江苏省镇江市2025年中考数学试题
1．（2025·镇江）计算的结果是（ ）．
A．5 B． C．1 D．
2．（2025·镇江）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
3．（2025·镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025·镇江）2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（ ）．
A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万
5．（2025·镇江）如图所示的几何体的主视图是（ ）．
A． B． C． D．
6．（2025·镇江）一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）．
A．82 B．84 C．85 D．87
7．（2025·镇江）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）．
A．米 B．米
C．米 D．米
8．（2025·镇江）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）．
A．或 B．
C． D．
9．（2025·镇江）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）．
A． B． C． D．
10．（2025·镇江）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；…；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）．
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
11．（2025·镇江）如果汽车加油30升记作+30升，那么用去油10升，记作 ．
12．（2025·镇江）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是 ．
13．（2025·镇江）分解因式：x2+5x＝ ．
14．（2025·镇江）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
15．（2025·镇江）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ．
16．（2025·镇江）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ．
17．（2025·镇江）计算：．
18．（2025·镇江）解方程：．
19．（2025·镇江）如图，已知，边与分别交于点与交于点．求证：．
20．（2025·镇江）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
21．（2025·镇江）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？
22．（2025·镇江）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个 43.2 45.3 53.0 69.6 79.8 92.1 104.5
（1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；
（2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似地表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
23．（2025·镇江）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
（1）求点、的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为 、 ．
24．（2025·镇江）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）已知，在你所作的中，若，求的长．
25．（2025·镇江）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有 个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有 个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是 ．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是 （写出一种即可）．
26．（2025·镇江）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图象的生长点．
（1）二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图象有生长点的的值是 ；
②已知是该函数图象的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
（2）二次函数（h、k为常数）的图像经过点（6，1），若是该函数图象的生长点，求该函数的表达式．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】-2+3=3-2=1.
答案：C.
【分析】异号相加，用绝对值相减，符号与绝对对值大的相同.
2．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】2x-4≥0得x≥2.
答案：A.
【分析】根据二次根式被开方数非负，可得关于x的不等式，求解不等式即可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】对A选项，，故A正确；
对B选项，，故B错误；
对C选项，，故C错误；
对D选项，，故D错误；
答案：A.
【分析】分别根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法规则进行判断，即可得结果.
4．【答案】B
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解： 55510800 = 5551.0800×104=5551.08万，
故选：B.
【分析】根据"个"与"万"之间的关系：1万=104个，进行转化即可.
5．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体知，A选项为左视图，C为俯视图，D为主视图.
故选：D.
【分析】由主视图的观察角度，再对照各选项即知结果.
6．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为80，82，82，84，85，87，90，中间的数为84，故中位数为84.
故选：B.
【分析】先将数据从到大排列，中间的数即为中位数.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在直角三角形中，sin10°=，得h=120sin10°.
故选：D.
【分析】直接由直角三角形中边角关系可得升高的高度.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当a<0时，对于反比例函数，y随x的增大而减小，若，则a<-1；
当a>0时，此时y2>0，y1<0，明显有，故a>0满足题意；
综上所述：或 .
故选：A.
【分析】分类讨论a<0和a>0，结合反比例函数的性质求出a的取值范围即可.
9．【答案】C
【知识点】弧长的计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：连接AC，
∵l1||l2
∴∠CBD=∠ADB=35°
∵∠CAD=2∠CBD=70°
∴
故选：C.
【分析】由平行知CBD的度数，由圆心角和圆周角的关系得∠CAD的度数，代入弧长公式即得结果.
10．【答案】D
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：∵O1C1=O1B，BO1C1=120°，O1A1=O1B，
∴O1C1=O1A1，∠AO1C1=60°
∴△A1O1C1为等边三角形
∵∠O1O2O3=∠O1O2C2+∠C2O2O3=150°
∴O1O2O3...On形成正多边形，边数为
即每12次OnOn+1与BO1重合，
故第30次操作后，O30O31在第三个循环的第6个位置，恰与BO1方向相反
∵△C30O30A30为等边三角形
∴C30A30⊥BO1
故C30在A30的正北方向
故选：D.
【分析】由旋转的性质知O1O2=O2O3....=OnOn+1，∠O1O2O3=150°，形成正十二边形，即每12次OnOn+1与BO1重合，n=30时，O30O31在第三个循环的第6个位置，恰与BO1方向相反，即知C30在A30的正北方向.
