浙江省杭州市临平区树兰实验学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题(共13小题)
1．（2025九上·临平开学考）“明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨
C．明天的地方下雨 D．明天下雨的可能性比较大
【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D合题意．
故选：D．
【分析】概率表示随机事件发生的可能性大小．
2．（2025九上·临平开学考）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为.
故答案为：C.
【分析】 将抛物线y=ax2向右平移m个单位，再向上平移n个单位，则所得的抛物线的函数表达式为y=a(x-m)2+n，据此解答.
3．（2025九上·临平开学考） 如图，在中，弦 AC与半径 OB 交于点 D，连接 OA，BC，若 ，，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ADB=∠B+∠C
∴∠C=∠ADB-∠B=116°-60°=56°
∵∠AOB=2∠ACB
∴∠AOB=112°
故答案为：C .
【分析】由三角形的外角知∠C=∠ADB-∠B，再由圆周角与圆心角的关系可得∠AOB的度数.
4．（2025九上·临平开学考）已知 ， ， 是二次函数 图象上的点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=-2x2-8x+m=-2（x+2）2+m+8，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=-2，当x＜-2时，y随x的增大而增大，
∴（1，y3）关于直线x=-2的对称点是（-5，y3），
∵-5＜-3＜-2，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：A.
【分析】由a<0判断出图象的开口向下，根据对称轴方程求出（1，y3）关于直线x=-2的对称点是（-5，y3），由二次函数的性质可知当x＜-2时，y随x的增大而增大，据此即可判断.
5．（2025九上·临平开学考） 已知二次函数 (m为实数，且)，当时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：二次函数顶点为原点，当开口向上时，m-2>0时，时y随x的增大而减小，故m>2.
故答案为： B.
【分析】由题意知二次函数开口向上，即知m-2>0，即m>2.
6．（2025九上·临平开学考）若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角 ， ， ， 的度数之比可能是（ ）
A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：3
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是圆内接四边形，
即 比值的和与 比值的和份数相等，
故A、B、C均不符合题意；
， ， ， 的度数之比可能是 ，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可知，其对角互补，据此可知两组对角的比值的和份数相等，据此分别判断即可.
7．（2025九上·临平开学考）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据S扇形=lr进行计算可得r的值.
8．（2025九上·临平开学考） 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比. 下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为时，线段MN的长度记为. 下列描述正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由题意知当进度x<50%时，进度x越大，对应的圆心角越大，弧长越长，弦长越长；
当x>50%时，进度x越大，对应的圆心角越大，弧长越大，弦长越小；
即50%>x1>x2时，，当x1>x2>50%时，，故A、B错误；
由图知当x=20%和x=80%、x=30%和70%......时，d(x)相等，故C正确；
当x=50%和x=100%时，故D错误；
故答案为：C .
【分析】根据圆心角与弦长的关系知当x<50%，MN随x的增大而增大，当x>50%时MN随x的增大而减小，知A、B错误，C正确，举特例可说明D错误.
9．（2025九上·临平开学考） 如图，半圆O的直径，若点C，D在半圆上运动，且保持弦，延长AD、BC相交于点E. 记的度数为，的面积为y. 则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接OC、OD
∵AB=2
∴OC=OD=1
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD=60°
∴∠AOD+∠BOC=120°
∵OA=OD，OB=OC
∴∠OAD+∠OBC=
∠E=180°-(∠OAD+∠OBC)=180°-120°=60°
故x=60不变；
以CD为底，点E到CD的矩离随C、D的变化而变化，故y随C、D的变化而变化.
故答案为：D .
【分析】连接OC、OD，由OC=OD=CD得∠COD=60°，由角度关系得∠A+∠B=120°得∠E=60°，即x不变，而以CD为底时，E至CD的距离会发生变化，即y变化.
10．（2025九上·临平开学考）在平面直角坐标系中，设函数（a是常数，）.
①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点.
②如果在时，始终有y随x的增大而减小，则且.
则（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
当时，，当时，，
∴无论a取何值，该函数图象必经两定点（-1，0），（0，-1），故①正确；
∵函数（a是常数，）对称轴为直线，
当时，如果在时，始终有y随x的增大而减小，
则，解得：，
∴，
当时，如果在时，始终有y随x的增大而减小，
则，解得：，
∴，
综上所述，如果在时，始终有y随x的增大而减小，则，，故②正确.
故答案为：A.
