浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2025-2026学年上学期九年级返校学业检测 数学试题卷
1．（2025九上·瑞安开学考）5的相反数是（ ）
A． -5 B．5 C． D．
2．（2025九上·瑞安开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·瑞安开学考）暑假期间，同学们常去图书馆借阅书籍.2025年最新数据显示，瑞安市图书馆馆藏文献总量已达到1544800余册．数据1544800用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·瑞安开学考） 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹.他们射击成绩的平均数和标准差如表所示，若要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应选运动员（ ）
射击成绩统计分析表
人员成绩 甲 乙 丙 丁
平均数x(环) 8.6 8.6 9.2 9.2
标准差S(环) 1.3 1.5 1.0 1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2025九上·瑞安开学考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·瑞安开学考）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．顶点坐标为
C．与y轴的交点是 D．函数的最大值是
7．（2025九上·瑞安开学考）如图，在中，点M，N为边上的两点，于点D，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九上·瑞安开学考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个．表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025九上·瑞安开学考）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
10．（2025九上·瑞安开学考）如图1，在菱形中，，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，．设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C．， D．点在该函数图象上
11．（2025九上·瑞安开学考）因式分解： ．
12．（2025九上·瑞安开学考）不等式组的解集是 ．
13．（2025九上·瑞安开学考） 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值是 .
14．（2025九上·瑞安开学考）如图所示，在直角坐标平面中，抛物线 与直线 相交于 和，则不等式 的解集是 ．
15．（2025九上·瑞安开学考）如图，已知是的直径，内接于，，，D是上一点，连接，若，则 ．
16．（2025九上·瑞安开学考）在菱形中，，，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，连接，则面积的最大值为 ．
17．（2025九上·瑞安开学考）（1）计算：．
（2）化简：．
18．（2025九上·瑞安开学考）解方程：
（1）．
（2）．
19．（2025九上·瑞安开学考）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查数据的中位数是 小时．
（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少小时？
（3）该校共有2400个学生，根据统计，估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数．
20．（2025九上·瑞安开学考）如图，点在的平分线上，交于点． 用尺规作图的方法作以为一边的等腰三角形．
小明：如图，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形．
小华：以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形．
（1）证明：小华所作的是等腰三角形．
（2）若，求的度数．
21．（2025九上·瑞安开学考）如图，在中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的面积．
22．（2025九上·瑞安开学考）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位
把形如 （a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：，
，
，．
根据以上信息，完成下列问题．
（1）填空： ．
（2）计算：．
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
23．（2025九上·瑞安开学考）已知抛物线（b，c为常数）的图象经过点和．
（1）求抛物线的表达式及对称轴．
（2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且，求t的值．
（3）将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的和为12，求m的值．
24．（2025九上·瑞安开学考）如图1，在直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，，，以为直径作，平分交于点C，点D在上且在第一象限，连接．
（1）求的长．
（2）求证：．
（3）当时，求的面积．
（4）如图 2，射线交于点G，交x轴正半轴于点F，连接，作点F关于的对称点，当点落在上时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：5的相反数是－5，
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义可直接得出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、此选项中图形是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项符合题意；
C、此选项中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、此选项中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B ．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由图可知，丙和丁的平均成绩好，
由于丙的标准差小于丁的标准差，
所以丙的方差<丁的方差，
则要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应选丙.
故答案为：C .
【分析】先比较平均数，再比较标准差，然后得出丙的方差小于丁的方差，从而得出答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：、不是同类项，不能合并，本选项原计算错误，故本选项不符合题意；
、与不是同类二次根式，不能相减，本选项原计算错误，故本选项不符合题意；
、，本选项原计算正确，故本选项符合题意；
、，本选项原计算错误，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B选项；由负数的偶数次幂为正数及同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；由单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，即可判断D选项.
6．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：在二次函数中，函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项A、B错误，不符合题意；
当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴函数有最大值，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，对称轴直线为x=h，顶点坐标为(h，k)，当a＞0时，图象开口向上，当x=h时，y有最小值k，当a＜0时，图象开口向下，当x=h时，y有最大值k；令函数解析式中的x=0算出对应的函数值y，可得其与y轴交点坐标，从而逐一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据垂直的定义得到，则由直角三角形两锐角互余可得，利用SAS判断出利用HL判断出，由全等三角形的对应角相等及角的构成可推出，最后根据三角形的内角和定理可求出∠C的度数.
