第二十四章 圆--垂径定理有关计算题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆--垂径定理有关计算题 重点题型梳理 专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、利用垂径定理求线段长问题
1．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ．
∵为直径，且，，
∴，
在中，，根据勾股定理得：
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为
3．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ．
4．如图，将直角三角板角的顶点放在上，斜边与交于点，若恰好是的中点，，则点到的距离是 ．
二、利用垂径定理求平行弦问题
5.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
6.已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离．
7.已知：如图，是的直径，、、是的弦，．

(1)求证：；
(2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长．
三、利用垂径定理求同心圆问题
8.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：；
(2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．
9.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
四、利用垂径定理解实际应用问题
10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ．
11．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径，拱高，则石拱桥的跨度 m．
12．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端．
(1)求拱门最高点到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门．
13．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)作于点C，求的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？
综合练
1．如图，为直径，为弦的中点，连接．
(1)求证：为等腰三角形；
(2)连接，若，四边形的面积为，求的长．
2．如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、．
(1)若，求的度数．
(2)若，求长度．
3．如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱下面的水面跨度，拱高（弧的中点到弦的距离）为
(1)求桥拱所在圆的半径．
(2)该地区连降暴雨，河水猛涨， 桥下水面提高了，求此时水面的宽度．
4．如图，是的外接圆，圆心在这个三角形的高线上．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的半径．
5．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接．
(1)若，求的直径；
(2)若，求的度数．
6．已知、、为上的点，且，为的直径，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
7．如图，在等腰中,交于两点，半径于H．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
8．一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，．
(1)求桥洞所在圆的半径；
(2)当水深为19米时，求此时水面的宽．
9．如图，点都在圆上，是的直径，交于点E．且．
(1)求证：；
(2)若，，求．
10．如图所示，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与，分别交于点，，求，的长．
11．如图，是锐角三角形的外接圆，过点O分别作，垂足分别为D，E，F，连接．若，的周长为21，求的长．
12．如右图，已知中，是弦，E，F是的中点，并且．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
答案
一、利用垂径定理求线段长问题
1． 解：连接，如图：
∵为直径，且，，
∴，
在中，，根据勾股定理得：
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
解：过O作于D，交于C，连接，设，
由折叠可知：，
中，，，
根据勾股定理，得：，
∴，
解得：（负值已经舍去）
故答案 ：．
解：如图，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴．
故答案为：．
解：连接，如图，
∵点是斜边的中点，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点，
∴点在上，
过点作于点，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴点到的距离是，
故答案为：．
二、利用垂径定理求平行弦问题
5. 解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
6. 解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示，
，，
，，
，
，，
；
②当弦和在圆心异侧时，如图2所示，
，，
，，
，
，，
；
综上所述：和之间的距离为或．
（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，

∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴；
（2）解：设的半径为，则，
又，
∴，
在中，，
即：，
解得，，
∴.
三、利用垂径定理求同心圆问题
8. （1）证明：过O作于点E，如图，
由垂径定理可得，，
∴，
∴；
（2）解：连接、，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴，即小圆的半径r为
9. （1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
四、利用垂径定理解实际应用问题
10． 解：连接，
∵寸，
∴寸，
设的半径为x，则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
∴寸，
故答案为：寸．
解：由题意可知，，
∴，
∵，，
∴，
在中， ，
∴，解得：，
∴．
故答案为：8．
（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴拱门最高点到地面的距离为；
（2）解：如图，设弦，且，连接．