【分析】将函数解析式变形可得y=(ax-1)(x+1)，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此判断①；根据函数解析式可得对称轴为直线x=，然后分a>0、a<0，结合函数在-1
二、填空题(共6小题)
11．（2025九上·临平开学考） 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽数m 1 4 45 92 188 476 952 1900 2850
发芽频率 1 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.952 0.95 0.95
估计该麦种的发芽概率约为 .
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格知当试验种子数量n不断增加时，发芽频率慢慢接近0.95.
故答案为： 0.95.
【分析】观察频率的变化趋势与数据特点，即可得概率.
12．（2025九上·临平开学考） 如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为，折扇扇面的面积为 .（结果保留）
【答案】252π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：30-18=12cm.
.
故答案为： 252π.
【分析】先求出小扇形的半径，再根据扇形的面积公式用大扇形减小扇形的面积即可.
13．（2025九上·临平开学考） 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度 . 部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了 cm（结果保留根号）.
【答案】4-8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当CD=4时，OC=1，由勾股定理得AC=cm，AB=2AC=4；
当CD=2时，OC=3，AC=，AB=2AC=8cm；
（4-8）cm，即弦AB减少（4-8）cm.
故答案为：4-8 .
【分析】分别求出深度CD=5cm和2cm时的弦长，即可得减少的长度.
14．（2025九上·临平开学考）桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果，
∴关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率为 ，
故答案为： .
【分析】由题意可画出树状图，由树状图的信息可知，共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果，然后根据概率公式即可求解。
15．（2025九上·临平开学考） 设二次函数 (a，b，c 是常数， )，如表列出了 x、y的部分对应值.
x … -5 -3 1 2 3 …
y … -2.79 m -2.79 0 n …
则不等式 的解集是 ，方程 的解是 .
【答案】-4【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由表格知当x=-5和1时，y=-2.79，故二次函数的对称轴为直线x=，
x=2关于对称轴对称的直线为x=-4，即当x=-4和2时，y=0；
同时在x>-2时，y随x的增大而增大，故二次函数开口向上，
故当时，-4x=-3关于对称轴对称的直线为x=-1，
故方程的解为x1=-3，x2=-1.
故答案为：-4【分析】观察表格可得二次函数的对称轴为直线x=-2，由对称性知x=-4和2时，y=0，又x>-2时，y随x的增大而增大知开口向上，从而得不等式的解集，由对称性知当x=-3和-1时，y=m.
16．（2025九上·临平开学考）若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ．
【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴是，
，二次函数开口向下，
①当对称轴，即，即，
∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
②当时，即，
∴当时，二次函数有最大值为，
解得或，
由于，故；
③当时，，即，
当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
∵，故此种情况无解；
综上①②③所述，得，，
故答案为：或．
【分析】求出二次函数的对称轴是，分为①时；②当上时；③当时，三种情况利用二次函数的增减性解答即可．
三、解答题(共9小题)
17．（2025九上·临平开学考）一只不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外均相同.
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率.
【答案】（1）解：∵不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，
∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是 ；
（2）解：根据题意画出树状图如下：
一共有20种情况，两次摸出都是白球的情况有6种情况，
所以两次摸出的球都是白球的概率为 ＝ .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）利用白球的个数除以球的总数即可求出摸出一个球是白球的概率；
（2）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及两次摸出都是白球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
18．（2025九上·临平开学考）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数的图象与y轴的交点坐标.
【答案】（1）解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），
∴a（﹣5+1）2﹣2＝6.
解得：a＝ .
∴二次函数的表达式为：y＝ （x+1）2﹣2，即y＝ x 2+ x﹣ ；
（2）解：令x＝0，则y＝ ×（0+1）2﹣2＝﹣ ，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣ ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将（-5，6）代入求解可得a的值，进而可得二次函数的表达式；
（2）令x=0，求出y的值，进而可得函数图象与y轴的交点坐标.
19．（2025九上·临平开学考） 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A(-3，1)，B(-2，3)，C(-1，2).
（1） 将绕原点O旋转180°，画出旋转后的；
（2） 在(1)中，的顶点的坐标是 ，的坐标是 ；
（3） 在(1)中，若内部一点P的坐标为(a，b)，则点P的对应点的坐标是 .
【答案】（1）解：如图所示
（2）(3，-1)；(1，-2)
（3）(-a，-b)
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）点P同样绕点O旋转180°得(-a，-b).