8．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】由“ 每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等 ”可得，，求解可得的值，再代入待求式子按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数比例系数，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
A、若两点在同一分支上，，故，原说法错误，不符合题意；
B、若，则点在第二象限，第四象限，故，原说法错误，不符合题意；
C、当时，两点都在第四象限，，原说法错误，不符合题意；
D、当时，两点都在第二象限，，原说法正确，符合题意.
故答案为：D ．
【分析】由偶数次幂的非负性可判断出反比例函数比例系数-(a2+1)＜0，则反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；当两点在同一分支上时，根据反比例函数的增减性可判断，当两点在不同分支上时，根据其所在分支上点的纵坐标得正负可做判断，据此解答即可.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图， 连接，，与交于点F，与交于点O．
观察函数图象可知，当点F与点A重合时，，即，
点E是的中点，
，
，
解得．
，
四边形是菱形，，
，，，，
，是等边三角形，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
当三点共线时，最小，最小值为，
设，则，
在中，，
，
解得（负值已舍去），
，
是等边三角形，E为的中点，
，
，
的最小值为，
，故错误，
过点C作交的延长线于点G，
，
，
，
，
，
当点F在点C处时，，，故，错误，
当时，F在点O处，
，，
，
，
点在该函数图象上，故正确．
故答案为：．
【分析】连接BD，DE，DE与AC交于点F，BD与AC交于点O；根据函数图象可知，当点F与点A重合时，EF+BF=AE+AB=3，结合中点定义求得AB=2；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由菱形对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角得∠BAC=30°，AC⊥BD，OB=OD=1，AC=2OA，由勾股定理算出OA，从而可得AC的长；由菱形的对称性得出当E、F、D三点共线时，EF+BF最小，最小值为DE；根据含30°角直角三角形的性质求出AF，进而利用勾股定理建立方程求出，根据等腰三角形的三线合一得出DE⊥AB，由勾股定理求得，即可判断；过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G， 当点F在点C处时，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出，，即可判断，；当F在点O处时，，，即可判断．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式得；
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】先根据解不等式的步骤分贝求出不等式中每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定出不等式组的解集即可.
13．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 解得m=9.
故答案为：9 .
【分析】根据根的判别式的意义得到 然后解一次方程即可.
14．【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：借助图象可得抛物线在直线下方的自变量x的取值范围为或，
∴ 不等式 的解集是或，
故答案为：或 ．
【分析】求不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集，从图象角度看，就是求抛物线位于直线下方部分相应的自变量的取值范围，结合两函数图象交点的横坐标即可作答.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∴，
连接交于点E，则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为： ．
【分析】由直径所对圆周角为直角得∠ACB=90°，从而根据勾股定理求出AB长；然后连接BD交AC于点E，由直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°，由等边对等角及二直线平行，内错角相等推出∠DAC=∠OAC=∠OCA，由有两组角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，由相似三角形对应边成比例求出，；由有两组角相等的两个三角形相似得△ADE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AD的长.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；点与圆的位置关系；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设与交于点，过点B作于点，
∵四边形ABCD是菱形，，AB=5
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵与关于直线对称，
∴，
∴点F在以为圆心，长为半径的圆上，
即当三点共线时，面积的最大 ，
这时，
，
故答案为： ．
【分析】设AC与BD交于点O，过点B作BG⊥AD于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分得出AO=AC=4，BD=2BO，且AC⊥BD，从而利用勾股定理算出BO的长，可求出BD长，利用菱形面积公式根据等面积法求出高BG的长；由轴对称性质得BF=BA=5，则得到点F在以B为圆心，BA长为半径的圆上，即当G、B、F三点共线时，△ADF面积的最大 ，利用三角形的面积公式计算解答即可．
17．【答案】解：（1）
（2）
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、“”及“”分别计算，然后计算有理数加减即可；
（2）利用单项式乘以多项式和完全平方公式展开括号，然后合并同类项即可．
18．【答案】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验，当时，，
原方程的解为．
（2）解：，
，
，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以约分分母将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案；
（2）先移项将方程整理成一般形式，方程左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程转化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验，当时，，
原方程的解为．
（2）解：，
，
，
或，
，．
19．【答案】（1）3
（2）解：（小时）
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数为780人．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由统计图可得本次调查的总人数为（人），
中位数是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数，
由统计图可知，第20和21个数据均为3小时，
∴本次调查数据的中位数是3小时；
故答案为：3；
【分析】（1）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此几何条形统计图提供的信息解答即可；
（2）根据条形统计图提供的信息，用加权平均数的计算方法列式计算即可；
（3）利用该学校学生总人数乘以样本中课外阅读时间不少于4小时的人数占比估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数.