11．【答案】-10升
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：加油与用去油为相反意义，故用去油10升可用-10升表示.
故填：-10升.
【分析】直接用负数表示意义相反的量即可.
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图知红色扇形的有3块，共有5块相同的面积，故指向红色区域的概率为.
故填：.
【分析】红色部分的有3个，总共5个，相比即为概率.
13．【答案】x（x+5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+5x＝x（x+5），
故答案为： x（x+5）.
【分析】利用提取公因式的计算方法提取公因式x即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意，，即，得m=.
故填：.
【分析】由判别式知，求解关于m的方程即可.
15．【答案】337.5
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：标记如下角度，对照图(1)和图(2)知∠1=90°，2∠2=90°，3y°+∠3=360°，3x°+∠3=360°
故∠1=45°，x°=y°，
由图(1)知x°+y°+∠1+∠2=360°，即x°+x°+45°+90°=360°
得x=y=112.5
故x+2y=337.5
故填：337.5
【分析】由图知∠1=90°，根据密铺的定义可列出关于x，y的方程，求解方程即可得x+2y的值.
16．【答案】9
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；梯形中位线定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】 【解答】解：延长DP至点G使PG=PD，连接BG，作DH⊥BC，PQ⊥BC，如图
∵PG=PD
∴DG=DP+PG=2DP
∵
∴DG=DM
∵D为AB的中点
∴DA=DB
∴△DAM≌△DBG(SAS)
∴BG=AM，∠DBG=∠DAM
∴∠CBG=∠CBA+∠DBG=∠CBA+∠DAM=90°
∴BG⊥BC
设AM=m，则BG=CN=m，BN=8-m
∵DH⊥BC，PQ⊥BC
∴PQ为梯形DGBH的中位线
∴PQ=
当m=2时，△PBN的面积取最大值，Smax=
故填：9.
【分析】延长DP至G，使PG=DP，则可证△DAM≌△DBG(SAS)，由中位线的性质知PQ的长度，设AM=m，则BN、PQ可表示出来，得到△PBN面积关于m的二次函数关系，当m=2时，面积取最大值.
17．【答案】解：原式=
=1-1+4
=4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】 【分析】先求出特殊角的余弦值、零指数幂、负指数幂的值，再加减运算即可得结果.
18．【答案】解：去分母得2(3-x)=4+x
6-2x=4+x
-2x-x=4-6
-3x=-2
x=
经检验，x=为方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】去分母化为整式方程，再移项合并同类项、系数化1得x的值，检验知方程的解.
19．【答案】证明：∵
∴BC=EF，∠F=∠C
∵OB=OE
∴BC-OB=EF-OE
∴OC=OF
∵在△MOF和△NOC中
∴(ASA)
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由全等的性质得BC=EF，∠F=∠C，由OB=OE得OF=OC，由此得△MOF和△NOC全等的条件.
20．【答案】解：树状图如下：
一共有12种可能的情况，含有数字2和3的有2种，故其概率P=
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】由题意列出树状图知共有12种情况，含有数字2和3的有2种，相比即为概率.
21．【答案】解：过点B作BC⊥OP于点C，则ABCO为矩形
设AB=m，则OC=m，BP=10-m，PC=9-m，
在△BCP中，由勾股定理得，
解得m=5，故折断处B离地面5尺.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】过点B作BC⊥OP于点C得到矩形ABCO和直角三角形BCP，设AB=m，则可分别求出PC和BP的长，由勾股定理即可得m的值.
22．【答案】（1）解：由题意69.6 53.0 = 16.6
16.6÷ 53 = 0.313207547 ≈ 31.32 %
故 2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率 31%
（2）解：将A、B两点坐标代入 得，解得，b= 23859.66
y=11.84x-23859.66
k的实际意义，年份每增加1年，发明专利申请授权数量的增长11.84万个.
令x=2025，y=2025×11.84-23859.66= 116.34 万
故 我国2025年发明专利申请授权数116.3万个．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)求出2021与2020年 发明专利申请授权数的差，再用差除以2020的量，即可得增长率；
(2)将A、B两点坐标代入y=kx+b，求出k、b的值，年份增加1年，数量增加11.84万个，令x=2025，求出y的值，即为2025年发明专利申请授权数.