【分析】(1)在坐标系中标记点A、B、C的对应点，再顺次连接即得；
(2)由坐标系中关于原点对称的特点，即可得A1和C1的坐标；
(3)点P同样绕原点旋转180°即得(-a，-b).
20．（2025九上·临平开学考） 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，，且，于点E. 水位正常时测得.
（1） 求CD的长；
（2） 现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
【答案】（1）解：∵OE⊥CD
∴CD=2DE
∵
∴OE：DE=5：12
∵AB=26m
∴OD=OB=13m
故OE=5m，DE=12m，CD=2DE=24m.
（2）解：灌满还差13-4=9m，所需时间为9÷4=2.25小时.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1)由比例知OE：DE=5：12，OD=13m得CD=24米；
(2)剩余9m，除以每小时上升4米，即得所需时间.
21．（2025九上·临平开学考）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为，
将、代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为；
（2）解：根据题意知，，
，
当时，W随x的增大而增大，
，
当时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据、在直线上，利用待定系数法即可得出关于y与x的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，并将解析式转化成顶点式，根据二次函数的最值即可得出答案。
（1）解：设y与x的函数解析式为，
将、代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为；
（2）解：根据题意知，，
，
当时，W随x的增大而增大，
，
当时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
22．（2025九上·临平开学考） 如图，AB 是 的直径，点 、 是 上的点，且 ，AC 分别与 BD、OD 相交于点 、.
（1） 证明：点 为 的中点；
（2） 若 ，，求 DF的长；
（3） 若 的半径为 5，，点 是线段 AB 上任意一点，试求出 的最小值.
【答案】（1）证明：∵AB为直径
∴BC⊥AC
∵OD||BC
∴OD⊥AC
∴点 为 的中点
（2）解：∵O为AB的中点，OF||BC
∴OF为ABC的中位线
∴OF=BC=3
∴DF=OD-OF=5-3=2
（3）解：如图，取点C关于AB的对称点C'，连接PC'，则PC'=PC
PC+PD=PC'+PD，当D、P、C'三点共线时取最小值，
∵OD⊥AC
∴∠DOC=∠DOA=80°
∴∠BOC=180°-∠DOA-∠DOC=180°-80°-80°=20°
∴∠BOC'=20°
∴∠DOC'=120°
∵OD=OC'=5
∴DC'=5
∴(PC+PD)的最小值=5
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理；线段最值问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)直径所对圆周角为直角知AC⊥BC，由OD||BC得OD⊥AC，即可知 点 为 的中点；
(2)由中位线定理知OF=3，即可得DF的长；
(3)取点C关于AB的对称点C'，当D、P、C'共线时PC+PD取最小值，求出∠DOC'的度数，即可得最小值.
23．（2025九上·临平开学考） 在平面直角坐标系中，设二次函数 (a，b 是实数，).
（1） 判断该函数图象与 x 轴的交点个数，并说明理由；
（2） 若该函数图象的对称轴为直线 ， 为函数 y 图象上的任意两点，其中 ，求当 为何值时，；
（3） 若该函数图象的顶点在第二象限，且过点 (1，1)，当 时，求 的取值范围.
【答案】（1）解：>0，故二次函数图象与x轴有两个交点
（2）解：函数的对称轴为直线x=，得b=-2a，于是二次函数为
令y=5a，则有，解得x1=-2，x2=4
（3）解：令x=1，则y=a+b-3a=1，即b=2a+1，
a-1
令，则y=
顶点()，在第二象限，
故
①当a>0时，2a+1>0且16a2+4a+1<0，不等式无解；
②当a<0时，2a+1<0且16a2+4a+1>0，解得a<-
故-1而2a+b=2a+2a+1=4a+1
故-3<2a+b<-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)计算恒大于零，即可判断函数与x轴有两个交点；
(2)由对称轴为直线x=1得b=-2a，代入函数并令y=5a，即可得x的值；
(3)令x=1得b=2a+1，求出顶点坐标()，分别令横坐标小于0，纵坐标大于0，得到关于a的不等式，分类讨论a<0和a>0时的取值范围，即可得2a+b的范围.
24．（2025九上·临平开学考） 如图，在中，D在边AC上，圆O为锐角的外接圆，连接CO并延长交AB于点E.
（1）若，请用含的代数式表示 ；
（2）如图2，作，垂足为F，BF与CE交于点G，已知.
① 求证：；
② 若，，求的值.
