第二十四章 圆--弧长与面积 重点题型梳理 专题练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--弧长与面积 重点题型梳理 专题练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
题型五、求弓形的面积
1.如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ．
4.如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F．
(1)求证：是圆的切线．
(2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号）
题型六、求点所经过的路径的长
5.如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　）
A． B． C． D．
6. 已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（ ）m.（结果用含的式子表示）
A． B． C． D．
7. 曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm．
题型七、求旋转后图形的面积
8.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
9. 如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ．
题型八、有关圆中阴影部分面积的计算与证明
11.如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、．
(1)求证：；
(2)连接，延长交于点，延长交于点当为的中点时，求证：；
(3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积．
12.如图，是的外接圆，是的直径，过点A的直线l与相切于点A，在直线l上取一点D，使得．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
13. 已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，交于E点，垂足为点D，平分．
(1)求证：直线l与相切；
(2)若，求的半径．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
综合练
一、单选题
1．如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心坐标．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知半圆的直径，是半圆上一点，且，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，将边长为的等边三角形沿直线向右翻动不滑动，点从开始到结束，所经过路径的长度为 ．
7．如图，是等腰直角三角形外一点，，把绕点逆时针旋转到．已知，，则点在旋转过程中所经过的路径的长为 ．
8．如图，为半圆的直径，，点在半圆上，以为高作等腰，当点沿半圆从运动到点时，线段扫过的面积是 ．
9．如图，是的直径，，，则图中阴影部分的面积为 ．
10．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
11．如图，为正三角形的外接圆，直线经过点C，．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
12．如图，内接于，为直径，平分B交于点D．
(1)过点D作，求证：为的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
13．如图，在中，以为直径的与相交于点，点在上，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，直接写出图中阴影部分的周长和面积．
14．已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
答案
解：如图所示，连接，
∵小正方形的边长为2，
∴
∴，
∴图中阴影部分的面积是
故选：A．
解：，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
解：连接，如图，
∵是等腰三角形，，,
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过点作则，
∴，
∴
过点作于点，则四边形是矩形，
所以，，
∴,
∴．
故答案为：．
（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
又∵是圆的半径，
∴是圆的切线．
（2）解：如图，连接，，其中交于点，
∵，，
∴，
∵圆的半径是，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
转动一次A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：，
∵，
∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为：，
故选：D．
解：O经过的路线是两个半径是（m），
，
∵，
∴，
∴，
O旋转的长度是：（m），
O移动的距离是（m），
∴圆心O所经过的路线长是：（m），
故选：B．
解：如图，
设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，
设
完成一次进气过程，扫过的扇形面积为
，解得
，
由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为，
点运动的路径长为．
故答案为：．
解：，
，
将绕点A逆时针旋转后得到，
，
，
．
故选：C．
解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点，
则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，
连接，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，，
∴线段在旋转过程中扫过的面积为
，
故选：A．
解：由题意知，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴阴影的面积
．
故答案为：．
（1）证明：连接，
∵直线为的切线，为的半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵是的直径，
∴，
∴,
∵，
∴．
（2）证明∵为的中点，延长交于点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径， ，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线为的切线，为的半径，
∴，
∴．
（3）解：根据（2）证明，得，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∵为的中点，连接，延长交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵直线l与相切于点A，
∴．
∴．
∵点C在上，
∴是的半径．
∴直线是的切线．
（2）解：设半径，
则．
在中，，
∴．
解得．
∴．
（3）∵，
∴．
∴．
∴．
故图中阴影部分的面积为：．