23．【答案】（1）解：过点A作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵∠ACD+∠CAD=90°
∴∠CAD=∠BCE
∴△ACD~△CBE
∴
DC=OD+OD=1+3=4，故BE=2，
对函数，令x=-1得y=2，故A(-1，-2)即AD=2，于是CE=1，
故OE=OC+CE=4，即知B(4，2)，
代入得k=8，
故
（2）(1，-2)；(-4，-2)
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；异侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)由题意，设E(a，b)
A(-1，2)→B(4，2)，向右平移5个单位，
得D(a+5，b)，
分别将E、D坐标代入和得
解得
故E(-4，-2)，D(1，-2)
【分析】(1)作AD⊥x轴，BE⊥x轴，由一线三角得△ACD~△CBE，由此得，得DC=4，BE=2得B(4，2)，代入得k=8，即可得反比例函数的解析式；
(2)设E(a，b)由平移的性质得D(a+5，b)，将E、D分别代入相应的解析式，可得a、b的值，即得D、E的坐标.
24．【答案】（1）解：证明：连接OA，
∵MA、MB为的切线
∴OB⊥MB，OA⊥MA
∵在Rt△MOA和Rt△MOB中，
∴△MOA≌△MOB(HL)
∴∠AOM=∠BOM
∵∠BOM+∠OMB=90°，∠P+∠OMA=90°，∠BOM=∠POE
∴∠POE=∠P
∴EP=EO
故△EOP为等腰三角形
（2）解：如图，
①在MO上取点P，使OP=OM；
②过点P作PF⊥AM于点F；
③延长BO并延长，交PF延长线于点E，此时EOP为等腰三角形且OP=OF.
理由：O为MP的中点，故OF=OP
（3）解：过点O作OD⊥PE于点D，设OE与AM的交点为C
∵OP=OF，OD⊥PF
∴PD=DF=
∵∠AMB+∠BCM=90°，∠E+∠ECF=90°，∠BCM=∠ECF
∴∠E=∠AMB
，得sinCEF=，设OE=3k，则DE=3k-1，OD=
由勾股定理得，解得k=1
故OE=3
【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)由切线的性质知OB⊥MB，OA⊥MA，可证△MOA≌△MOB，由互余关系得∠POE=∠P即知△EOP为等腰三角形；
(2)取OP=OM，再作PF⊥MA，由直角三角形的性质知OP=OF；
(3)作OD⊥PF，由互余关系得∠AMB=∠E，在Rt△DOE中，设DE=3k得OD=，DE=3k-1，由勾股定理得k=1，即得OE的值.
25．【答案】（1）n1w1；n2w2；
（2）“惰轮”的作用是使动轮和主轮旋转的方向保持一致.
［发现]更换不同齿数的主动轮或从动轮
【知识点】圆的相关概念；旋转的性质；比的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意， 主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈
故每分钟啮合的齿数有 n1w1个，
从动轮每分钟转w2圈，故每分钟 啮合的齿数有个，
相同时间内 啮合的齿数相等 得n1w1=n2w2，于是；
（2）从动轮的转速为圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致.
【分析】(1)由每圈的齿数知每分钟转过的齿数，由相同时间内齿数相同可得转速之比；
(2)由(1)知相同时间转过的齿数相同可得从动轮分钟的转速.
26．【答案】（1）解：①令y=t，则有，x1=，x2=，
令t=2，得EF=4，故在线段EF左右两边都存在点P使PE+PF=6；
令t=时，EF=6，故P在线段EF上，即满足PE+PF=6；
令t=5时，EF=2>6，此时不存在点P使PE+PF=6；
故t的值为2或
②由①知当t>时，则EF>6，此时不存在点P使PE+PF=6；
t<时，EF<6，存在点P在直线上存在点P使PE+PF=6；
故当0（2）解：将点(6，1)代入得
令y=5得，，解得x=，即E(，5)，F(，5)，EF=
①当点P在线段EF上时，即EF=6，即=6，得k=，于是，解得h=5或7
h=5时，E(2，5)、F(8，5)，满足题意；h=7时，E(4，5)、F(10，5)，此时点P不在线段EF上，
故二次函数为
②当点P在EF的左侧时，PE=，PF=
PE+PF=+=6，得2h=12，h=6，
得，得k=1，此时E()，F()，满足题意；
③当点P在EF在右侧时，PE=，PF=，PE+PF=+=6
得h=0，即有，得k=-17，此时E(-2，5)，F(2，5)，P不在EF右侧，不符合题意；
综上所述：或.