【答案】（1）90°-α
（2）解：①证明：设∠CBD=α，则由(1)知∠DCE=90°-α
∵∠ABD=∠CBF
∴∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF
∴∠ABF=∠DBC
∵BF⊥CD
∴∠CGF=90°-∠DCE=α，
∵∠EGB=∠CGF
∴∠ABF=∠EGB
∴EB=EG
②如图，过点E作EN⊥AC，EM⊥BF，
∵BF⊥CD
∴EMFN为矩形
∴EN=FM，
∵∠ACE=∠A=90°-α
∴AE=EC=5
∵AC=8
∴AN=CN=4
∴EN=
∴FM=3
∵EB=EG
∴BM=GM
∴FG+FB=FM-BG+FM+BM=2MF=6
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：(1)延长CE交圆O于点H，连接DH
∵CH为直径
∴∠CDH=90°
∴∠H+∠DCE=90°
∵∠DBC=∠DHC=α
∴∠DCE=90°-α
【分析】(1)延长CE交圆O于点H，连接DH，由此得∠DHC=∠DBC，∠DHC+∠ACE=90°，即得DCE的度数；
(2)①结合(1)知∠CGF=α，结合∠ABF=∠DBC得∠ABF=∠EGB，即得EB=EG；
②先得到∠A=∠ACE，作EN⊥AC，EM⊥BF，得MF=EN=3，由FB+FG=2FM，即得结果.
1 / 1浙江省杭州市临平区树兰实验学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷
一、选择题(共13小题)
1．（2025九上·临平开学考）“明天下雨的概率是”，下列说法正确的是（ ）
A．明天一定下雨 B．明天一定不下雨
C．明天的地方下雨 D．明天下雨的可能性比较大
2．（2025九上·临平开学考）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025九上·临平开学考） 如图，在中，弦 AC与半径 OB 交于点 D，连接 OA，BC，若 ，，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·临平开学考）已知 ， ， 是二次函数 图象上的点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·临平开学考） 已知二次函数 (m为实数，且)，当时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·临平开学考）若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角 ， ， ， 的度数之比可能是（ ）
A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：3
7．（2025九上·临平开学考）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（ ）
A．24 B．22 C．12 D．6
8．（2025九上·临平开学考） 计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比. 下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：当任务完成的百分比为时，线段MN的长度记为. 下列描述正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．（2025九上·临平开学考） 如图，半圆O的直径，若点C，D在半圆上运动，且保持弦，延长AD、BC相交于点E. 记的度数为，的面积为y. 则以下结论正确的是（ ）
A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化
D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化
10．（2025九上·临平开学考）在平面直角坐标系中，设函数（a是常数，）.
①无论a取何值，该函数图象必定经过两个定点.
②如果在时，始终有y随x的增大而减小，则且.
则（ ）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误
C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
二、填空题(共6小题)
11．（2025九上·临平开学考） 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数n（粒） 1 5 50 100 200 500 1000 2000 3000
发芽数m 1 4 45 92 188 476 952 1900 2850
发芽频率 1 0.8 0.9 0.92 0.94 0.952 0.952 0.95 0.95
估计该麦种的发芽概率约为 .
12．（2025九上·临平开学考） 如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为，折扇扇面的面积为 .（结果保留）
13．（2025九上·临平开学考） 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度 . 部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了 cm（结果保留根号）.
14．（2025九上·临平开学考）桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片（不放回），其数字为p，随机摸出另一张卡片，其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q＝0有实数根的概率是 .
15．（2025九上·临平开学考） 设二次函数 (a，b，c 是常数， )，如表列出了 x、y的部分对应值.
x … -5 -3 1 2 3 …
y … -2.79 m -2.79 0 n …
则不等式 的解集是 ，方程 的解是 .
16．（2025九上·临平开学考）若二次函数在时的最大值为3，那么的值是 ．
三、解答题(共9小题)
17．（2025九上·临平开学考）一只不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，它们除颜色外均相同.
（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？
（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，用列表法或画树状图的方式求两次摸出的球都是白球的概率.
18．（2025九上·临平开学考）已知二次函数 的图象经过点 .
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数的图象与y轴的交点坐标.
19．（2025九上·临平开学考） 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A(-3，1)，B(-2，3)，C(-1，2).
（1） 将绕原点O旋转180°，画出旋转后的；
（2） 在(1)中，的顶点的坐标是 ，的坐标是 ；
（3） 在(1)中，若内部一点P的坐标为(a，b)，则点P的对应点的坐标是 .
