湖南省长沙市长雅中学2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷
1．（2025九上·长沙开学考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、是分式方程，故该选项不符合题意；
C、是二元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，整理得：，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程 。根据一元二次方程的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2025九上·长沙开学考）在战“疫”诗歌创作大赛中，有7名同学进入了决赛，他们的最终成绩均不同.小弘同学想知道自己能否进入前3名，除要了解自己的成绩外，还要了解这7名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
【答案】A
【知识点】中位数；常用统计量的选择
【解析】【解答】解：要想知道自己是否进入前3名，和中位数相比，7个人即第4名同学的成绩相比.
故答案为：A.
【分析】中位数所反映的是某种社会现象的一般水平，它适用于总体各单位集中于中间某一部位的情况.
3．（2025九上·长沙开学考）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数是正比例函数，且随的增大而增大，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一次函数性质与系数的关系即可求出答案.
4．（2025九上·长沙开学考）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．（2025九上·长沙开学考）如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴是菱形，故选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，故选项不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，故选项不符合题意，
D、∵四边形是平行四边形，，
∴是矩形，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查菱形的判定定理和矩形的判定定理，逐一分析选项：选项A结合一组邻边相等的平行四边形可证菱形；选项B结合对角线垂直的平行四边形是菱形可证；选项C结合一组邻边相等的平行四边形是菱形可证；选项D可证矩形，不符合题意.
6．（2025九上·长沙开学考）已知关于x的方程2x2＋x＋a＝0有一个根为1，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x1，
由根与系数的关系可得：，1+x1=，解得x1＝．
故选D．
【分析】
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：则x1＋x2＝，x1 x2＝．已知一个根，设另一个根为x1，直接代入韦达定理的和的公式，即可快速求解另一根.
7．（2025九上·长沙开学考）已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意，则
∵，
∴对称轴是：，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=-1，开口向下，然后根据距离对称轴越远的点对应的函数值越小进行比较.
8．（2025九上·长沙开学考）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】
解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C.
【分析】
本题考查翻折变换（折叠问题）和矩形的性质．由折叠得△BEF≌△BAE，故AE=EF，AB=BF；先通过勾股定理求出BD=10，进而得FD=4，再设DE=x，根据勾股定理列方程求解.
9．（2025九上·长沙开学考）如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：依题意得把两条路分别进行平移，
长为的路移动到上方，长为的路移动到左方，
∴草坪就变成了边长为和的长方形，
∴，
故选：C．
【分析】
本题考查了图形的平移变换、矩形面积公式以及二次函数解析式的应用.将两条小路通过平移，转化为一个新的矩形，新矩形的长和宽分别是原矩形长和宽减去小路宽度x，再根据矩形面积公式列出函数关系式即可.
10．（2025九上·长沙开学考）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，y随x增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，m的取值范围是：或.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2m，与y轴的交点为（0，-3），然后分m>0、m<0确定出函数的增减性，据此解答.
11．（2025九上·长沙开学考）在函数 中，自变量x的取值范围是 .
【答案】x≥ 4且x≠0
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x＋4≥0且x≠0，
解得x≥ 4且x≠0.
故答案为：x≥ 4且x≠0.
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得x＋4≥0且x≠0，求解即可.
12．（2025九上·长沙开学考）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 分．
【答案】83
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：（分）．
故小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义计算即可求出答案.
13．（2025九上·长沙开学考）一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是 ．
【答案】14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
【分析】用因式分解法求出方程的两个根，由三角形的三边关系，2为底，6为腰，可以求出三角形的周长。
14．（2025九上·长沙开学考）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．
【答案】
【知识点】点到直线的距离；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质与判定和点到直线的距离，过点P作PQ⊥AB，利用正方形对角线平分角的性质，证明四边形AEPQ是正方形，从而得出PQ=PE=3．
15．（2025九上·长沙开学考）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可得：两直线的交点横坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求关于x的不等式的解集，就是求直线在直线的上方部分所对应的自变量的范围，结合交点横坐标即可得出答案.
16．（2025九上·长沙开学考）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【分析】由勾股定理求出BC的长，根据有三个内角是直角的四边形是矩形，可得四边形DMAN是矩形，由矩形的对角线相等可得AD=MN，根据垂线段最短得当AD⊥BC时，AD最小，进而根据等面积法建立方程可求出AD的值，从而得出答案.