（1）解：由统计图可得本次调查的总人数为（人），
中位数是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数，
由统计图可知，第20和21个数据均为3小时，
∴本次调查数据的中位数是3小时；
故答案为：3；
（2）解：（小时）
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数为780人．
20．【答案】（1）证明：根据小华的作图可知：，
点在的平分线上，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据作图痕迹和角平分线的性质得出∠BAP=∠CAP，从而利用“SAS”判断出，由全等三角形的对应边相等PB=PC，然后根据平行线和角平分线进行角的等量代换得到，由等角对等边得，由等量代换得到，根据等腰三角形的定义可得结论；
（2）根据等边对等角及三角形的外角得到，然后再根据等边对等角得到，进而根据三角形的内角和建立方程解答求出∠PAC的度数，最后根据角平分线的定义求出∠MAN的度数.
（1）证明：根据小华的作图可知：，
点在的平分线上，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等可得，，由线段构成及等式性质推出EF=BC，由等量代换得，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形AEFD是平行四边形，最后根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”可得结论；
（2）由矩形四个内角为直角得∠F=90°，在Rt△CFD中，利用勾股定理建立方程求出CD的长，再根据平行四边形的面积公式计算即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）
（2）解：
；
（3）解：．
【知识点】同底数幂的乘法；多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
【分析】（1）由同底数幂乘法法则的逆用将变形为，然后整体代入计算即可；
（2）先根据“多项式乘以多形式，就是用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”展开括号，再合并同类项化简，进而结合虚数单位进行求解即可；
（3）将分子、分母都乘以，然后利用完全平方公式及平方差公式分别计算分子、分母， 进而结合虚数单位进行求解即可 ．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：．
23．【答案】（1）解：已知抛物线的图象经过点和，将这两点代入抛物线方程，可得，
解得：，
所以抛物线的表达式为，
对称轴为直线；
（2）解：因为过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
所以B，C两点的纵坐标为t，即，
解得，
所以，
因为，所以，
解得或．
（3）解：将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，得到
新抛物线的对称轴为：，则当时，y随x的增大而增大，
当时，y的最大值为，
y的最小值为，
因为y的最大值与最小值的和为12，
所以
解得或（舍去）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求二次函数的解析式，进而根据抛物线对称轴直线公式“”求出其对称轴直线即可；
（2）由点的坐标与图形性质可得点B、C的纵坐标都是t，然后将y=t代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，求出B，C的坐标，然后根据平面内两点间的距离公式及AB=2AC列方程求出t的值即可；
（3）根据抛物线平移规律“左加右减”得到平移后的解析式，求出新抛物线的对称轴直线，根据抛物线的增减性求出在得到最大值与最小值，根据此时“ y的最大值与最小值的和为12 ”列方程求出m值即可．
（1）解：已知抛物线的图象经过点和，将这两点代入抛物线方程，可得，
解得：，
所以抛物线的表达式为，
对称轴为直线；
（2）解：令y=0，则
解得1，
所以抛物线与x轴的交点为和．
因为过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
所以B，C两点的纵坐标为t，即，
解得，
所以，
因为，所以，
解得或．
（3）解：将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，得到
新抛物线的对称轴为：，则当时，y随x的增大而增大，
当时，y的最大值为，
y的最小值为，
因为y的最大值与最小值的和为12，
所以
解得或（舍去）．
24．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
连接，连接并延长交于点H，
则，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴点D、点E在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴；
（4）解：由轴对称可得，
又∵ 点落在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点C作轴于点M，
则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据角的直角三角形的性质解答即可；
（2）由直角三角形两锐角互余及角平分线的定义可求出，由直径所对的圆周角为90°得出，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等即可得到结论；
（3）根据全等三角形对应边相等、对应角相等得到，，连接，连接并延长交于点H，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得到△BCE是等边三角形，由等边三角形三边相等得BC=CE=BE=DE，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线得出DE垂直平分BC，然后根据勾股定理求出，利用三角形的面积计算即可；
（4）根据轴对称的性质及同弧所对的圆周角相等可得由等角对等边得到，利用勾股定理求出AC=AF=，然后过点C作轴于点M，根据含30°角直角三角形的性质求出CM，进而根据勾股定理求出AM，然后根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得到，利用相似三角形的对应边长比例建立方程即可求出OG的长.