（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵是半径
∴直线l与相切．
（2）解：如图1，连接．
∵是的直径，
∴．
∵平分，，
∴．
∴在中，．
同理：在中，．
设，则．
由勾股定理得：，即．
解得或（不合题意，舍去）．
∴的半径，
∴的半径为．
（3）解：如图，连接，，，作于点，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
阴影部分的面积
．
综合练
1．A
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点的坐标规律探索，正确找到规律是解题的关键．
由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，据此找到规律求解即可．
【详解】解：由题意可知图形每旋转一周，圆心的路径循环一次，且路径长度刚好为以 2 为半径的圆的周长，
，
∴当圆心经过的路径长为时，图形旋转了圈，
∵图形每旋转一圈圆心横坐标增加，
∴当图形旋转 506圈时的横坐标为，再转圈横坐标增加，
∴当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键；
本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解；
【详解】解：由题意可得：，边旋转了，
∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：，
故选：B；
3．A
【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵小正方形的边长为2，
∴
∴，
∴图中阴影部分的面积是
故选：A．
4．A
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，求特殊图形的面积，掌握扇形面积公式是解题关键．
连接，过点作于点，先求出、扇形的面积、扇形的面积，再利用面积的和差进行计算即可．
【详解】解：连接，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴的面积为：，
扇形的面积为：，
扇形的面积为：，
∴图形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了不规则图形的面积的求解，阴影面积为扇形的面积减去等边三角形的面积的倍，代入已知数据计算即可．
【详解】解：过A点作于D点，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
故选：C．
6．
【分析】本题考查了弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为也考查了旋转的性质．点从开始到结束，所经过路径为两段弧，第一段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，第二段是以点为圆心，为半径，圆心角为的弧，然后根据弧长公式计算．
【详解】解：为等边三角形，
，
每次旋转的度数为，
点从开始到结束，所经过路径的长度．
故答案为．
7．
【分析】本题主要考查了求弧长，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，证明，可得，然后在和中，利用勾股定理可得，，再根据弧长公式解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，
即，
∵在旋转过程中所经过的路径的长是弧长，
∴．
故答案为：
8．
【分析】本题考查了圆的面积公式．通过分析点C运动时的轨迹，进而求出线段扫过的面积．
【详解】解：已知为半圆的直径，，
∴半圆的半径为1，
∵是等腰直角三角形，且为高，
∴，，
将点的运动转化为旋转轨迹分析：点D是点A绕点C逆时针旋转的结果，点E是点A绕点C顺时针旋转的结果，
当点C在半圆上从A运动到B时：
点D的轨迹：将原半圆绕点A逆时针旋转，得到一个半径为1的半圆，
点E的轨迹：将原半圆绕点A顺时针旋转，得到一个半径为1的半圆，
当点沿半圆从运动到点时，可知扫过的面积是一个半圆的面积，
即、各扫过的面积是一个半圆的面积，
即线段扫过的面积是一个半径为1的圆的面积，即．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边之比”得，从而得，根据圆周角定理求出的度数，进而由扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵点O是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题．
【详解】解：如图，连接、．
由题意知，
∴，
∴点是半圆的圆心，
∴，
∴是等边三角形，
．
故答案为：．
11．(1)直线与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）由正三角形的性质可得，由平行线的性质可得，求出，可证直线与相切；
（2）由圆周角定理得，根据阴影部分的面积等于，即可求解．
【详解】（1）解：直线与相切，理由如下：
如图，连接，
是正三角形，
，
为正三角形的外接圆的圆心，
∴也是正三角形的内接圆的圆心，
平分，
，
，
，
，
是半径，
直线与相切；
（2）解：如图，连接，作于点H，
，
，
．
，，
，，
，
，
．
图中阴影部分的面积为：．
【点睛】本题考查切线的判定，正三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆中弓形面积的计算，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线判定、圆周角定理、勾股定理以及扇形和三角形面积的计算，解题的关键是利用角平分线的性质得到弧的关系，结合平行线的性质证明切线，再通过直角三角形的边长求出圆的半径，进而计算阴影部分面积．
（1）连接半径利用角平分线性质得出等弧，进而得到圆心角；结合推出，证明垂直于半径从而判定为切线．
（2）由为直径可知，用勾股定理求出的长，得到圆的半径；根据（1）中，用扇形的面积减去的面积，得到阴影部分面积．
【详解】（1）证明：连接，
平分，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵是半径，
∴为的切线．
（2）
解：由题意可得：，
∴，
∵，
．
13．(1)见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了圆的切线判定定理、圆周角定理以及扇形面积公式和弧长公式．
（1）要证明为的切线，需证明，通过圆周角定理以及进行推导即可；
（2）要求阴影部分的周长和面积，需要利用锐角三角函数以及同弧所对的圆周角与圆心角的关系求出相关线段的长度和角度，再分别计算弧长、线段长以及扇形面积和三角形面积．
【详解】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
由同弧所对的圆周角相等，得，
又，
，
，
即，
为的切线；
（2）如图，连接，
，又，
，
在中，，
，
，
，，
在中，
，
，
，
，，
，，
，
阴影部分的周长为，
，
，
，
．
14．(1)证明详见解析
(2)
【分析】本题考查了切线、勾股定理以及圆的性质：
（1）连接，利用，求出，得到平行于，可知．
（2）过点作于点，根据，求得，再根据勾股定理计算出，最后将阴影部分的面积转化为，将每个面积求出来相减即可．
【详解】（1）解：连接，
，
，
，
，
，
平行于，
，
，
是的切线．
（2）解：过点作于点，
，
，
在中，
，
，
，
，
，，
．
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