17．（2025九上·长沙开学考）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，考查了绝对值的化简、零次幂的运算（任何非零数的0次幂都等于1）、二次根式的化简、负整数次幂的运算（一个数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数），分别进行运算后再进行加减运算，即可求解．
18．（2025九上·长沙开学考）解下列方程
（1）2x2+3x+1=0
（2）4（x+3）2-9（x-3）2=0．
【答案】解：（1）（2x+1）（x+1）＝0，2x+1＝0或x+1＝0，所以x1，x2＝﹣1；
（2）[2（x+3）﹣3（x﹣3）][[2（x+3）+3（x﹣3）]＝0，2（x+3）﹣3（x﹣3）＝0或2（x+3）+3（x﹣3）＝0，所以x1＝15，x2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程（包括十字相乘法、平方差公式）.（1）利用因式分解法把原方程转化为2x+1＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，原方程转化为两个一次因式的积的形式，再令每个因式为0，解一元一次方程得到原方程的解即可.
19．（2025九上·长沙开学考）如图，已知直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】解：（1）直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7联立得，，解得，
∴交点为A（2，5），
令y＝0，则2x+1＝0，﹣x+7＝0，
解得x＝﹣0.5，x＝7，
∴点B、C的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；
（2）BC＝7﹣（﹣0.5）＝7.5，
∴S△ABC＝×7.5×5＝．
故答案为(1) A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）； (2).
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的交点坐标、与x轴的交点坐标以及三角形面积公式.（1）联立两直线解析式求出交点A，分别令两直线y=0求与x轴的交点B、C；
（2）先求BC的长度，再求点A到BC的距离（即高），最后用三角形面积公式计算．
20．（2025九上·长沙开学考）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
（1）直接写出m的取值范围
（2）若满足，求m的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，且，∴
整理得，
解得：，
∵由（1）知，
∴
检验：当时，，即；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
解：（1）∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，
即；
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系，正确掌握，是解题的关键．
（1）由方程有两个不相等的实数根，得，解不等式即可；
（2）由韦达定理，得和，因为，代入得，解得，，结合，进行舍解即可作答；
（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，
即；
（2）解：∵，且，
∴
整理得，
解得：，
∵由（1）知，
∴
检验：当时，，即；
21．（2025九上·长沙开学考）某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题：
一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 90
二班 87.6 80
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）根据表格填空：___________，___________，___________；
【答案】（1）解：（人），即C等级的人数为2，
补全条形统计图如下：
（2）；；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：一班平均数为（分），
；
25名同学参加比赛，
中位数为第13名同学的成绩，
由条形统计图可知，一班第13名同学的成绩在级，
一班中位数是分，
；
由扇形统计图可知，二班成绩在级的同学最多，
二班的众数为分，
，
故答案为：；；．
【分析】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数以及众数的计算与意义.
（1）根据总人数减去已知等级的人数，求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
（2）平均数用总分除以总人数计算；中位数找排序后第13个数的等级；众数看扇形统计图中占比最大的等级.
（1）解：（人），即C等级的人数为2，
补全条形统计图如下：
（2）解：一班平均数为（分），
；
25名同学参加比赛，
中位数为第13名同学的成绩，
由条形统计图可知，一班第13名同学的成绩在级，
一班中位数是分，
；
由扇形统计图可知，二班成绩在级的同学最多，
二班的众数为分，
，
故答案为：；；．
22．（2025九上·长沙开学考）我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利1950元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利1950元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的增长率模型和利润问题的方程建立.（1）设月平均增长率为x，根据“一月份销量×（1+x）2 =三月份销量”，列方程求解得增长率；
（2）设降价m元，根据“（售价-成本-降价）×（原销量+增加的销量）=总利润”，列方程求解得降价金额．
（1）解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利1950元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利1950元．
23．（2025九上·长沙开学考）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，点E、F分别在、上，，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若点E是的中点，，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，，
，
∵点E是的中点，
，
，
∴在中，，即，
，，
，，
．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定（一组邻边相等的平行四边形是菱形）、菱形的性质（对角线互相垂直平分）、直角三角形斜边中线定理、勾股定理以及菱形面积公式（对角线乘积的一半）.（1）由AE=AF且AC⊥EF得角相等，结合平行四边形对边平行得角相等，进而证邻边相等，判定菱形；
（2）利用菱形对角线垂直、直角三角形斜边中线定理得AB长度，再结合勾股定理和求对角线长度，最后用面积公式计算.
