p＝－（舍去），即抛物线C：y2＝4x，所以准线方程为x＝－1，焦点为F(1，0)，故A错误；
如图，过点P作准线x＝－1的垂线，垂足为H，由抛物线的定义可知|PH|＝|PF|，则△PMF的周长C△PMF＝|PM|＋|MF|＋|PF|＝|PM|＋|MF|＋|PH|＝|PM|＋|PH|＋2≥|MH|＋2＝5，当且仅当M，P，H三点共线时取等号，所以△PMF周长的最小值为5，故B正确；过点M作OF的平行线，交抛物线于点P，即解得即P，则|MP|＝2－＝≠|OF|，所以四边形OPMF不可能是平行四边形，故C错误；设P，则＝（1，），＝，可得·＝＋y＝（y＋2）2－3≥－3，当且仅当y＝－2时，等号成立，所以·的最小值为－3，故D正确．故选BD.
9．（5分）（2024·湖南长沙二模）已知圆N：x2＋y2－6y＋5＝0，直线y＝－1，圆M与圆N外切，且与直线y＝－1相切，则点M的轨迹方程为x2＝12y．
解析：如图，由题意，得直线l：y＝－1，且圆N：x2＋(y－3)2＝4，设圆M半径为r，则点M到l′：y＝－3与点M到点N的距离相等，都是r＋2，故点M的轨迹是以N为焦点，以l′为准线的抛物线，故方程为x2＝12y.
10．（5分）（2024·天津卷）圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为．
解析：圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F(1，0)，故＝1，即p＝2，由可得x2＋2x－24＝0，解得x＝4或x＝－6（舍），故A(4，±4)，故直线AF：y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，故原点到直线AF的距离为d＝＝.
11．（15分）已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F到顶点的距离为1.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且＝μ，μ∈[4，9]，求直线l在x轴上的截距的取值范围．
解：(1)由题意得＝1，所以p＝2，从而抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)由(1)知F(0，1)，且l必然存在斜率，故可设l：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得x2－4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，则由＝μ得
－x1＝μx2，从而k2＝－，
令f(μ)＝－，由于μ∈[4，9]，
则f′(μ)＝＝>0，
所以f(μ)在[4，9]上单调递增，从而f(μ)∈，即k∈∪，
所以直线l在 x轴上的截距－的取值范围为∪.
12．（16分）已知曲线C在y轴右侧，C上的任意点到点F(1，0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若曲线C上总存在不同两点关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围．
解：(1)因为C上的任意点到点F(1，0)的距离减去它到y轴的距离的差都是1，所以C上的任意点到点F(1，0)的距离等于它到直线x＝－1的距离，所以曲线C是以F(1，0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线．
因为曲线C在y轴右侧，所以曲线C的方程是y2＝4x(x>0).
(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，所以kMN＝－1.设直线MN的方程为y＝－x＋n，代入y2＝4x(x>0)，得y2＋4y－4n＝0(y≠0).
因为直线MN与C有两个不同交点，所以42－4×1×(－4n)＝16(n＋1)>0，且n≠0，解得n>－1且n≠0.
所以y1＋y2＝－4，y1y2＝－4n，x1＋x2＝(n－y1)＋(n－y2)＝2n－(y1＋y2)＝2n＋4，所以MN的中点坐标为(2＋n，－2).
又MN的中点在直线y＝x＋m上，所以－2＝2＋m＋n，即m＝－4－n，
因为n>－1且n≠0，所以m<－3且m≠－4.所以m的取值范围是(－∞，－4)∪(－4，－3).
13．（5分）（2024·北京顺义区二模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，直线PF与l相交于点Q，与y轴相交于点M.若F为PQ的中点，则|PM|＝(　B　)
A．4 B．6
C．4 D．8
解析：由题意得F(1，0)，准线l的方程为x＝－1，如图，过点P作PP′⊥l，垂足为P′，则PP′∥OF，因为F为PQ的中点，所以＝2，所以|PP′|＝4，所以|PF|＝|PP′|＝4＝xP＋1，所以xP＝3，则y＝12，根据抛物线的对称性，不妨设P在第一象限，则P（3，2），则kPF＝＝，所以直线PF的方程为y＝(x－1)，令x＝0，则y＝－，即M（0，－），所以|PM|＝＝6.故选B.
14．（5分）（2024·山西运城三模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，动点M在C上，点B与点A(1，－2)关于直线l：y＝x－1对称，则的最小值为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：依题意，F(1，0)，A(1，－2)，设B(m，n)，则解得即B(－1，0)，点B为C的准线与x轴的交点，当点M在原点时，＝1，由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作MM′垂直于C的准线于点M′，
如图，设∠MBF＝θ，θ∈0，，
由抛物线的定义得|MM′|＝|MF|，于是＝＝cos θ，当直线MB与C相切时，θ最大，cos θ最小，取得最小值，此时直线BM的斜率为正，设直线BM的方程为x＝my－1(m>0)，由消去x得y2－4my＋4＝0，则Δ＝16m2－16＝0，得m＝1，直线BM的斜率为1，倾斜角为，于是θmax＝，(cos θ)min＝，所以的最小值为.故选A.
15．（6分）（多选）（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B.则(　ABD　)
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
解析：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，是x2＋(y－4)2＝1的一条切线，故A正确；⊙A的圆心为A(0，4)，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PQ|＝＝＝，故B正确；当|PB|＝2时，P(1，2)或P(1，－2)，对应的B(－1，2)或B(－1，－2)，当P(1，2)时，|AB|＝|PA|，|PB|＝2，PA与AB并不垂直，故C错误；焦点F(1，0)，|PB|＝|PF|，则|PA|＝|PB|等价于P在AF的中垂线上，该直线的方程为y＝x＋，它与抛物线有两个交点，故D正确．故选ABD.