第二十四章 圆--弧长与面积 重点题型梳理 专题练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆--弧长与面积 重点题型梳理 专题练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
题型一、求弧长
已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
4． 如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和
物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送 ．（结果保留）
如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若．
(1)求的度数；
(2)的长度为__________．
题型二、求扇形的面积
如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　 　）．
A．π B． C． D．
7．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知的半径为2，，则图中阴影部分的面积为 ．
如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
9． 如图，是的外接圆，半径为，连接，，，
(1)过点作，交于点，若，求的长；
(2)若，求阴影部分的面积．
题型三、已知弧长或扇形面积求半径
已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
12． 如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ．
13． 弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的
半径．
题型四、已知弧长或扇形面积求圆心角
一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
15． 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ）
A． B． C． D．
16． “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（ ）
A． B． C． D．
17． 一个扇形的弧长为，面积是，求扇形的半径和圆心角的度数．
综合练
一、单选题
1．如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，由四段相等的圆弧组成的双叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，，则这朵双叶花的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，为的中点，，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，扇形中，点C在弧上，连接，P为中点，若，点C沿弧从点B运动到点A的过程中，点P所经过的路径长为，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
5．如图，已知是圆的直径，分别以，为圆心、长为半径作弧，两弧交于点，两点．若长为2，则图中弧的长为（ ）
A． B． C． D．.
6．如图，在正方形中，和交于点O，过点O的直线交于点E（E不与A，B重合），交于点F，以点O为圆心，为半径的圆交直线于点M，N．若，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了 度．
8．如图，在中，，，则扇形的面积为 ．
9．如图，两个阴影部分的面积分别是 ,，且 平方厘米，则图中扇形的半径是 厘米．( 取 3)
10．如图，为的直径，，为的弦，，连接，，，则劣弧的长为 ．
11．如图，已知半径为的上有三点、、，与交于点，，，则阴影部分的扇形面积是 ．
三、解答题
12．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为．
(1)求扇形的圆心角度数；
(2)依据相关数据，求花窗的面积．
13．如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC，
(1)求AB的长；
(2)求图中阴影的面积；
(3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
14．如图，是的直径，点C、D在上，．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求劣弧的长．
答案
解：圆心角所对的弧长．
故选：C．
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的长为．
故选：C．
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
解：根据弧长公式可知，
传送带上的物品被传送的距离为∶．
故答案为：．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴的长度．
故答案为：
解：如果一个扇形的圆心角为，半径为，
则这个扇形的面积为，
故选：D．
解：阴影部分面积为：；
故答案为：．
解：由题意得：
，
故答案为：．
（1）解：，，
，
在中，，，
∴，
；
（2）解：，
，
∴．
设扇形的半径为，
根据扇形的面积公式，
解得．
故选：．
解：根据弧长公式：，其中，
代入得：
解得：
故选：A．
解：连接 、
， 分别切 于 ，
，，即
四边形 内角和为 ，
又 弧 长 ，
解得
故答案为：
解：设弧所在的圆的半径为，
由弧长公式得：，
解得：，
弧所在的圆的半径为18．
解：根据，
解得：，
故选：C.