（1）解：，，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，，
，
∵点E是的中点，
，
，
∴在中，，即，
，，
，，
．
24．（2025九上·长沙开学考）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点．
已知函数(m为常数)．
（1）当=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
【答案】（1）当=0时，该函数的零点为和．
（2）令y=0，得△=（-2m）2-4[-2(m+3)]=4(m+1)2+20＞0
∴无论取何值，方程x2-2mx-2(m+3)=0
总有两个不相等的实数根．
即无论取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有x1+x2=2m，x1x2=-2(m+3)，
由，解得m=1．
∴函数的解析式为y=x2-2x-8．
令y=0，解得x1=-2，x2=4，
∴A（-2，0），B(4，0)
作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线的交点就是满足条件的M点．
易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）
设直线AB’的解析式为，则
，解得
∴直线AB’的解析式为，
即AM的解析式为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题考查函数的零点定义、二次函数的判别式、根与系数的关系和最短路径问题（轴对称）.（1）将m=0代入函数，令y=0，解一元二次方程的零点；
（2）令y=0，通过判别式>0，证明方程总有两个不等实根，即函数总有两个零点；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，作B关于直线y=x-10的对称点B'，连接AB'，与直线的交点即为M，进而求直线AM的函数解析式.
25．（2025九上·长沙开学考）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式和直线的解析式；
（2）点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即
点在轴上，令可得，
点的坐标为，
可设直线解析式为，
把点代入可得，解得，
直线解析式为；
（2）解：设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
点在第一象限，
点在点的上方，
，
当时，有最大值；
（3）解：存在满足条件的点，理由如下：
如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，
设点坐标为，则点坐标为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题考查了二次函数解析式得求法（顶点式）、一次函数解析式得求法（待定系数法）、二次函数得最值、以及三角形高的存在性问题.（1）用顶点式设二次函数解析式，代入点B求出系数；代入B、D即可用待定系数法求出直线BD解析式；
（2）设出P点横坐标为x，表示出P、M的纵坐标，用PM=M的纵坐标-P的纵坐标构建二次函数，求其最大值.
（3）过Q作轴，交于点G，过Q和于H，可设出Q点坐标，利用绝对值表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即
点在轴上，令可得，
点的坐标为，
可设直线解析式为，
把点代入可得，解得，
直线解析式为；
（2）解：设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
点在第一象限，
点在点的上方，
，
当时，有最大值；
（3）解：存在满足条件的点，理由如下：
如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，
设点坐标为，则点坐标为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
1 / 1湖南省长沙市长雅中学2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷
1．（2025九上·长沙开学考）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·长沙开学考）在战“疫”诗歌创作大赛中，有7名同学进入了决赛，他们的最终成绩均不同.小弘同学想知道自己能否进入前3名，除要了解自己的成绩外，还要了解这7名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
3．（2025九上·长沙开学考）已知函数是正比例函数，且随的增大而增大，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·长沙开学考）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
5．（2025九上·长沙开学考）如图，的对角线与相交于点O，添加下列条件不能证明是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·长沙开学考）已知关于x的方程2x2＋x＋a＝0有一个根为1，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九上·长沙开学考）已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九上·长沙开学考）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（ ）
A．3 B． C．5 D．
9．（2025九上·长沙开学考）如图，一矩形场地，两边长分别为、，现欲在矩形内修两条宽为的小路，剩余部分的面积是，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·长沙开学考）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
11．（2025九上·长沙开学考）在函数 中，自变量x的取值范围是 .
