第二十四章 圆--切线 重点题型梳理 专题练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--切线 重点题型梳理 专题练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、切线的判定定理的认识
下列判断正确的是（ ）
A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆
C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线
2． 下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、切线的判定条件
3． 如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（ ）
A． B．
C． D．与的交点是中点
4． 如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （ ）
A． B．
C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径
5． 如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6． 在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
三、证明直线的圆的切线
如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线．
如图，在中，是直径，是弦，F是上一点，，交于点C，D为延长线上一点，且．求证：是的切线．
如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线．
如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线；
如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线．
四、先添加条件再证明是圆的切线
如图，已知直线经过上的点C，有下列条件：①；②直线是的切线；③．请任意选择其中两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明．
已知：内接于，过点A作直线．
(1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①___________；②_____________．
(2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线．
五、切线与作图问题
如图，已知（）．

(1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）；
(2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）．
16． 已知是外一点．
(1)如图1，过点作的一条切线，切点为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)在（1）的条件下，若是的中点，且，求证：点在上．
综合练
1．如图，等边内接于，是的直径，过点作的切线，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
2．如图，内接于，，，与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
3．如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
4．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径．
5．如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径
6．如图，在中，，以为直径的⊙O交BC于点D，，垂足为点E．
(1)求证：直线与相切：
(2)当时，求线段的长．
7．如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
(1)求的度数；
(2)若，求阴影部分面积．
8．如图，在中，．以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若交于点，求的值．
9．（1）如图，已知是上的四个点，交于点，连接．求证：平分；
（2）如图，与相切于点与相切于点．求的半径．
10．如图，，是的直径，过弦的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
11．如图，是的直径，E是延长线上的一点，是的切线，C是切点，D是上的一个点，连接．
(1)求证：．
(2)若，则的长为______．
答案
一、切线的判定定理的认识
1． 解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意；
B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意，
故选：C．
解：等弧所对的弦相等，说法①正确；
垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误；
同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误；
直径所对的圆周角是直角，说法④正确；
垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误．
综上所述，正确的命题有①④，共计2个．
故选：C．
二、切线的判定条件
3．
解：A、，
，
，
点B在上，
是的半径，
是切线；
B、，
，
，
，
，
点B在上，
是的半径，
是切线；
C、，
是直角三角形，，
，
点B在上，
是的半径，
是切线；
D、与的交点是中点，
不能证出，
因此不能判定是切线；
故选：D．
4． 解：是的直径，且是的切线
又
直线与相切
故选项A、B可以判定，不符合题意；
C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意；
D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意；
故选：D．
解：A、∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵，
∴，则，
∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，
∴是等腰三角形，无法确定，
∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意．
故选：D．
解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
三、证明直线的圆的切线
8． 解：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径
∴是的切线；
9． 证明：，
．
又，
，
即，
，
是的切线．
证明：连接，
∵是的直径，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
是半径，
∴是的切线．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
证明：连接，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，又为的半径，
∴是的切线．
四、先添加条件再证明是圆的切线
13． 解：①②为条件，③为结论；证明如下：
连接，如图所示：
∵直线是的切线；
∴，
∵，
∴；
①③为条件，②为结论；证明如下：
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵直线经过上的点C，
∴为半径，
∴直线是的切线；
②③为条件，①为结论；证明如下：
连接，如图所示：
∵直线是的切线；
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
14． （1）解：①当(或)可判断为的切线；
②当，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一)
（2）证明：如图，作直径，连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴为的切线；
五、切线与作图问题
15． （1）如图所示，即为所求

∵是的平分线，，
∴点到的距离等于到的距离，
∴与、所在直线相切
（2）如图所示，即为所求作的图形

（1）如图，取的中点B，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点C，作直线，
则直线即为所求．
理由：如图，连接，
由作法得：，
∵B为中点，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
即，
∵为的半径，
∴与相切；
（2）证明：（1）得，．
设，则．
∵B是线段的中点，
∴， ，
由勾股定理得，，
即的半径为x，
∴的长等于的半径的长，
∴点B在上．
综合练
1．(1)见解析
(2)
本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；
（1）连接，先根据是等边三角形，得出，则得出，进而根据同弧所对的圆周角相等得出，则，再证明，进而根据切线的性质得出可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得证；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质求得，进而在中，勾股定理，即可求解．
（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
又∵是的切线，
∴
∴
在中，
∴；
（2）解：如图
∵
∴
∴，
在中，
∴
∴，
由（1）可得
∴
∵
∴
∴
∴
∴
在中，
2．(1)见解析
(2)
本题考查了圆切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，先根据垂径定理可得垂直平分，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的性质即可得证；
（2）连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据含度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得．
（1）证明：如图，连接，
，
，
垂直平分，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
，，
，
，
由（1）已证，
，
，
．
3．(1)见解析
(2)
本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键．
（1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论；
（2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
4．(1)证明见解析
(2)3
（1）连接，由知，则，由可证，根据得，得证；
（2）设，在中由勾股定理求得
（1）证明：连接，
，
．
．
，
．
．
．
，
，
又是半径．
是的切线．
（2）解：设，
，
．
在中，
，，，
．
解得．
的半径是3．
本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．
5．(1)见解析
(2)的半径为3
本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；
（1）连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证；
（2）由勾股定理可得，设的半径为r，则，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
（1）证明：连接．
，
．
，
．
是的切线，
，即．
在中，，
．
．
．
（2）解：在中，，，，
．
．
在中，，设的半径为r，则，，
．
解得．即的半径为3．
6．(1)见解析
(2)
本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
（1）连接，由等腰三角形的性质得出，，得出，进而得出，由，得出，即可证明是的切线；
（2）先求出，再由勾股定理求出，最后再用面积法求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）为直径，
，
∵，
为中点，
∴，
∴，
∵在直角中，，
∴，
解得．
7．(1)
(2)
（1）连接，，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质得到，， 结合三角形外角的性质得到，由直角三角形的两锐角互余即可求出的度数，进而得到的度数， 从而证得是等边三角形， 得到的度数， 由圆周角定理即可得到的度数；
（2）先证， 根据等角对等边得到， 从而可求出的长度，利用勾股定理即可求得 的长度 ， 从而根据列式计算即可．
（1）解：如图所示，连接，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
， 即，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：如图所示，
由（1）可知，， 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，扇形面积、三角形面积的计算，正确作出辅助线是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
（1）连接，求出，求出，根据切线的判定得出即可；
（2）由可得，；连接，由是直径可知，根据勾股定理求出，解直角三角形即可求出答案．
（1）证明：如图，连接．
．
，
．
．
又是的半径，是的切线．
（2）解：如图，连接．
是的直径，
．
，
，
．
在中，．
由（1），得．
，
．
9．（1）见解析；
（2）．
（1）等弦对等弧，进而证明角相等，可证平分；
（2）通过切线的性质得到，再结合，可证明四边形为正方形，即可求出的半径．
解：（1）证明：，
，
，
平分．
（2）与相切于点与相切于点，
．
四边形为正方形，
，即的半径为4．
10．(1)详见解析
(2)
本题考查垂径定理，切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明，，继而推导出，得到，则，即可解答；
（2）连接，由（1）得到，推导出，，，根据勾股定理，得到，由的面积，求出，则，即可解答．
（1）证明：为的直径，过弦的中点，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，由（1）得：，
是的直径，
，，
，
为的切线，
，
，
的面积，
，
．
11．(1)见解析
(2)
（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，进而求出，再根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
（1）证明：连接，如图．
是的切线，则，
．
，
．
（2）解：．
，
四边形是平行四边形，
．
由（1）可知，，则，
．
在中，，则，
．
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