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)①令y=t得x的值，分别令t=2、和5，求出EF的长，即可判断PE+PF能否为6，即可得结论；
②参考EF的长，当t>时不存在生长点，即知n的取值范围；
(2)令y=5，求出x的值，即知E、F的坐标，分类讨论点P在线段EF、在左侧和右侧时的情形，分别求出h或k，判断点P是否满足题意即可得相应的二次函数解析式.
1 / 1江苏省镇江市2025年中考数学试题
1．（2025·镇江）计算的结果是（ ）．
A．5 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】-2+3=3-2=1.
答案：C.
【分析】异号相加，用绝对值相减，符号与绝对对值大的相同.
2．（2025·镇江）使二次根式有意义的的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】2x-4≥0得x≥2.
答案：A.
【分析】根据二次根式被开方数非负，可得关于x的不等式，求解不等式即可.
3．（2025·镇江）下列运算中，结果正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】对A选项，，故A正确；
对B选项，，故B错误；
对C选项，，故C错误；
对D选项，，故D错误；
答案：A.
【分析】分别根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法规则进行判断，即可得结果.
4．（2025·镇江）2024年全市共接待国内游客约55510800人次，其中数据55510800可表示为（ ）．
A．55510.8万 B．5551.08万 C．555.108万 D．55.5108万
【答案】B
【知识点】有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】解： 55510800 = 5551.0800×104=5551.08万，
故选：B.
【分析】根据"个"与"万"之间的关系：1万=104个，进行转化即可.
5．（2025·镇江）如图所示的几何体的主视图是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体知，A选项为左视图，C为俯视图，D为主视图.
故选：D.
【分析】由主视图的观察角度，再对照各选项即知结果.
6．（2025·镇江）一组数据：82、80、82、87、90、84、85，它们的中位数是（ ）．
A．82 B．84 C．85 D．87
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为80，82，82，84，85，87，90，中间的数为84，故中位数为84.
故选：B.
【分析】先将数据从到大排列，中间的数即为中位数.
7．（2025·镇江）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（ ）．
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：在直角三角形中，sin10°=，得h=120sin10°.
故选：D.
【分析】直接由直角三角形中边角关系可得升高的高度.
8．（2025·镇江）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（ ）．
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当a<0时，对于反比例函数，y随x的增大而减小，若，则a<-1；
当a>0时，此时y2>0，y1<0，明显有，故a>0满足题意；
综上所述：或 .
故选：A.
【分析】分类讨论a<0和a>0，结合反比例函数的性质求出a的取值范围即可.
9．（2025·镇江）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：连接AC，
∵l1||l2
∴∠CBD=∠ADB=35°
∵∠CAD=2∠CBD=70°
∴
故选：C.
【分析】由平行知CBD的度数，由圆心角和圆周角的关系得∠CAD的度数，代入弧长公式即得结果.
10．（2025·镇江）如图，在等腰三角形中，，第1次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；第2次操作：取的中点，将绕点分别逆时针旋转和，得到线段和；…；按照这样的操作规律，第30次操作后，得到线段和，若用点在点的正南方向表示初始位置，则点在点的（ ）．
A．正东方向 B．正南方向 C．正西方向 D．正北方向
【答案】D
【知识点】旋转的性质；正多边形的性质；探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：∵O1C1=O1B，BO1C1=120°，O1A1=O1B，
∴O1C1=O1A1，∠AO1C1=60°
∴△A1O1C1为等边三角形
∵∠O1O2O3=∠O1O2C2+∠C2O2O3=150°
∴O1O2O3...On形成正多边形，边数为
即每12次OnOn+1与BO1重合，
故第30次操作后，O30O31在第三个循环的第6个位置，恰与BO1方向相反
∵△C30O30A30为等边三角形
∴C30A30⊥BO1
故C30在A30的正北方向
故选：D.