12．（2025九上·长沙开学考）小明参加“建团百年，我为团旗添光彩”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项分别是分、分、分．若将三项得分依次按的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 分．
13．（2025九上·长沙开学考）一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程 的两根，则该等腰三角形的周长是 ．
14．（2025九上·长沙开学考）如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为 ．
15．（2025九上·长沙开学考）直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ．
16．（2025九上·长沙开学考）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为 ．
17．（2025九上·长沙开学考）计算：
18．（2025九上·长沙开学考）解下列方程
（1）2x2+3x+1=0
（2）4（x+3）2-9（x-3）2=0．
19．（2025九上·长沙开学考）如图，已知直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A．
（1）求A、B、C三点坐标；
（2）求△ABC的面积．
20．（2025九上·长沙开学考）已知、是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根
（1）直接写出m的取值范围
（2）若满足，求m的值．
21．（2025九上·长沙开学考）某校组织了一次环保知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分别为、、、四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图，试根据以上提供的信息解答下列问题：
一班竞赛成绩统计图 二班竞赛成绩统计图
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
一班 90
二班 87.6 80
（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整；
（2）根据表格填空：___________，___________，___________；
22．（2025九上·长沙开学考）我市某超市于今年年初以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售250件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到360件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加6件，当商品降价多少元时，商场获利1950元？
23．（2025九上·长沙开学考）如图，四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，点E、F分别在、上，，连接，且．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若点E是的中点，，，求四边形的面积．
24．（2025九上·长沙开学考）使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点．
已知函数(m为常数)．
（1）当=0时，求该函数的零点；
（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；
（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分
别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．
25．（2025九上·长沙开学考）如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，顶点的坐标为．
（1）求二次函数的解析式和直线的解析式；
（2）点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，当点在第一象限时，求线段长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于点、的点，使中边上的高为？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故该选项符合题意；
B、是分式方程，故该选项不符合题意；
C、是二元二次方程，故该选项不符合题意；
D、，整理得：，是一元一次方程，故该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程 。根据一元二次方程的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】A
【知识点】中位数；常用统计量的选择
【解析】【解答】解：要想知道自己是否进入前3名，和中位数相比，7个人即第4名同学的成绩相比.
故答案为：A.
【分析】中位数所反映的是某种社会现象的一般水平，它适用于总体各单位集中于中间某一部位的情况.
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数是正比例函数，且随的增大而增大，
∴，
∴，
故答案为：A
【分析】根据一次函数性质与系数的关系即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴是菱形，故选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，故选项不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，，
∴是菱形，故选项不符合题意，
D、∵四边形是平行四边形，，
∴是矩形，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题考查菱形的判定定理和矩形的判定定理，逐一分析选项：选项A结合一组邻边相等的平行四边形可证菱形；选项B结合对角线垂直的平行四边形是菱形可证；选项C结合一组邻边相等的平行四边形是菱形可证；选项D可证矩形，不符合题意.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的另一根为x1，
由根与系数的关系可得：，1+x1=，解得x1＝．
故选D．
【分析】
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：则x1＋x2＝，x1 x2＝．已知一个根，设另一个根为x1，直接代入韦达定理的和的公式，即可快速求解另一根.
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意，则
∵，
∴对称轴是：，
∵，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：A.
【分析】根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=-1，开口向下，然后根据距离对称轴越远的点对应的函数值越小进行比较.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】
解：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C.
【分析】
本题考查翻折变换（折叠问题）和矩形的性质．由折叠得△BEF≌△BAE，故AE=EF，AB=BF；先通过勾股定理求出BD=10，进而得FD=4，再设DE=x，根据勾股定理列方程求解.
9．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：依题意得把两条路分别进行平移，
长为的路移动到上方，长为的路移动到左方，
∴草坪就变成了边长为和的长方形，
∴，
故选：C．
【分析】
本题考查了图形的平移变换、矩形面积公式以及二次函数解析式的应用.将两条小路通过平移，转化为一个新的矩形，新矩形的长和宽分别是原矩形长和宽减去小路宽度x，再根据矩形面积公式列出函数关系式即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，y随x增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，m的取值范围是：或.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线x=2m，与y轴的交点为（0，-3），然后分m>0、m<0确定出函数的增减性，据此解答.
11．【答案】x≥ 4且x≠0
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，x＋4≥0且x≠0，
解得x≥ 4且x≠0.
故答案为：x≥ 4且x≠0.
【分析】根据分式以及二次根式有意义的条件可得x＋4≥0且x≠0，求解即可.
12．【答案】83
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：根据题意得：（分）．
故小明的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
【分析】根据加权平均数的定义计算即可求出答案.