解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径），
∴，
故选：D ．
解：∵的周长为：，
∴顺时针转动周时，点移动的弧长为：，
∴，
解得：．
故选：A．
解：设这个扇形的半径为，圆心角是，
根据扇形面积公式，
可得，
解得．
再根据弧长公式，
可得，
解得．
答：扇形的半径为，圆心角为．
综合练
1．C
【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键．
连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：连接、，
设的度数为，
则，
解得，，
，
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，连接，根据，求出，再求出，得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，是周长的四分之一，连接，
由题意知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握勾股定理和扇形的面积公式是解题的关键．
根据已知条件求出，再由勾股定理求，发现，所以，同理可得，进而求出，最后根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：，
．
为的中点，
．
四边形为矩形，
，
，
∴，
．
同理，，
，
．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了动点的运动轨迹问题，根据定弦定角确定圆所在的位置，以及等腰三角形的性质，中位线的性质，弧长公式等，熟练掌握这些公式和性质是解题的关键．
连接，易得，点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，再由弧长公式求出的半径，即可得出的长度．
【详解】解：连接，
，
为等腰三角形，
为中点，
，
即，
点P是在以点的中点D为圆心，为半径的圆上运动，如图所示：
当点C运动到点A的时候，点P到达点的位置，
点P所经过的路径为，
连接，
为 中点，为中点，
，
，，
，
，
即，
故选：A ．
5．C
【分析】本题考查了弧长公式，尺规作图，等边三角形的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．利用作法得到，则和都是等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算图中弧的长．
【详解】解：连接、、、，如图，
由作法得，
∴和都是等边三角形，
，
图中弧的长．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了正方形的性质、求扇形面积等知识点，弄清图形间的面积关系是解题的关键．
根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据求解即可．
【详解】解：∵在正方形中，，
∴的半径为：，
∵过点O，
∴根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，即，
∴阴影部分面积为：
．
故选：A．
7．36
【分析】本题考查弧长公式，熟练掌握弧长公式并理解题意是解题的关键．先根据题意得出点旋转的弧长为，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：由题意得滑轮上某一点运动的路程为，
即点旋转的弧长为，
设点旋转的角度为度，
则，
解得：，
故答案为：36．
8．
【分析】本题考查了圆周角定理，扇形的面积，由圆周角定理得，再根据扇形的面积公式计算即可，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．6
【分析】本题考查了扇形（四分之一圆）面积公式与长方形面积公式的应用，以及阴影面积差的转化技巧，解题的关键是发现“”可转化为扇形面积与长方形面积的差（两者含相同空白部分，相减时空白部分抵消），进而通过面积关系列方程求扇形半径．
先计算长方形面积（长8厘米、宽3厘米）；再根据扇形为四分之一圆，写出其面积表达式（含半径）；利用“扇形面积长方形面积”，代入列方程，求解半径．
【详解】解：长方形面积长宽（平方厘米）；
扇形面积（平方厘米），
设扇形半径为r，根据扇形面积公式，取，
即，则，故 （半径为正数）．
故答案为：6．
10．/
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，弧长公式，根据垂径定理和等腰三角形的性质求出，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：，
，
．
为的弦，，
，
∵，
∴的半径是2，
劣弧的长为．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及扇形面积公式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
先利用三角形外角性质求出，再由等腰三角形性质得出，进而求出圆心角，最后根据扇形面积公式计算扇形的面积．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的扇形面积，
故答案为：．
12．(1)扇形圆心角的度数为
(2)花窗的面积为
【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键．
（1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可；
（2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可．
【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点，
∴，
设的度数为，
∵的长度为．
∴，解得，
∴扇形圆心角的度数为；
（2）解：∵
，
∴，
∴花窗的面积为．
13．(1)1
(2)
(3)
【分析】（1）根据圆的性质得到当为圆的直径时扇形最大，根据勾股定理即可得到答案；
（2）用圆的面积减去扇形面积即可得到答案；
（3）根据圆锥展开图扇形弧长等于底面圆周长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，
∵扇形ABC是圆心角是90°的最大扇形，
∴BC为⊙O的直径，，，
在中，根据勾股定理可得，
，
；
（2）解：由题意可得，
；
（3）解：设所得圆锥的底面圆的半径为r，由题意可得，
，
∴
解得：．
【点睛】本题考查勾股定理，扇形面积公式及圆锥展开图性质，解题的关键是熟练掌握，及圆锥展开图扇形弧长等于底面圆周长．
14．(1)见解析
(2)劣弧AC的长为
【分析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理（同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角）、等边三角形的判定与性质以及弧长公式的应用，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系、直径的特殊性质推导角度和线段长度，进而完成切线证明与弧长计算．
（1）由是的直径，根据直径所对的圆周角为直角得；利用同弧所对的圆周角相等，得，进而算出；结合已知，求出，即，根据切线判定定理证明是的切线；
（2）连接，由且（圆的半径相等），判定是等边三角形，得（即半径；根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得；代入弧长公式（n为圆心角度数，r为半径），计算出劣弧的长．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵，且，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴劣弧的长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)