【分析】由旋转的性质知O1O2=O2O3....=OnOn+1，∠O1O2O3=150°，形成正十二边形，即每12次OnOn+1与BO1重合，n=30时，O30O31在第三个循环的第6个位置，恰与BO1方向相反，即知C30在A30的正北方向.
11．（2025·镇江）如果汽车加油30升记作+30升，那么用去油10升，记作 ．
【答案】-10升
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：加油与用去油为相反意义，故用去油10升可用-10升表示.
故填：-10升.
【分析】直接用负数表示意义相反的量即可.
12．（2025·镇江）如图，转盘中5个扇形的面积都相等，分别涂红色和黄色．任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向红色区域的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图知红色扇形的有3块，共有5块相同的面积，故指向红色区域的概率为.
故填：.
【分析】红色部分的有3个，总共5个，相比即为概率.
13．（2025·镇江）分解因式：x2+5x＝ ．
【答案】x（x+5）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+5x＝x（x+5），
故答案为： x（x+5）.
【分析】利用提取公因式的计算方法提取公因式x即可得到答案.
14．（2025·镇江）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】
【知识点】根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意，，即，得m=.
故填：.
【分析】由判别式知，求解关于m的方程即可.
15．（2025·镇江）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于 ．
【答案】337.5
【知识点】平面镶嵌（密铺）；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：标记如下角度，对照图(1)和图(2)知∠1=90°，2∠2=90°，3y°+∠3=360°，3x°+∠3=360°
故∠1=45°，x°=y°，
由图(1)知x°+y°+∠1+∠2=360°，即x°+x°+45°+90°=360°
得x=y=112.5
故x+2y=337.5
故填：337.5
【分析】由图知∠1=90°，根据密铺的定义可列出关于x，y的方程，求解方程即可得x+2y的值.
16．（2025·镇江）如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得．当面积最大时，的长等于 ．
【答案】9
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；梯形中位线定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】 【解答】解：延长DP至点G使PG=PD，连接BG，作DH⊥BC，PQ⊥BC，如图
∵PG=PD
∴DG=DP+PG=2DP
∵
∴DG=DM
∵D为AB的中点
∴DA=DB
∴△DAM≌△DBG(SAS)
∴BG=AM，∠DBG=∠DAM
∴∠CBG=∠CBA+∠DBG=∠CBA+∠DAM=90°
∴BG⊥BC
设AM=m，则BG=CN=m，BN=8-m
∵DH⊥BC，PQ⊥BC
∴PQ为梯形DGBH的中位线
∴PQ=
当m=2时，△PBN的面积取最大值，Smax=
故填：9.
【分析】延长DP至G，使PG=DP，则可证△DAM≌△DBG(SAS)，由中位线的性质知PQ的长度，设AM=m，则BN、PQ可表示出来，得到△PBN面积关于m的二次函数关系，当m=2时，面积取最大值.
17．（2025·镇江）计算：．
【答案】解：原式=
=1-1+4
=4
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】 【分析】先求出特殊角的余弦值、零指数幂、负指数幂的值，再加减运算即可得结果.
18．（2025·镇江）解方程：．
【答案】解：去分母得2(3-x)=4+x
6-2x=4+x
-2x-x=4-6
-3x=-2
x=
经检验，x=为方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】去分母化为整式方程，再移项合并同类项、系数化1得x的值，检验知方程的解.
19．（2025·镇江）如图，已知，边与分别交于点与交于点．求证：．
【答案】证明：∵
∴BC=EF，∠F=∠C
∵OB=OE
∴BC-OB=EF-OE
∴OC=OF
∵在△MOF和△NOC中
∴(ASA)
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】由全等的性质得BC=EF，∠F=∠C，由OB=OE得OF=OC，由此得△MOF和△NOC全等的条件.
20．（2025·镇江）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、5、7，这些球除数字外都相同．从袋子中随机摸出2个球，用列表或画树状图的方法，求摸出标有数字2和3的两个球的概率．
【答案】解：树状图如下：
一共有12种可能的情况，含有数字2和3的有2种，故其概率P=
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】由题意列出树状图知共有12种情况，含有数字2和3的有2种，相比即为概率.
