第二十四章 圆--弧、弦、圆心角相关计算 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--弧、弦、圆心角 典型题型归纳 专项练（一）
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、用弧、弦、圆心角之间的关系求角度
1.如图所示，在中，若C是的中点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，是直径，，，的度数是 ．
3. 若一条弦把圆分成两部分，则劣弧所对的圆心角为 ．
4. 如图，在中，已知，，则 ．

5.如图，在中，，则的度数为 ．

二、弧、弦、圆心角的有关计算
1.如图，已知，是的直径，，，求的度数．
2.已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．
3.如图，和是的直径，弦，若弦的长为，求弦的长．
4.如图，点A、B、C在上，D是的中点，若，求的度数．
三、利用弧、弦、圆心角的对称性求最值
1． 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．
2.如图所示，是的直径，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，点是点B关于所在直线的对称点，的半径为1，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．2
四、圆心角的有关计算与证明
1． 如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且．
(1)求证：；
(2)求证：．
2． 如图，在中，弦，于，于．
(1)求证：．
(2)若的半径为5，，求的长．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ．
答案
一、用弧、弦、圆心角之间的关系求角度
1． 解：
点是弧的中点，
故选：C．
2.解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
3.解：∵一条弦把圆周分成的两段弧，
∴劣弧所对圆心角的度数，
故答案为：．
4.解：∵，
∴，
∴（同弧所对的圆心角相等），
故答案为：．
5.解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
二、弧、弦、圆心角的有关计算
1 ． 解：，
，
，
，
．
2． 解：∵A，B，C，D是上的点，，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
3．解：如图，连接，
，
，，
，
，
，
．
4.解：如图，连接．
∵D是的中点，
∴，，
∴，
∴．
三、利用弧、弦、圆心角的对称性求最值
1． 解：如图，延长交于点，连接，，，
∵于点，交于点，为弧的中点，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点关于的对称点为点，
∴，
∴
当，，三点共线时，最小，最小值为的长，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值．
故选：C．
2． 解：如图，连接、，
由题意可得，，
点B是的中点，
，
，
点是点B关于所在直线的对称点，
，
，
又，
．
故选：B．
四、圆心角的有关计算与证明
1． （1）证明：过O作于M，连接、，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
．
2.（1）证明：，
，
∴，
即，
；
（2）解：连接，
，，
．
．
3.解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，，．
∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴，，
∵点B是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∴周长的最小值，
故答案为：3．
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