20．（2025九上·临平开学考） 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，，且，于点E. 水位正常时测得.
（1） 求CD的长；
（2） 现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
21．（2025九上·临平开学考）毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22．（2025九上·临平开学考） 如图，AB 是 的直径，点 、 是 上的点，且 ，AC 分别与 BD、OD 相交于点 、.
（1） 证明：点 为 的中点；
（2） 若 ，，求 DF的长；
（3） 若 的半径为 5，，点 是线段 AB 上任意一点，试求出 的最小值.
23．（2025九上·临平开学考） 在平面直角坐标系中，设二次函数 (a，b 是实数，).
（1） 判断该函数图象与 x 轴的交点个数，并说明理由；
（2） 若该函数图象的对称轴为直线 ， 为函数 y 图象上的任意两点，其中 ，求当 为何值时，；
（3） 若该函数图象的顶点在第二象限，且过点 (1，1)，当 时，求 的取值范围.
24．（2025九上·临平开学考） 如图，在中，D在边AC上，圆O为锐角的外接圆，连接CO并延长交AB于点E.
（1）若，请用含的代数式表示 ；
（2）如图2，作，垂足为F，BF与CE交于点G，已知.
① 求证：；
② 若，，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】概率的意义
【解析】【解答】解：明天下雨的概率是，说明明天下雨的可能性比较大．所以只有D合题意．
故选：D．
【分析】概率表示随机事件发生的可能性大小．
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则所得的抛物线的函数表达式为.
故答案为：C.
【分析】 将抛物线y=ax2向右平移m个单位，再向上平移n个单位，则所得的抛物线的函数表达式为y=a(x-m)2+n，据此解答.
3．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ADB=∠B+∠C
∴∠C=∠ADB-∠B=116°-60°=56°
∵∠AOB=2∠ACB
∴∠AOB=112°
故答案为：C .
【分析】由三角形的外角知∠C=∠ADB-∠B，再由圆周角与圆心角的关系可得∠AOB的度数.
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=-2x2-8x+m=-2（x+2）2+m+8，
∴图象的开口向下，对称轴是直线x=-2，当x＜-2时，y随x的增大而增大，
∴（1，y3）关于直线x=-2的对称点是（-5，y3），
∵-5＜-3＜-2，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：A.
【分析】由a<0判断出图象的开口向下，根据对称轴方程求出（1，y3）关于直线x=-2的对称点是（-5，y3），由二次函数的性质可知当x＜-2时，y随x的增大而增大，据此即可判断.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：二次函数顶点为原点，当开口向上时，m-2>0时，时y随x的增大而减小，故m>2.
故答案为： B.
【分析】由题意知二次函数开口向上，即知m-2>0，即m>2.
6．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是圆内接四边形，
即 比值的和与 比值的和份数相等，
故A、B、C均不符合题意；
， ， ， 的度数之比可能是 ，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可知，其对角互补，据此可知两组对角的比值的和份数相等，据此分别判断即可.
7．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：，即，解得.
故答案为：A
【分析】根据S扇形=lr进行计算可得r的值.
8．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：由题意知当进度x<50%时，进度x越大，对应的圆心角越大，弧长越长，弦长越长；
当x>50%时，进度x越大，对应的圆心角越大，弧长越大，弦长越小；
即50%>x1>x2时，，当x1>x2>50%时，，故A、B错误；
由图知当x=20%和x=80%、x=30%和70%......时，d(x)相等，故C正确；
当x=50%和x=100%时，故D错误；
故答案为：C .
【分析】根据圆心角与弦长的关系知当x<50%，MN随x的增大而增大，当x>50%时MN随x的增大而减小，知A、B错误，C正确，举特例可说明D错误.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：连接OC、OD
∵AB=2
∴OC=OD=1
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD=60°
∴∠AOD+∠BOC=120°
∵OA=OD，OB=OC
∴∠OAD+∠OBC=
∠E=180°-(∠OAD+∠OBC)=180°-120°=60°
故x=60不变；
以CD为底，点E到CD的矩离随C、D的变化而变化，故y随C、D的变化而变化.
故答案为：D .