（1）解：∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
连接，连接并延长交于点H，
则，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴点D、点E在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴；
（4）解：由折叠可得，
又∵ 点落在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点C作轴于点M，
则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
1 / 1浙江省温州市瑞安市安阳实验中学2025-2026学年上学期九年级返校学业检测 数学试题卷
1．（2025九上·瑞安开学考）5的相反数是（ ）
A． -5 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：5的相反数是－5，
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义可直接得出答案.
2．（2025九上·瑞安开学考）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B、此选项中图形是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项符合题意；
C、此选项中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项不符合题意；
D、此选项中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2025九上·瑞安开学考）暑假期间，同学们常去图书馆借阅书籍.2025年最新数据显示，瑞安市图书馆馆藏文献总量已达到1544800余册．数据1544800用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：B ．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025九上·瑞安开学考） 甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，每人射击20发子弹.他们射击成绩的平均数和标准差如表所示，若要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应选运动员（ ）
射击成绩统计分析表
人员成绩 甲 乙 丙 丁
平均数x(环) 8.6 8.6 9.2 9.2
标准差S(环) 1.3 1.5 1.0 1.2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由图可知，丙和丁的平均成绩好，
由于丙的标准差小于丁的标准差，
所以丙的方差<丁的方差，
则要选一名成绩较好且又稳定的运动员参赛，则应选丙.
故答案为：C .
【分析】先比较平均数，再比较标准差，然后得出丙的方差小于丁的方差，从而得出答案.
5．（2025九上·瑞安开学考）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：、不是同类项，不能合并，本选项原计算错误，故本选项不符合题意；
、与不是同类二次根式，不能相减，本选项原计算错误，故本选项不符合题意；
、，本选项原计算正确，故本选项符合题意；
、，本选项原计算错误，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；二次根式的加减法，就是将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，所谓同类二次根式，就是被开方数完全相同的最简二次根式，合并的时候，只需要将系数相加减，根号部分不变，不是同类二次根式的一定不能合并，据此可判断B选项；由负数的偶数次幂为正数及同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C选项；由单项式乘以多项式，就是用单项式去乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，即可判断D选项.
6．（2025九上·瑞安开学考）已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为直线 B．顶点坐标为
C．与y轴的交点是 D．函数的最大值是
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：在二次函数中，函数的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项A、B错误，不符合题意；
当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意；
∵，
∴函数有最大值，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】二次函数y=a(x-h)2+k中，对称轴直线为x=h，顶点坐标为(h，k)，当a＞0时，图象开口向上，当x=h时，y有最小值k，当a＜0时，图象开口向下，当x=h时，y有最大值k；令函数解析式中的x=0算出对应的函数值y，可得其与y轴交点坐标，从而逐一判断得出答案.
7．（2025九上·瑞安开学考）如图，在中，点M，N为边上的两点，于点D，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】先根据垂直的定义得到，则由直角三角形两锐角互余可得，利用SAS判断出利用HL判断出，由全等三角形的对应角相等及角的构成可推出，最后根据三角形的内角和定理可求出∠C的度数.