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门．
（1）解：如图1：连接，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，解得：，
∴的长．
（2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，
∴
由题意可知：
在中，根据勾股定理得：，
∴ ，解得：，
∴，
∴，
∴此时水面截线减少了．
综合练
1．(1)见解析
(2)
本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．
（1）由垂径定理得，，然后由线段垂直平分线的性质可得答案；
（2）连接，由，四边形的面积为，得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解．
（1）证明：为弦的中点，为直径，
，，
，
为等腰三角形；
（2）如图，连接，
，四边形的面积为，
，
，
，
，则，
在中，，
．
2．(1)
(2)
本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握垂径定理和等腰三角形的性质是解题的关键，
（1）先由，得，再根据为的直径得到，结合得，最后通过角的和差关系及同角的余角相等推出的度数；
（2）先由得到，结合求出的长度，再在中，用勾股定理算的长，最后根据垂径定理得出结果．
（1）解：∵，
∴，
∵为的直径，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴．
（2）解：∵，且为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，且为直角三角形，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴．
3．(1)50米
(2)此时水面的宽度为60米
题目主要考查垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，结合图形，熟练掌握运用垂径定理是解题关键．
（1）如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，得出，设圆的半径为r，利用勾股定理求解即可；
（2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，利用垂径定理及勾股定理求解即可．
（1）解：如图所示，点E为桥拱所在的圆的圆心，作，延长交圆于点C，连接，
∴，
设圆的半径为r，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴桥拱所在圆的半径为50米；
（2）根据题意，假设水面上升到，且，连接，如图所示：
由（1）得桥拱所在圆的半径为50米，
∴，
∴，
∴，
∴此时水面的宽度为60米．
4．(1)见解析
(2)
本题主要考查了垂径定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）由垂径定理可得，即是线段的垂直平分线，则，即可证明结论；
（2）由垂径定理可得，根据勾股定理可得，如图：连接，设的半径为r，则，最后根据勾股定理列方程求解即可．
（1）证明：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵圆心在这个三角形的高线上，
∴，
∴，
如图：连接，设的半径为r，则，
∵，
∴，解得：，
∴的半径为．
5．(1)的直径是20
(2)
本题考查了垂径定理、勾股定理、三角形外角的定义及性质、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由垂径定理可得，，设，则，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案；
（2）由可得，由三角形外角的定义及性质结合可得，再由可得，进行计算即可得到答案．
（1）解：是的直径，弦于点，
，，
设，则，
，
，
解得：，
的直径为20；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
．
6．(1)证明见解析
(2)
本题考查垂径定理、三角形全等判定与性质、勾股定理：
（1）连接并延长交于点，根据垂径定理可得，，再证明可得，由此即可得到结论；
（2）设的半径为，在中根据勾股定理列出方程求出R，在中，根据勾股定理求出．
（1）证明：连接并延长交于点，
∵，
，，
在和中，
，
∴，
，
；
（2）解：设的半径为则，
∵，，
∴，
在中，，
解得，
，
，
．
7．(1)见解析
(2)
本题主要考查了等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理．
（1）根据等腰三角形的三线合一定理可证，根据垂径定理可证，根据等式的性质可得；
（2）连接构造，由（1）知，，设半径为，则，利用勾股定理求圆的半径．
（1）证明：在中，，于，
，
是的弦，是半径，且于，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，
由（1）知，，
设半径为，则，
在中，
解得：，
的半径为．
8．(1)
(2)
本题考查垂径定理的实际应用，勾股定理．正确连接辅助线构造直角三角形是解题关键．
（1）连接，由垂径定理可得．设半径为，则，结合勾股定理可求出；
（2）先求出，再证，即可再次利用勾股定理求出，最后再次利用垂径定理得出，即当水深时，此时的水面宽为．
（1）解：如图，连接，
过圆心，，
，
设半径为，，
在中，，
即，
解得：，
∴半径为．
（2）解：由（1）可知桥洞所在圆的半径，
∵，，
，
，
，
，
在中，．
又∵过圆心，
∴，
即当水深时，此时的水面宽为．
9．(1)见解析
(2)2
本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证；
（2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
10．，．
本题考查了勾股定理，垂径定理，作于，则，由勾股定理得，通过，从而求出，然后通过勾股定理得，然后代入即可求出的长，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，作于，
∴，
在中，由勾股定理，得
∵，
得，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∴．
11．
根据三角形外接圆的性质得出点分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．
解：，
，
均是的中线，
，
．
．
12．(1)证明见解析
(2)
（1）利用同圆或等圆中相等的弦所对的弧、弦心距相等可得进而得到从而可得进而得到
（2）过根据三角形内角和定理可得再根据直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得长度，利用勾股定理计算出EM的长度，进而可得EF的长度．
（1）（1）证明：是的中点，
，
．
又是的两条弦，，
，
，
，即．
（2）如图，过点O作于点M，则．
，
，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)