13．【答案】14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解： ，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
【分析】用因式分解法求出方程的两个根，由三角形的三边关系，2为底，6为腰，可以求出三角形的周长。
14．【答案】
【知识点】点到直线的距离；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于，
∵点是正方形的对角线上的一点，于点
∴四边形是矩形，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴四边形是正方形，
∴，
即点到直线的距离为
故答案为：．
【分析】
本题考查正方形的性质与判定和点到直线的距离，过点P作PQ⊥AB，利用正方形对角线平分角的性质，证明四边形AEPQ是正方形，从而得出PQ=PE=3．
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图可得：两直线的交点横坐标为，
∴不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】从图象角度看，求关于x的不等式的解集，就是求直线在直线的上方部分所对应的自变量的范围，结合交点横坐标即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，且，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【分析】由勾股定理求出BC的长，根据有三个内角是直角的四边形是矩形，可得四边形DMAN是矩形，由矩形的对角线相等可得AD=MN，根据垂线段最短得当AD⊥BC时，AD最小，进而根据等面积法建立方程可求出AD的值，从而得出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，考查了绝对值的化简、零次幂的运算（任何非零数的0次幂都等于1）、二次根式的化简、负整数次幂的运算（一个数的负整数次幂等于这个数的正整数次幂的倒数），分别进行运算后再进行加减运算，即可求解．
18．【答案】解：（1）（2x+1）（x+1）＝0，2x+1＝0或x+1＝0，所以x1，x2＝﹣1；
（2）[2（x+3）﹣3（x﹣3）][[2（x+3）+3（x﹣3）]＝0，2（x+3）﹣3（x﹣3）＝0或2（x+3）+3（x﹣3）＝0，所以x1＝15，x2．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程（包括十字相乘法、平方差公式）.（1）利用因式分解法把原方程转化为2x+1＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，原方程转化为两个一次因式的积的形式，再令每个因式为0，解一元一次方程得到原方程的解即可.
19．【答案】解：（1）直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7联立得，，解得，
∴交点为A（2，5），
令y＝0，则2x+1＝0，﹣x+7＝0，
解得x＝﹣0.5，x＝7，
∴点B、C的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；
（2）BC＝7﹣（﹣0.5）＝7.5，
∴S△ABC＝×7.5×5＝．
故答案为(1) A（2，5），B（﹣0.5，0），C（7，0）； (2).
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】本题考查一次函数的交点坐标、与x轴的交点坐标以及三角形面积公式.（1）联立两直线解析式求出交点A，分别令两直线y=0求与x轴的交点B、C；
（2）先求BC的长度，再求点A到BC的距离（即高），最后用三角形面积公式计算．
20．【答案】（1）
（2）解：∵，且，∴
整理得，
解得：，
∵由（1）知，
∴
检验：当时，，即；
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】
解：（1）∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，
即；
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系，正确掌握，是解题的关键．
（1）由方程有两个不相等的实数根，得，解不等式即可；
（2）由韦达定理，得和，因为，代入得，解得，，结合，进行舍解即可作答；
（1）解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根
∴，
即；
（2）解：∵，且，
∴
整理得，
解得：，
∵由（1）知，
∴
检验：当时，，即；
21．【答案】（1）解：（人），即C等级的人数为2，
补全条形统计图如下：
（2）；；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：一班平均数为（分），
；
25名同学参加比赛，
中位数为第13名同学的成绩，
由条形统计图可知，一班第13名同学的成绩在级，
一班中位数是分，
；
由扇形统计图可知，二班成绩在级的同学最多，
二班的众数为分，
，
故答案为：；；．
【分析】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、平均数、中位数以及众数的计算与意义.
（1）根据总人数减去已知等级的人数，求出C等级的人数，补全条形统计图即可；
（2）平均数用总分除以总人数计算；中位数找排序后第13个数的等级；众数看扇形统计图中占比最大的等级.