8．（2025九上·瑞安开学考）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个．表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用；求代数式的值-直接代入求值；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，，
∴，
故答案为：B．
【分析】由“ 每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等 ”可得，，求解可得的值，再代入待求式子按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
9．（2025九上·瑞安开学考）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数比例系数，
∴反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
A、若两点在同一分支上，，故，原说法错误，不符合题意；
B、若，则点在第二象限，第四象限，故，原说法错误，不符合题意；
C、当时，两点都在第四象限，，原说法错误，不符合题意；
D、当时，两点都在第二象限，，原说法正确，符合题意.
故答案为：D ．
【分析】由偶数次幂的非负性可判断出反比例函数比例系数-(a2+1)＜0，则反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大；当两点在同一分支上时，根据反比例函数的增减性可判断，当两点在不同分支上时，根据其所在分支上点的纵坐标得正负可做判断，据此解答即可.
10．（2025九上·瑞安开学考）如图1，在菱形中，，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，．设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C．， D．点在该函数图象上
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；动点问题的函数图象；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图， 连接，，与交于点F，与交于点O．
观察函数图象可知，当点F与点A重合时，，即，
点E是的中点，
，
，
解得．
，
四边形是菱形，，
，，，，
，是等边三角形，
，
，
，，
垂直平分，
，
，
当三点共线时，最小，最小值为，
设，则，
在中，，
，
解得（负值已舍去），
，
是等边三角形，E为的中点，
，
，
的最小值为，
，故错误，
过点C作交的延长线于点G，
，
，
，
，
，
当点F在点C处时，，，故，错误，
当时，F在点O处，
，，
，
，
点在该函数图象上，故正确．
故答案为：．
【分析】连接BD，DE，DE与AC交于点F，BD与AC交于点O；根据函数图象可知，当点F与点A重合时，EF+BF=AE+AB=3，结合中点定义求得AB=2；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形，由菱形对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角得∠BAC=30°，AC⊥BD，OB=OD=1，AC=2OA，由勾股定理算出OA，从而可得AC的长；由菱形的对称性得出当E、F、D三点共线时，EF+BF最小，最小值为DE；根据含30°角直角三角形的性质求出AF，进而利用勾股定理建立方程求出，根据等腰三角形的三线合一得出DE⊥AB，由勾股定理求得，即可判断；过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G， 当点F在点C处时，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理可求出，，即可判断，；当F在点O处时，，，即可判断．
11．（2025九上·瑞安开学考）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=（a+3）（a-3）。
故答案为：（a+3）（a-3）。
【分析】由平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）可得。
12．（2025九上·瑞安开学考）不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式得；
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】先根据解不等式的步骤分贝求出不等式中每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”确定出不等式组的解集即可.
13．（2025九上·瑞安开学考） 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值是 .
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得 解得m=9.
故答案为：9 .
【分析】根据根的判别式的意义得到 然后解一次方程即可.
14．（2025九上·瑞安开学考）如图所示，在直角坐标平面中，抛物线 与直线 相交于 和，则不等式 的解集是 ．
【答案】或
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：借助图象可得抛物线在直线下方的自变量x的取值范围为或，
∴ 不等式 的解集是或，
故答案为：或 ．
【分析】求不等式ax2+bx+c＜mx+n的解集，从图象角度看，就是求抛物线位于直线下方部分相应的自变量的取值范围，结合两函数图象交点的横坐标即可作答.
15．（2025九上·瑞安开学考）如图，已知是的直径，内接于，，，D是上一点，连接，若，则 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∴，
连接交于点E，则，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为： ．
【分析】由直径所对圆周角为直角得∠ACB=90°，从而根据勾股定理求出AB长；然后连接BD交AC于点E，由直径所对的圆周角为直角得∠ADB=90°，由等边对等角及二直线平行，内错角相等推出∠DAC=∠OAC=∠OCA，由有两组角相等的两个三角形相似得△ADE∽△ACB，由相似三角形对应边成比例求出，；由有两组角相等的两个三角形相似得△ADE∽△BCE，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出AD的长.
