第二十四章 圆--切线长定理 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--切线长定理 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、利用切线长定理求线段
1． 如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．
2． 如图，直线分别与相切于点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ．
如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长．
5．如图，，O是上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，且．求：
(1)的半径．
(2)的长．
6．一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点．
(1)求的长度；
(2)求M、N两点的距离．
二、利用切线长定理求角度
7．如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的切线，为切点，是的直径，若，则的度数为 ．
10．如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为 ．
11．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数．
三、利用切线长定理求周长
12．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（ ）.
A．7 B．1 C．10 D．14
13．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
14．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ．
15．如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ．
16．如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ．
17．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长．
18．已知：为直径，，分别切于，，切于，，．
(1)求证：；
(2)求四边形的周长．
四、切线长定理的有关计算与证明
19．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证．
20．如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，与交于点，若，求证：．
21．如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C．
(1)求证∶．
(2)若，连接，求证：四边形是菱形．
综合练
一、单选题
1．如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，若，则的周长为（　　）
A．10 B．12 C．16 D．20
2．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线，，分别与相切于点，，，且，，．则的直径为（ ）．
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．如图，为外一点，分别切于点切于点，分别交于点．
（1）若，则的周长为 ；
（2）若，连接，则 °．
6．如图，已知是的内切圆，切点分别为D，E，F，若，，且的面积为6，则内切圆的半径r为 ．
7．如图，在中，，．与边、、分别相切于点、、，与边交于点，则的长度是 ．
8．如图，，，分别切于点．若，则的周长为 ；若，则 ．
9．如图，、是切线，切点为、，、在上，若，则为 ．
10．锐角三角形的内心为I，，则的周长为 ．
三、解答题
11．如图，为的直径，，分别切于点，，交的延长线于点，的延长线交于点，于点．若，．
(1)求证：；
(2)求的半径长．
12．停车楔（如图①）是一种固定汽车轮胎的装置，小明据此抽象出如图②所示的图形．停车楔为直角三角形，边与轮胎相切于点D，轮胎与地面相切于点E，连接，．
(1)求的度数．
(2)若，求轮胎的直径．
13．如图，是的内切圆，与分别相切于点，．
(1)求的三个内角的大小；
(2)设的直径为，证明：．
14．如图，直线、、分别与相切于、、，且，，．求：
(1)的度数；
(2)的长；
(3)的半径．
15．如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
16．已知内接四边形中，平分．
(1)如图1，若相交于E，求证：．
(2)如图2，连接交于F．若，求的半径．
(3)如图3，若为直径，，求的内心与点O的距离．
答案
一、利用切线长定理求线段
1． 解：∵与分别相切，
∴；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故选：B．
解：连接，
直线分别与相切于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：D ．
解：∵、为的切线，，
∴；
∵、为的切线，
∴；
∵，
∴．
故答案为：2．
解：设，
∵的内切圆分别和切于点D，E，F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
（1）解：如图，连接．
与相切于点D，
．设的半径为．
在中，，解得，
的半径为．
（2）解：由题意，得是的切线．
是的切线，．
设，则．
由（1），得．
在中，，解得，
的长为．
（1）解：如图，连接，
由题意可得，均是的切线，
∴，
∵米，米，
∴米，
∴米，
即的长度为米；
（2）设线段与相交于点，
∵均是的切线，
∴,
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∴米，
∴米，
故M、N两点的距离为米．
二、利用切线长定理求角度
7． 解：、分别与相切于点、，
，，
，
，
，
是的直径，
，
，
故选：C．
解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
9． 解：∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
解：∵，是圆的切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
解：∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、利用切线长定理求周长
12． 解：的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，，
，
的周长为：
故选：D．
解：∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
又∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
同理，∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
．
∴．
又∵，
∴．
∵的周长为，即，
∴，可得，
解得．
故选：C
解：、切于、，切于，
，，；
的周长．
故答案为：．
15． 解：连接、．
和是的切线，
，，，
则四边形是正方形．
，
又是切线，
，，
的周长
．
故答案是：4．
解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H，
则，，且，
∴，
∵，，且的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：21．
解：∵是的切线，
∴；
∵过点C的切线分别交于点D、E，
∴；
∵的周长20，
∴，
∴，
即，
∴．
（1）解：连结，
分别切于，切于，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
由（1）知，
，
，
，
四边形的周长为．
四、切线长定理的有关计算与证明
19． 证明：连接，
∵射线，与相切，切点分别为A，B，
∴，平分，
∴垂直平分，
∵的延长线交于点C，
∴．
20． （1）证明：根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（1）证明：如图，连接，
∵是直径，
∴
即
∵为的切线，
∴，
即．
∴，
∵
∴，
∴．
（2）连接，连接，如图，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴
∵为的切线，
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴四边形是菱形．
综合练
1．D
本题考查切线长定理，根据题意可知从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，继而得到，继而求出本题答案．
解：∵分别切于点A、B，切于点E，分别与交于点C、D，
∴，
∵的周长：，，，
∴，
故选：D．
2．D
本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．
解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
3．D
本题考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解．
解：连接，
根据切线长定理得：，，，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴
∴的直径为．
故选：D．
4．D
本题考查切线的性质，矩形的性质，勾股定理. 连接，，，，证明四边形，是正方形，结合切线的性质和矩形的性质，得到
，结合勾股定理求出，即可得到的长.
解：连接，，，，如图所示，
在矩形中，
∵，，
∵，，分别与相切于，，三点，
∴，
∴四边形，是正方形，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴.