（1）解：（人），即C等级的人数为2，
补全条形统计图如下：
（2）解：一班平均数为（分），
；
25名同学参加比赛，
中位数为第13名同学的成绩，
由条形统计图可知，一班第13名同学的成绩在级，
一班中位数是分，
；
由扇形统计图可知，二班成绩在级的同学最多，
二班的众数为分，
，
故答案为：；；．
22．【答案】（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利1950元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利1950元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的增长率模型和利润问题的方程建立.（1）设月平均增长率为x，根据“一月份销量×（1+x）2 =三月份销量”，列方程求解得增长率；
（2）设降价m元，根据“（售价-成本-降价）×（原销量+增加的销量）=总利润”，列方程求解得降价金额．
（1）解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，
根据题意可得：，
解得：或（不合题意舍去）．
答：二、三这两个月的月平均增长率为；
（2）解：设当商品降价m元时，商品获利1950元，
根据题意可得：，
解得：（不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商品获利1950元．
23．【答案】（1）解：，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，，，，
，
∵点E是的中点，
，
，
∴在中，，即，
，，
，，
．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定（一组邻边相等的平行四边形是菱形）、菱形的性质（对角线互相垂直平分）、直角三角形斜边中线定理、勾股定理以及菱形面积公式（对角线乘积的一半）.（1）由AE=AF且AC⊥EF得角相等，结合平行四边形对边平行得角相等，进而证邻边相等，判定菱形；
（2）利用菱形对角线垂直、直角三角形斜边中线定理得AB长度，再结合勾股定理和求对角线长度，最后用面积公式计算.
（1）解：，，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，
，
，
，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形，
，，，
，
∵点E是的中点，
，
，
∴在中，，即，
，，
，，
．
24．【答案】（1）当=0时，该函数的零点为和．
（2）令y=0，得△=（-2m）2-4[-2(m+3)]=4(m+1)2+20＞0
∴无论取何值，方程x2-2mx-2(m+3)=0
总有两个不相等的实数根．
即无论取何值，该函数总有两个零点．
（3）依题意有x1+x2=2m，x1x2=-2(m+3)，
由，解得m=1．
∴函数的解析式为y=x2-2x-8．
令y=0，解得x1=-2，x2=4，
∴A（-2，0），B(4，0)
作点B关于直线的对称点B’，连结AB’，
则AB’与直线的交点就是满足条件的M点．
易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10，0），D（0，10）．
连结CB’，则∠BCD=45°
∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°
∴∠BCB’=90°
即B’（）
设直线AB’的解析式为，则
，解得
∴直线AB’的解析式为，
即AM的解析式为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】本题考查函数的零点定义、二次函数的判别式、根与系数的关系和最短路径问题（轴对称）.（1）将m=0代入函数，令y=0，解一元二次方程的零点；
（2）令y=0，通过判别式>0，证明方程总有两个不等实根，即函数总有两个零点；
（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，作B关于直线y=x-10的对称点B'，连接AB'，与直线的交点即为M，进而求直线AM的函数解析式.
25．【答案】（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即
点在轴上，令可得，
点的坐标为，
可设直线解析式为，
把点代入可得，解得，
直线解析式为；
（2）解：设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
点在第一象限，
点在点的上方，
，
当时，有最大值；
（3）解：存在满足条件的点，理由如下：
如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，
设点坐标为，则点坐标为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题考查了二次函数解析式得求法（顶点式）、一次函数解析式得求法（待定系数法）、二次函数得最值、以及三角形高的存在性问题.（1）用顶点式设二次函数解析式，代入点B求出系数；代入B、D即可用待定系数法求出直线BD解析式；
（2）设出P点横坐标为x，表示出P、M的纵坐标，用PM=M的纵坐标-P的纵坐标构建二次函数，求其最大值.
（3）过Q作轴，交于点G，过Q和于H，可设出Q点坐标，利用绝对值表示出的长度，由条件可证得为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
（1）解：抛物线的顶点的坐标为，
可设抛物线解析式为，
点在该抛物线的图象上，
，解得，
抛物线解析式为，即
点在轴上，令可得，
点的坐标为，
可设直线解析式为，
把点代入可得，解得，
直线解析式为；
（2）解：设点横坐标为，则点坐标为，点坐标为，
点在第一象限，
点在点的上方，
，
当时，有最大值；
（3）解：存在满足条件的点，理由如下：
如图，过点作轴交于点，交轴于点，过点作于点，
设点坐标为，则点坐标为，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
当中边上的高为时，即，
，
，
当时，，方程无实数根，
当时，解得或，
或，
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或．
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