16．（2025九上·瑞安开学考）在菱形中，，，是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，连接，则面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；点与圆的位置关系；轴对称的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设与交于点，过点B作于点，
∵四边形ABCD是菱形，，AB=5
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵与关于直线对称，
∴，
∴点F在以为圆心，长为半径的圆上，
即当三点共线时，面积的最大 ，
这时，
，
故答案为： ．
【分析】设AC与BD交于点O，过点B作BG⊥AD于点G，根据菱形的对角线互相垂直平分得出AO=AC=4，BD=2BO，且AC⊥BD，从而利用勾股定理算出BO的长，可求出BD长，利用菱形面积公式根据等面积法求出高BG的长；由轴对称性质得BF=BA=5，则得到点F在以B为圆心，BA长为半径的圆上，即当G、B、F三点共线时，△ADF面积的最大 ，利用三角形的面积公式计算解答即可．
17．（2025九上·瑞安开学考）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】解：（1）
（2）
【知识点】整式的混合运算；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据绝对值性质、“”及“”分别计算，然后计算有理数加减即可；
（2）利用单项式乘以多项式和完全平方公式展开括号，然后合并同类项即可．
18．（2025九上·瑞安开学考）解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验，当时，，
原方程的解为．
（2）解：，
，
，
或，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以约分分母将分式方程化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案；
（2）先移项将方程整理成一般形式，方程左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程转化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
经检验，当时，，
原方程的解为．
（2）解：，
，
，
或，
，．
19．（2025九上·瑞安开学考）某校为了解学生一周课外阅读情况，随机抽取部分学生调查了他们一周课外阅读时间，并将数据进行整理制成如下统计图． 请根据图中提供的信息，解答以下问题：
（1）本次调查数据的中位数是 小时．
（2）抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是多少小时？
（3）该校共有2400个学生，根据统计，估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数．
【答案】（1）3
（2）解：（小时）
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数为780人．
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由统计图可得本次调查的总人数为（人），
中位数是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数，
由统计图可知，第20和21个数据均为3小时，
∴本次调查数据的中位数是3小时；
故答案为：3；
【分析】（1）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；据此几何条形统计图提供的信息解答即可；
（2）根据条形统计图提供的信息，用加权平均数的计算方法列式计算即可；
（3）利用该学校学生总人数乘以样本中课外阅读时间不少于4小时的人数占比估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数.
（1）解：由统计图可得本次调查的总人数为（人），
中位数是40个数据从小到大排列之后第20和21个数据的平均数，
由统计图可知，第20和21个数据均为3小时，
∴本次调查数据的中位数是3小时；
故答案为：3；
（2）解：（小时）
答：抽查的这些学生一周平均的课外阅读时间是3小时；
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数为780人．
20．（2025九上·瑞安开学考）如图，点在的平分线上，交于点． 用尺规作图的方法作以为一边的等腰三角形．
小明：如图，以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形．
小华：以点为圆心，为半径作弧，交于点，连接，则是等腰三角形．
（1）证明：小华所作的是等腰三角形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：根据小华的作图可知：，
点在的平分线上，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据作图痕迹和角平分线的性质得出∠BAP=∠CAP，从而利用“SAS”判断出，由全等三角形的对应边相等PB=PC，然后根据平行线和角平分线进行角的等量代换得到，由等角对等边得，由等量代换得到，根据等腰三角形的定义可得结论；
（2）根据等边对等角及三角形的外角得到，然后再根据等边对等角得到，进而根据三角形的内角和建立方程解答求出∠PAC的度数，最后根据角平分线的定义求出∠MAN的度数.