【分析】连接OC、OD，由OC=OD=CD得∠COD=60°，由角度关系得∠A+∠B=120°得∠E=60°，即x不变，而以CD为底时，E至CD的距离会发生变化，即y变化.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
当时，，当时，，
∴无论a取何值，该函数图象必经两定点（-1，0），（0，-1），故①正确；
∵函数（a是常数，）对称轴为直线，
当时，如果在时，始终有y随x的增大而减小，
则，解得：，
∴，
当时，如果在时，始终有y随x的增大而减小，
则，解得：，
∴，
综上所述，如果在时，始终有y随x的增大而减小，则，，故②正确.
故答案为：A.
【分析】将函数解析式变形可得y=(ax-1)(x+1)，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，据此判断①；根据函数解析式可得对称轴为直线x=，然后分a>0、a<0，结合函数在-111．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察表格知当试验种子数量n不断增加时，发芽频率慢慢接近0.95.
故答案为： 0.95.
【分析】观察频率的变化趋势与数据特点，即可得概率.
12．【答案】252π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：30-18=12cm.
.
故答案为： 252π.
【分析】先求出小扇形的半径，再根据扇形的面积公式用大扇形减小扇形的面积即可.
13．【答案】4-8
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：当CD=4时，OC=1，由勾股定理得AC=cm，AB=2AC=4；
当CD=2时，OC=3，AC=，AB=2AC=8cm；
（4-8）cm，即弦AB减少（4-8）cm.
故答案为：4-8 .
【分析】分别求出深度CD=5cm和2cm时的弦长，即可得减少的长度.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果，
∴关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率为 ，
故答案为： .
【分析】由题意可画出树状图，由树状图的信息可知，共有6种等可能结果，其中使关于x的方程x2+px+q=0有实数根的结果有3种结果，然后根据概率公式即可求解。
15．【答案】-4【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由表格知当x=-5和1时，y=-2.79，故二次函数的对称轴为直线x=，
x=2关于对称轴对称的直线为x=-4，即当x=-4和2时，y=0；
同时在x>-2时，y随x的增大而增大，故二次函数开口向上，
故当时，-4x=-3关于对称轴对称的直线为x=-1，
故方程的解为x1=-3，x2=-1.
故答案为：-4【分析】观察表格可得二次函数的对称轴为直线x=-2，由对称性知x=-4和2时，y=0，又x>-2时，y随x的增大而增大知开口向上，从而得不等式的解集，由对称性知当x=-3和-1时，y=m.
16．【答案】或
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数的对称轴是，
，二次函数开口向下，
①当对称轴，即，即，
∴当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
②当时，即，
∴当时，二次函数有最大值为，
解得或，
由于，故；
③当时，，即，
当时，图象位于对称轴左侧，随的增大而增大，
即当时，二次函数有最大值为，
解得；
∵，故此种情况无解；
综上①②③所述，得，，
故答案为：或．
【分析】求出二次函数的对称轴是，分为①时；②当上时；③当时，三种情况利用二次函数的增减性解答即可．
17．【答案】（1）解：∵不透明的箱子里共有5个球，其中3个白球，2个红球，
∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是 ；
（2）解：根据题意画出树状图如下：
一共有20种情况，两次摸出都是白球的情况有6种情况，
所以两次摸出的球都是白球的概率为 ＝ .
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）利用白球的个数除以球的总数即可求出摸出一个球是白球的概率；
（2）此题是抽取不放回类型，画出树状图，找出总情况数以及两次摸出都是白球的情况数，然后利用概率公式进行计算.
18．【答案】（1）解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），
∴a（﹣5+1）2﹣2＝6.
解得：a＝ .
∴二次函数的表达式为：y＝ （x+1）2﹣2，即y＝ x 2+ x﹣ ；
（2）解：令x＝0，则y＝ ×（0+1）2﹣2＝﹣ ，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣ ）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将（-5，6）代入求解可得a的值，进而可得二次函数的表达式；
（2）令x=0，求出y的值，进而可得函数图象与y轴的交点坐标.
19．【答案】（1）解：如图所示
（2）(3，-1)；(1，-2)
（3）(-a，-b)
【知识点】坐标与图形变化﹣中心对称；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【解答】解：（3）点P同样绕点O旋转180°得(-a，-b).
【分析】(1)在坐标系中标记点A、B、C的对应点，再顺次连接即得；
(2)由坐标系中关于原点对称的特点，即可得A1和C1的坐标；
(3)点P同样绕原点旋转180°即得(-a，-b).
20．【答案】（1）解：∵OE⊥CD
∴CD=2DE
∵
∴OE：DE=5：12
∵AB=26m
∴OD=OB=13m
故OE=5m，DE=12m，CD=2DE=24m.