21．（2025·镇江）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？
【答案】解：过点B作BC⊥OP于点C，则ABCO为矩形
设AB=m，则OC=m，BP=10-m，PC=9-m，
在△BCP中，由勾股定理得，
解得m=5，故折断处B离地面5尺.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】过点B作BC⊥OP于点C得到矩形ABCO和直角三角形BCP，设AB=m，则可分别求出PC和BP的长，由勾股定理即可得m的值.
22．（2025·镇江）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国2018—2024年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到0.1）：
（年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
万个 43.2 45.3 53.0 69.6 79.8 92.1 104.5
（1）计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到1%）；
（2）小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似地表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数．
【答案】（1）解：由题意69.6 53.0 = 16.6
16.6÷ 53 = 0.313207547 ≈ 31.32 %
故 2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率 31%
（2）解：将A、B两点坐标代入 得，解得，b= 23859.66
y=11.84x-23859.66
k的实际意义，年份每增加1年，发明专利申请授权数量的增长11.84万个.
令x=2025，y=2025×11.84-23859.66= 116.34 万
故 我国2025年发明专利申请授权数116.3万个．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)求出2021与2020年 发明专利申请授权数的差，再用差除以2020的量，即可得增长率；
(2)将A、B两点坐标代入y=kx+b，求出k、b的值，年份增加1年，数量增加11.84万个，令x=2025，求出y的值，即为2025年发明专利申请授权数.
23．（2025·镇江）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，．
（1）求点、的坐标和反比例函数的表达式；
（2）点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为 、 ．
【答案】（1）解：过点A作AD⊥x轴，BE⊥x轴，
∵AC⊥BC
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵∠ACD+∠CAD=90°
∴∠CAD=∠BCE
∴△ACD~△CBE
∴
DC=OD+OD=1+3=4，故BE=2，
对函数，令x=-1得y=2，故A(-1，-2)即AD=2，于是CE=1，
故OE=OC+CE=4，即知B(4，2)，
代入得k=8，
故
（2）(1，-2)；(-4，-2)
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；异侧一线三垂直全等模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)由题意，设E(a，b)
A(-1，2)→B(4，2)，向右平移5个单位，
得D(a+5，b)，
分别将E、D坐标代入和得
解得
故E(-4，-2)，D(1，-2)
【分析】(1)作AD⊥x轴，BE⊥x轴，由一线三角得△ACD~△CBE，由此得，得DC=4，BE=2得B(4，2)，代入得k=8，即可得反比例函数的解析式；
(2)设E(a，b)由平移的性质得D(a+5，b)，将E、D分别代入相应的解析式，可得a、b的值，即得D、E的坐标.
24．（2025·镇江）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）已知，在你所作的中，若，求的长．
【答案】（1）解：证明：连接OA，
∵MA、MB为的切线
∴OB⊥MB，OA⊥MA
∵在Rt△MOA和Rt△MOB中，
∴△MOA≌△MOB(HL)
∴∠AOM=∠BOM
∵∠BOM+∠OMB=90°，∠P+∠OMA=90°，∠BOM=∠POE
∴∠POE=∠P
∴EP=EO
故△EOP为等腰三角形
（2）解：如图，
①在MO上取点P，使OP=OM；
②过点P作PF⊥AM于点F；
③延长BO并延长，交PF延长线于点E，此时EOP为等腰三角形且OP=OF.
理由：O为MP的中点，故OF=OP
（3）解：过点O作OD⊥PE于点D，设OE与AM的交点为C
∵OP=OF，OD⊥PF
∴PD=DF=
∵∠AMB+∠BCM=90°，∠E+∠ECF=90°，∠BCM=∠ECF
∴∠E=∠AMB
，得sinCEF=，设OE=3k，则DE=3k-1，OD=
由勾股定理得，解得k=1
故OE=3
【知识点】等腰三角形的判定；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)由切线的性质知OB⊥MB，OA⊥MA，可证△MOA≌△MOB，由互余关系得∠POE=∠P即知△EOP为等腰三角形；
(2)取OP=OM，再作PF⊥MA，由直角三角形的性质知OP=OF；
(3)作OD⊥PF，由互余关系得∠AMB=∠E，在Rt△DOE中，设DE=3k得OD=，DE=3k-1，由勾股定理得k=1，即得OE的值.