故选：D．
5． 12 60
本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型．
（1）根据切线长定理，即可得到，，，从而求得三角形的周长等于；
（2）连接、、根据切线性质，，再根据全等三角形可知，即可求得答案．
解：（1）∵分别切于点切于点，
∴，，，
∴的周长为：，
即的周长为．
（2）如图，连接，，，
∵分别切于点，
∴，
∵四边形内角和为，且，
∴，
在和中，
∴，
∴．
故答案为：，．
6．1
此题主要考查了切线长定理以及直角三角形内切圆半径求法，根据切线长定理得出是直角三角形是解题关键．根据切线长定理得出，进而得出是直角三角形，再利用直角三角形内切圆半径求法得出内切圆半径即可．
解：∵是的内切圆，切点为D、E、F，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴是直角三角形，
∴内切圆的半径，
故答案为：1．
7．
如图所示，连接，，，，首先推出点F，O，C三点共线，即是的直径，然后求出，然后由切线长定理得到，，勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求出，然后利用勾股定理求解即可．
解：如图所示，连接，，，，
∵与边、、分别相切于点、、，
∴，，
∵四边形是平行四边形
∴，，，
∴点F，O，C三点共线，即是的直径
∵
∴
∴
∵与边、、分别相切于点、、，
∴，
∴
∵
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
8．
本题考查了角平分线的判定，三角形内角和定理，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角，掌握切线长定理是解答本题的关键．
（1）根据切线长定理，由，，分别切于，，点得，，，然后三角形周长的定义得到的周长，然后用等线段代换后得到的周长，即可解答；
（2）由三角形内角和定理得到，则，连接，根据角平分线的判定得到平分，平分，则，再由三角形内角和定理即可求解．
解：（1），，分别切于，，点，
，，，
的周长
；
（2）∵，
∴，
∴
，
连接，
∵，，分别切于点，
∴，
∵，
∴平分，平分，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
9．/度
本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．连接，根据圆内接四边形的性质得到，根据切线长定理得出：，则，根据角的和差即可求出答案．
解：连接，
、是的切线，切点为A、D，点B、C在上，
四边形是的内接四边形，
，
、是的切线，切点为A、D，
根据切线长定理得出：，
，
，
，
故答案为：．
10．/
本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理，含有角的直角三角形的性质、勾股定理．求出，再求出，解求出及，再根据切线的性质即可求出的周长．
解：如图，
设的内切圆与三边切于、、，
由切线长定理可知．
连接、、，则．
∵，
．
由题可知、、分别是三角形三个角的角平分线，
，
，
，
∴的周长为
．
故答案为：．
11．(1)证明见解析；
(2)的半径长为．
本题考查了切线长定理，勾股定理，等角的余角相等，掌握知识点的应用，作出合适的辅助线是解题的关键．
（）利用切线长定理得到平分，即，利用切线的性质得，则，由于，，再根据等角的余角相等即可求证；
（）连接，由切线长定理得，，，则，，由勾股定理得，设的半径为，则，，然后通过勾股定理即可求解．
（1）证明：∵，分别切于点，，
∴平分，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：连接，
∵，分别切于点，，
∴，，，
∴，，
在中，，
设的半径为，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴的半径长为．
12．(1)
(2)
本题考查的是切线的性质、垂径定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）先确定，即可求得，根据切线的性质得出，从而求得
（2）根据切线长定理求得，由，，即可证得是的角平分线，即，解直角三角形可求得，进一步可求得轮胎的直径．
（1）解：为直角三角形，，
，
．
边与轮胎相切于点D，轮胎与地面相切于点E，
，
．
（2）解：如图，连接．
∵与轮胎相切于点，轮胎与地面相切于点，
∴，
∵
∴是的角平分线，
∴，
，
在中，由勾股定理，得，
∴轮胎的直径为．
13．(1)的度数分别为．
(2)证明见解析
（1）根据题意得，，所以 ．即可求出．
（2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出．
此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识．
（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数分别为．
（2）证明：由切线长定理得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵的直径为d，为的半径，
∴，
∴．
14．(1)
(2)
(3)
（1）根据切线长定理得 ，，由可知，则，题目可求；
（2）在利用勾股定理可求得长，根据切线长定理得，，则可求；
（3）由与相切于点，得，，代入数据可求长，即的半径．
（1）解：根据切线长定理得，；
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，．
∵，，
由勾股定理得到：，
根据切线长定理得，，
；
（3）解：连接，
与相切于点，
，
，
即．
．
【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键．
15．(1)见解析
(2)6
本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，切线长定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，结合圆周角定理以及等腰三角形的性质可得，即可求证；
（2）在中，由勾股定理可得，从而得到，再由切线长定理可得，然后在中，由勾股定理解答即可．
（1）证明：如图，连接，

∵为的直径，
∴，
，
∵，
∵，
，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：由（1）知，，
∴在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，为的直径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得：．
16．(1)见解析
(2)
(3)
本题主要考查了三角形内切圆与外接圆综合，圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到，由同弧所对的圆周角相等可得，则，再由角的和差关系和三角形外角的性质可证明结论；
（2）连接，先证明，由垂径定理得到，由勾股定理得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案；
（3）过点D作交延长线于E，于H，可求出，则，可证明是等腰直角三角形，得到，则可求出，；证明四边形是矩形，得到，；证明，得到，则，；设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，根据，可求出；再证明四边形是矩形，得到，则，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，即的半径为；
（3）解；如图3所示，过点D作交延长线于E，于H，
∵为直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图4所示，设的内心为I，设分别与相切于D、E、F，连接，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的内心与点O的距离为．
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