（2）解：灌满还差13-4=9m，所需时间为9÷4=2.25小时.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】(1)由比例知OE：DE=5：12，OD=13m得CD=24米；
(2)剩余9m，除以每小时上升4米，即得所需时间.
21．【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为，
将、代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为；
（2）解：根据题意知，，
，
当时，W随x的增大而增大，
，
当时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据、在直线上，利用待定系数法即可得出关于y与x的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，并将解析式转化成顶点式，根据二次函数的最值即可得出答案。
（1）解：设y与x的函数解析式为，
将、代入，得：
解得：，
所以y与x的函数解析式为；
（2）解：根据题意知，，
，
当时，W随x的增大而增大，
，
当时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
22．【答案】（1）证明：∵AB为直径
∴BC⊥AC
∵OD||BC
∴OD⊥AC
∴点 为 的中点
（2）解：∵O为AB的中点，OF||BC
∴OF为ABC的中位线
∴OF=BC=3
∴DF=OD-OF=5-3=2
（3）解：如图，取点C关于AB的对称点C'，连接PC'，则PC'=PC
PC+PD=PC'+PD，当D、P、C'三点共线时取最小值，
∵OD⊥AC
∴∠DOC=∠DOA=80°
∴∠BOC=180°-∠DOA-∠DOC=180°-80°-80°=20°
∴∠BOC'=20°
∴∠DOC'=120°
∵OD=OC'=5
∴DC'=5
∴(PC+PD)的最小值=5
【知识点】平行线的性质；三角形的中位线定理；线段最值问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)直径所对圆周角为直角知AC⊥BC，由OD||BC得OD⊥AC，即可知 点 为 的中点；
(2)由中位线定理知OF=3，即可得DF的长；
(3)取点C关于AB的对称点C'，当D、P、C'共线时PC+PD取最小值，求出∠DOC'的度数，即可得最小值.
23．【答案】（1）解：>0，故二次函数图象与x轴有两个交点
（2）解：函数的对称轴为直线x=，得b=-2a，于是二次函数为
令y=5a，则有，解得x1=-2，x2=4
（3）解：令x=1，则y=a+b-3a=1，即b=2a+1，
a-1
令，则y=
顶点()，在第二象限，
故
①当a>0时，2a+1>0且16a2+4a+1<0，不等式无解；
②当a<0时，2a+1<0且16a2+4a+1>0，解得a<-
故-1而2a+b=2a+2a+1=4a+1
故-3<2a+b<-1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)计算恒大于零，即可判断函数与x轴有两个交点；
(2)由对称轴为直线x=1得b=-2a，代入函数并令y=5a，即可得x的值；
(3)令x=1得b=2a+1，求出顶点坐标()，分别令横坐标小于0，纵坐标大于0，得到关于a的不等式，分类讨论a<0和a>0时的取值范围，即可得2a+b的范围.
24．【答案】（1）90°-α
（2）解：①证明：设∠CBD=α，则由(1)知∠DCE=90°-α
∵∠ABD=∠CBF
∴∠ABD+∠DBF=∠CBF+∠DBF
∴∠ABF=∠DBC
∵BF⊥CD
∴∠CGF=90°-∠DCE=α，
∵∠EGB=∠CGF
∴∠ABF=∠EGB
∴EB=EG
②如图，过点E作EN⊥AC，EM⊥BF，
∵BF⊥CD
∴EMFN为矩形
∴EN=FM，
∵∠ACE=∠A=90°-α
∴AE=EC=5
∵AC=8
∴AN=CN=4
∴EN=
∴FM=3
∵EB=EG
∴BM=GM
∴FG+FB=FM-BG+FM+BM=2MF=6
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：(1)延长CE交圆O于点H，连接DH
∵CH为直径
∴∠CDH=90°
∴∠H+∠DCE=90°
∵∠DBC=∠DHC=α
∴∠DCE=90°-α
【分析】(1)延长CE交圆O于点H，连接DH，由此得∠DHC=∠DBC，∠DHC+∠ACE=90°，即得DCE的度数；
(2)①结合(1)知∠CGF=α，结合∠ABF=∠DBC得∠ABF=∠EGB，即得EB=EG；
②先得到∠A=∠ACE，作EN⊥AC，EM⊥BF，得MF=EN=3，由FB+FG=2FM，即得结果.
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