25．（2025·镇江）为什么变速自行车会“变速”？
变速自行车是常用的交通工具，图（1）所示的是某型号变速自行车的基本结构，图中处分别有几个大小不同的齿轮，链条连接的两个齿轮称为主动链轮、从动链轮．
［探究]为了便于研究主动链轮与从动链轮的关系，我们先探究一组相互啮合的两个齿轮（如图（2）），通过操作发现：两个齿轮如果可以实现传动，那么两个齿轮的齿距（相邻两齿在圆上的弧长）相等，相同时间内啮合的齿数相等．
（1）已知主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有 个，从动轮每分钟转圈，则每分钟啮合的齿数有 个，由于相同时间内啮合的齿数相等，从而可推出与的关系是 ．
（2）如图（3），在主动轮与从动轮之间加入一个“惰轮”形成新的齿轮组合，已知主动轮、从动轮的齿数分别为32齿和14齿．
若主动轮的转速为每分钟70圈，求从动轮的转速，并说一说图（3）的齿轮组合在实现传动时，“惰轮”的作用是什么？
［发现]不难发现，变速自行车中的链条作用如同“惰轮”．若骑行者每分钟蹬的圈数不变，实现自行车“变速”的方法可以是 （写出一种即可）．
【答案】（1）n1w1；n2w2；
（2）“惰轮”的作用是使动轮和主轮旋转的方向保持一致.
［发现]更换不同齿数的主动轮或从动轮
【知识点】圆的相关概念；旋转的性质；比的应用
【解析】【解答】解：（1）由题意， 主动轮、从动轮的齿数分别为、，主动轮每分钟转圈
故每分钟啮合的齿数有 n1w1个，
从动轮每分钟转w2圈，故每分钟 啮合的齿数有个，
相同时间内 啮合的齿数相等 得n1w1=n2w2，于是；
（2）从动轮的转速为圈，“惰轮”的作用是使从动轮与主动轮旋转的方向保持一致.
【分析】(1)由每圈的齿数知每分钟转过的齿数，由相同时间内齿数相同可得转速之比；
(2)由(1)知相同时间转过的齿数相同可得从动轮分钟的转速.
26．（2025·镇江）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与二次函数（、为常数）的图像交于点、（点在点的左侧），点在直线上，当点满足时，我们称点是该二次函数图象的生长点．
（1）二次函数的图像如图所示．
①在的不同取值2、、5中，使该函数图象有生长点的的值是 ；
②已知是该函数图象的生长点，猜想的取值范围，并说明理由．
（2）二次函数（h、k为常数）的图像经过点（6，1），若是该函数图象的生长点，求该函数的表达式．
【答案】（1）解：①令y=t，则有，x1=，x2=，
令t=2，得EF=4，故在线段EF左右两边都存在点P使PE+PF=6；
令t=时，EF=6，故P在线段EF上，即满足PE+PF=6；
令t=5时，EF=2>6，此时不存在点P使PE+PF=6；
故t的值为2或
②由①知当t>时，则EF>6，此时不存在点P使PE+PF=6；
t<时，EF<6，存在点P在直线上存在点P使PE+PF=6；
故当0（2）解：将点(6，1)代入得
令y=5得，，解得x=，即E(，5)，F(，5)，EF=
①当点P在线段EF上时，即EF=6，即=6，得k=，于是，解得h=5或7
h=5时，E(2，5)、F(8，5)，满足题意；h=7时，E(4，5)、F(10，5)，此时点P不在线段EF上，
故二次函数为
②当点P在EF的左侧时，PE=，PF=
PE+PF=+=6，得2h=12，h=6，
得，得k=1，此时E()，F()，满足题意；
③当点P在EF在右侧时，PE=，PF=，PE+PF=+=6
得h=0，即有，得k=-17，此时E(-2，5)，F(2，5)，P不在EF右侧，不符合题意；
综上所述：或.
【知识点】二次函数y=ax²的性质；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】(1)①令y=t得x的值，分别令t=2、和5，求出EF的长，即可判断PE+PF能否为6，即可得结论；
②参考EF的长，当t>时不存在生长点，即知n的取值范围；
(2)令y=5，求出x的值，即知E、F的坐标，分类讨论点P在线段EF、在左侧和右侧时的情形，分别求出h或k，判断点P是否满足题意即可得相应的二次函数解析式.
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