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九上数学期中模拟试题
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．下列各式中，是关于的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．袋中有黑球6个，白球有若干个，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，则袋中有白球（ ）
A．3个 B．2个 C．4个 D．5个
3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．当时，y随x增大而增大
C．对称轴是直线 D．y有最小值是3
4．如图，的直径垂直于弦，垂足为．若，，则圆半径长是（ ）
A．2 B． C． D．
5．抛物线与x轴的一个交点坐标为，则方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．质地均匀的一个红球和一个白球随机放入三个不同的盒子中，则恰好有一个盒子为空的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．已知直线y＝kx＋1与抛物线y＝x2交于点A、B，与抛物线y＝x2＋2x－1交于点C、D．若AB＝CD，则k的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．－2
9．如图，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E,F分别是AD，BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知二次函数；的图象如图所示，有下列结论：
①； ②； ③； ④；
⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2． 其中正确的为 （ ）
A．①② B．③④ C．③⑤ D．④⑤
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．若抛物线的图象与抛物线的图象关于轴对称，则函数与轴的交点坐标为___________
12．如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ．
13．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，则 ．
14．如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是 ．
15．有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数当时，随的增大而减小的概率为______________
16．已知二次函数的图象如图，有下列4个结论：①；②；③；④（的实数）其中正确的结论有 （填序号）．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题8分）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
(1)直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
(2)小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
18．（本题8分）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，求平移后的二次函数的表达式．
19．（本题8分）如图，，交于点，，是半径，且于点．
(1)求证：，(2)若，，求的半径．
20．（本题8分）在一只不透明的口袋里装有黑白两种颜色的20个小球，且只有颜色不同．某学习小组做摸小球试验将球搅拌均匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组数据
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 116 290 480 601
摸到白球的频率 0.59 0.64 0.58 a 0.60 0.601
(1)上表中的________．(2)摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.1）．
(3)请问：若摸到白球的概率是（2）中的情况时，再添加4个黑球，此时摸到白球的概率又是多少呢？
21．（本题8分）如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．
（1）求此抛物线的解析式；（2）求△BCD的面积．
22.（本题10分）如图1，是的直径，点D为下方上一点，
点C为弧的中点，连结，，． （1）求证：平分．
(2) 如图2，延长，相交于点E．①求证：．②若，，求的半径．
23．（本题10分）如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8），与直线y=x﹣4交于B，D两点
（1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标；
（2）点P为直线BD下方抛物线上的一个动点，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）点Q是线段BD上异于B、D的动点，过点Q作QF⊥x轴于点F，交抛物线于点G，当△QDG为直角三角形时，直接写出点Q的坐标．
24．（本题12分）如图1，内接于，点为上一点，点为的中点，连结BF并延长与AE交于点，连结AF，CF
（1）求证： ∠AFC=∠AFG
（2）如图 2，当 BG 经过圆心0时，
①求 FG 的长；.②记△AFG，△BFC的面积分别为,则
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九上数学期中模拟试题答案
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：C
解析：A．不是二次函数，不符合题意；
B．不是二次函数，不符合题意；
C．是二次函数，符合题意；
D．不是二次函数，不符合题意．
故选择：C．
2.答案：C
解析：∵通过多次摸球实验发现，摸到白球的频率稳定在附近，
∴袋中得到白球的概率为，
∴袋中得到黑球的概率为：，
∵袋中有黑球6个，
∴袋中球的总个数为：个，
∴袋中有白球：个；
故选择：C；
3.答案：B
解析：二次函数为，
∵，
∴函数图象开口向下，故A错误；
∵二次函数为对称轴为直线，且开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，故B正确，C错误；
∵二次函数的顶点为，且开口向下，
∴y有最大值是3，故D错误；
故选择：B．
4.答案：C
解析：如图，连接，设半径为
∵的直径垂直于弦，
∴
∵，，
∴
∴
∵，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
故选择：C．
5.答案：B
解析：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
把代入得，
，可得，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标，
∴方程的根是，．
故选择：B．
6.答案：C
解析：将三个盒子分别记为1，2，3，
共有9种等可能性结果，其中恰好有一个盒子为空的结果有6种，故恰好有一个盒子为空的概率为．
故选择：C．
7.答案：B
解析：如图，连接、，
由题意可得，，
点B是的中点，
，
，
点是点B关于所在直线的对称点，
，
，
又，
．
故选择：B．
8.答案：A
解析：设点A，B的横坐标为，，则，是方程 x2 -kx-1=0的两根，
∴x1+x2=k，x1x2=-1，
∴，
同理，
∵ AB＝CD，
∴，
即，
解得：k=2，
故选择：A.