（1）证明：根据小华的作图可知：，
点在的平分线上，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
21．（2025九上·瑞安开学考）如图，在中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等可得，，由线段构成及等式性质推出EF=BC，由等量代换得，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形AEFD是平行四边形，最后根据“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”可得结论；
（2）由矩形四个内角为直角得∠F=90°，在Rt△CFD中，利用勾股定理建立方程求出CD的长，再根据平行四边形的面积公式计算即可.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴．
22．（2025九上·瑞安开学考）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位
把形如 （a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．
例如计算：，
，
，．
根据以上信息，完成下列问题．
（1）填空： ．
（2）计算：．
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
【答案】（1）
（2）解：
；
（3）解：．
【知识点】同底数幂的乘法；多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
【分析】（1）由同底数幂乘法法则的逆用将变形为，然后整体代入计算即可；
（2）先根据“多项式乘以多形式，就是用一个多项式的每一项分别去乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”展开括号，再合并同类项化简，进而结合虚数单位进行求解即可；
（3）将分子、分母都乘以，然后利用完全平方公式及平方差公式分别计算分子、分母， 进而结合虚数单位进行求解即可 ．
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：．
23．（2025九上·瑞安开学考）已知抛物线（b，c为常数）的图象经过点和．
（1）求抛物线的表达式及对称轴．
（2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点（点B在点C的左侧），且，求t的值．
（3）将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，当时，平移后的抛物线函数值y的最大值与最小值的和为12，求m的值．
【答案】（1）解：已知抛物线的图象经过点和，将这两点代入抛物线方程，可得，
解得：，
所以抛物线的表达式为，
对称轴为直线；
（2）解：因为过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
所以B，C两点的纵坐标为t，即，
解得，
所以，
因为，所以，
解得或．
（3）解：将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，得到
新抛物线的对称轴为：，则当时，y随x的增大而增大，
当时，y的最大值为，
y的最小值为，
因为y的最大值与最小值的和为12，
所以
解得或（舍去）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求二次函数的解析式，进而根据抛物线对称轴直线公式“”求出其对称轴直线即可；
（2）由点的坐标与图形性质可得点B、C的纵坐标都是t，然后将y=t代入抛物线的解析式算出对应的自变量x的值，求出B，C的坐标，然后根据平面内两点间的距离公式及AB=2AC列方程求出t的值即可；
（3）根据抛物线平移规律“左加右减”得到平移后的解析式，求出新抛物线的对称轴直线，根据抛物线的增减性求出在得到最大值与最小值，根据此时“ y的最大值与最小值的和为12 ”列方程求出m值即可．
（1）解：已知抛物线的图象经过点和，将这两点代入抛物线方程，可得，
解得：，
所以抛物线的表达式为，
对称轴为直线；
（2）解：令y=0，则
解得1，
所以抛物线与x轴的交点为和．
因为过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
所以B，C两点的纵坐标为t，即，
解得，
所以，
因为，所以，
解得或．
（3）解：将抛物线沿x轴向左平移个单位长度，得到
新抛物线的对称轴为：，则当时，y随x的增大而增大，
当时，y的最大值为，
y的最小值为，
因为y的最大值与最小值的和为12，
所以
解得或（舍去）．
24．（2025九上·瑞安开学考）如图1，在直角坐标系中，点 O 为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在y轴正半轴上，，，以为直径作，平分交于点C，点D在上且在第一象限，连接．
（1）求的长．
（2）求证：．
（3）当时，求的面积．
（4）如图 2，射线交于点G，交x轴正半轴于点F，连接，作点F关于的对称点，当点落在上时，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
连接，连接并延长交于点H，
则，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴点D、点E在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴；
（4）解：由轴对称可得，
又∵ 点落在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点C作轴于点M，
则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据角的直角三角形的性质解答即可；
（2）由直角三角形两锐角互余及角平分线的定义可求出，由直径所对的圆周角为90°得出，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等即可得到结论；
（3）根据全等三角形对应边相等、对应角相等得到，，连接，连接并延长交于点H，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得到△BCE是等边三角形，由等边三角形三边相等得BC=CE=BE=DE，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线得出DE垂直平分BC，然后根据勾股定理求出，利用三角形的面积计算即可；
（4）根据轴对称的性质及同弧所对的圆周角相等可得由等角对等边得到，利用勾股定理求出AC=AF=，然后过点C作轴于点M，根据含30°角直角三角形的性质求出CM，进而根据勾股定理求出AM，然后根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截三角形与原三角形相似得到，利用相似三角形的对应边长比例建立方程即可求出OG的长.
（1）解：∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
连接，连接并延长交于点H，
则，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴点D、点E在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴；
（4）解：由折叠可得，
又∵ 点落在上，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点C作轴于点M，
则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得．
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