9.答案：C
解析：如下图，延长，交于点，，
∵边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，
∴图中阴影部分的面积．
故选择：C．
10.答案：B
解析：∵图象开口向下，
∴，
∵对称轴在轴的右侧，a与b异号，
∴，
∵与轴交于正半轴，
∴，
∴，
故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则．
∴，
故②错误；
∵当时，．即．故③正确；
∵时函数有最大值，
∴当时的y值大于当时的y值，
即
∴成立，故④正确．
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误．
综上：③④正确．
故选择：B．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：
解析：∵抛物线的图象与抛物线的图象关于y轴对称，
∴函数的解析式为：,
令，得，
即函数与轴的交点坐标为．
故答案为：．
12.答案：
解析：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的扇形面积，
故答案为：．
13.答案：
解析：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故答案为：．
14.答案：
解析：∵，
∴，
∴，
∴，点M为的中点，
∵点O为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵的半径是6，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
故答案为：．
15.答案：
解析：有实数根，
，
又，
对称轴为：，
时，随增大而减小，
综上，
可取0，2，
∴，
故答案为：．
16.答案：②③④．
解析：①二次函数的图象开口方向向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，
，
，
，故①错误，不符合题意；
②二次函数的图象与轴的右侧交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，故②正确，符合题意；
③二次函数的图象与轴的交点在的右边，图象开口方向向下，
当时，，
，
∵，
，
∵，
，
，故③正确，符合题意；
④二次函数的图象的对称轴为直线，
当时，取最大值，最大值为，
当时，，
，故④正确，符合题意；
综上所述：正确的结论有：②③④，
故答案为：②③④．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
18.解：（1）依题意，把点，分别代入中，
得到方程组，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）得，
则
∵该二次函数图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位．
∴．
19.解析：（1）证明：，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，
设的半径是，
，，
，，
，
，
，
，
，
的半径是．
20.解析：（1）表中，
故答案为：0.58；
（2）解：根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6，
所以摸到白球的概率的估计值是0.6，
故答案为：0.6；
（3）解：（2）中情况下，白球的个数为：（个），
添加4个黑球后，摸到白球的概率为：，
即此时摸到白球的概率是．
21.解析：（1）抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式，
把点代入得，，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为；
令，则，
或，
，；
，
.
22.解析：（1）证明∵点C为弧的中点，
∴，
∴，，
∴平分；
（2）①证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
②如图2，连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为r，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
∴的半径为5．
23.解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标是A（﹣2，0）、B（4，0），
∴设该抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
将点C（0，﹣8）代入函数解析式代入，得a（0+2）（0﹣4）=﹣8，
解得a=1，
∴该抛物线的解析式为：y=（x+2）（x﹣4）或y=x2﹣2x﹣8．
联立方程组：
解得（舍去）或，
即点D的坐标是（﹣1，﹣5）；
（2）如图所示：
过点P作PE∥y轴，交直线AB与点E，设P（x，x2﹣2x﹣8），则E（x，x﹣4）．
∴PE=x﹣4﹣（x2﹣2x﹣8）=﹣x2+3x+4．
∴S△BDP=S△DPE+S△BPE=PE （xp﹣xD）+PE （xB﹣xE）=PE （xB﹣xD）=（﹣x2+3x+4）=﹣（x﹣）2+．
∴当x=时，△BDP的面积的最大值为．
∴P（，﹣）．
（3）（2，﹣2）或（3，﹣1）．
【解析】
解：（3）设直线y=x﹣4与y轴相交于点K，则K（0，﹣4），设G点坐标为（x，x2﹣2x﹣8），点Q点坐标为（x，x﹣4）．
∵B（4，0），
∴OB=OK=4．
∴∠OKB=∠OBK=45°．
∵QF⊥x轴，
∴∠DQG=45°．
若△QDG为直角三角形，则△QDG是等腰直角三角形．
①当∠QDG=90°时，过点D作DH⊥QG于H，
∴QG=2DH，QG=﹣x2+3x+4，DH=x+1，
∴﹣x2+3x+4=2（x+1），解得：x=﹣1（舍去）或x=2，
∴Q1（2，﹣2）．
②当∠DGQ=90°，则DH=QH．
∴﹣x2+3x+4=x+1，解得x=﹣1（舍去）或x=3，
∴Q2（3，﹣1）．
综上所述，当△QDG为直角三角形时，点Q的坐标为（2，﹣2）或（3，﹣1）．
故答案为：（2，﹣2）或（3，﹣1）.
24.解析：（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
又∵∠ACB=∠AFB
∴∠ABC=∠AFB
∵∠AFG+∠AFB=180
∵∠AFC+∠ABC=180
∴∠AFG=∠AFC
（2）解：①连结 AO，延长 AO 交 BC 于点 M
∵点 F 为的中点
∴∠FAE=∠CAF
又∵AF=AF，∠AFG=∠AFC
∴△AFC≌△AFG
∴FG=FC
∵AB=AC
∴∠AOB=∠AOC
∴∠BOM=∠COM
又∵BO=CO
∴AM⊥BC
设则在 中， 有
解得
，点 O 为 BF 的中点
∴
；
②连接FM
∵AM⊥BC，FC⊥BC
∴AM||CF
∴S△AFC=S△MFC
∵M为BC的中点
∴S△MCF：S△BCF=1：2
∴ 1：2=
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