第五章 三角函数-- 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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第五章 三角函数-- 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用 常见题型总结练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：描述正（余）弦型函数图象的变换过程
要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
2. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（　　）
A．横坐标伸长到原来的2倍，向左平移个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2倍，向右平移个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，向右平移个单位长度，纵坐标不变
3. 要得到的图象，只需将的图象（ ）．
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到
C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到
二：诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程
已知曲线，，则（ ）
A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线
C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线
2. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）
A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
3.（多选题） 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
B．先向左平移个单位长度，再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍
C．先将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度
D．先将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
4. 要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标 到原来的 （纵坐标不变），再向 平行移动 个单位长度．
三：由图象确定正（余）弦型函数解析式
如图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
2. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则（ ）
A．
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合
3. 已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．的图像关于直线对称
B．的图像关于点对称
C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像
D．函数在区间的值域是[]
4. 已知函数的部分图象如图所示，其中，，若将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则（ ）
A． B．3 C．4 D．2
四：求含sinx(型)函数的值域和最值
已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为
C．函数是奇函数 D．函数在区间上单调递增
2.(多选题） 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．是的图象的一个对称中心
C．在区间上的值域为
D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数
3.(多选题）已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的最大值是
C．在上是增函数
D．直线是图象的一条对称轴
4.(多选题） 已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．的图象关于点对称
C．在上单调递增
D．的图象可由曲线向右平移个单位得到
五：求图象变化前（后）的解析式
若将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，得到的图象，则函数的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
2. 将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
3. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B．
C． D．
4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
六：利用cosx（型）函数的对称性求参数
已知函数，若为偶函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2. 已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
3. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若与的图象关于原点对称，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4. 将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
七：由正弦（型）函数、由正切（型）函数的奇偶性求参数
已知（其中），将图象向左平移个单位后得到的图象，若的图象关于原点对称，则（ ）
A． B． C． D．
2. 将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ．
4. 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象.若的图象关于y轴对称，则的最小值为 .
八：正弦函数、余弦函数图象的应用
1.（多选题） 已知函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
2. 函数在区间上有两个零点，则
3.（多选题） 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ）
A．的一个周期为
B．的图象关于对称
C．在上单调递增
D．的值域为
4. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标伸长到原来的3倍，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在上恰有3个零点，则实数的取值范围为 ．
提升练
1．函数的最小正周期为，且.
(1)求的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
2．已知函数的最小正周期为．
(1)求的单调递减区间；
(2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
3．请用“五点法”画函数在内的图象.
(1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点.
(2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？
(3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值.
4．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，设矩形的面积，.
(1)试建立关于的函数关系式，并求出S的最大值；
(2)若函数，请说明函数的图象可以由正弦曲线经过怎样的变换得到.
5．已知函数的最小正周期为．
(1)求及；
(2)若的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求在区间上的值域．
6．已知函数的最大值为2.
(1)求函数图象的对称中心；
(2)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象．
①若，解不等式；
②若方程在上恰好有两个不同的根，求的值．
7．已知函数（其中，）的图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.
8．已知函数（其中常数）的最小正周期为．
(1)求函数的表达式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(3)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值．
9．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处．
(1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？
(2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图．
(3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值．
10．我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例.
11．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
12．设函数
(1)若，，求角；
(2)若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围；
(3)将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围.
答案
一：描述正（余）弦型函数图象的变换过程
要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位.
故选：D.
将函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到函数的图象，
再将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象.
故选：C
由于，
所以将的图象向左平移个单位长度即得.
故选：B．
因为，
所以将函数的图象向左平移个单位长度而得.
故选：A.
二：诱导公式五、六、描述正（余）弦型函数图象的变换过程
对于A，所得曲线为，A正确；
对于B，所得曲线为，B错误；
对于C，所得曲线为，C错误；
对于D，所得曲线为，D错误.
故选：A
只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象；
故选：A.
，若先向右平移个单位长度，得到，再将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到，故正确：
若先向左平移个单位长度，得到，再将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到，故B错误；
若先将纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，再向右平移个单位长度得到，故C正确；
若先将纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到，再向左平移个单位长度，得到，故D错误．
故选：AC．
由
．
故答案为：扩大，2倍，左，.
三：由图象确定正（余）弦型函数解析式
由题图象知，
所以．所以，
又图象过点，由五点法知，所以，
所以．
故将函数的图象先向左平移个单位后，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不度），可得函数的图象．
故答案为：A.
对于A：如图，因为 为等边三角形，且高为 ，则其边长为，
由图知，函数的周期满足，解得，故，A正确；
对于B：因为点的坐标为，所以，
所以，由，解得，
又，所以，B错误；
对于C：由上知，而时，，
故直线是图象的一条对称轴，C正确；
对于D：将的图象向左平移个单位长度，可得，D正确.
故选：ACD.
由图可知：，的最小正周期，
当时，，，，所以故；
对于A，，正确；
对于B，，错误；
对于C，将向右平移，得到，正确；
对于D，时，，则，因此，在区间的值域是[]，错误；
故选：AC.
由图知，点在的增区间内，点在的减区间内，又，，
设的最小正周期为，则，解得，所以，
因为将的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，
又，所以，
则，又，所以，
故，将代入可得，所以．
故选：D.
四：求含sinx(型)函数的值域和最值
由题意得，
则的最小正周期，最大值为2，故A，B错误；
将函数的图象向右平移个单位长度可得到函数的图象，
所以，定义域为R，但，故C错误；
令，得，
因为，所以函数在区间上单调递增，故D正确，
故选：D
选项A：函数，最小正周期为，故选项A正确；
选项B：令，解得，
所以的图象的对称中心为.令，得，
所以是的图象的一个对称中心，故选项B正确；
选项C：当时，，
所以，即的值域为，故选项C错误；
选项D：设将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为，
则.
因为的定义域为，所以的定义域为，且，
所以是偶函数，故选项D正确．
故选：ABD．
，
，
，
，
所以的最小正周期是，故A正确；
当时，的最大值是，故B正确；
由，得，因为在上递增，
在上递减，故在上不单调，故C错误 ；
令，得，
所以直线不是图象的一条对称轴，故D错误；
故选：CD
，
所以函数的值域为，A正确；
令，得，
所以函数图象关于点不对称，B错误；
由，
得，
所以函数在上单调递增，而，
得在上单调递增， C正确；
函数的图象向右平移个单位得，D错.
故选：AC
五：求图象变化前（后）的解析式
将函数图象上的每一个点都向左平移个单位，
可得，
由可得，，即得，，
故函数的对称中心为
故选：.
由向右平移个单位后得，
故选：C.
将图象上所有点向右平移个单位长度，得函数的图象，
再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得，即.
故选：C
将过程反过来，首先将函数的图象向右平移个单位长度得到，
再将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，得到.
故选：C.
六：利用cosx（型）函数的对称性求参数
∵为偶函数，∴的图象关于直线对称.
∴，
∴.
，
故选：A.
由题意可得，
因为，的图像关于轴对称，
则，
所以，，解得，，
又，所以的最小值为4，
故选：A
因为将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以．
因为与的图象关于原点对称，函数的图象关于原点对称的图象对应的函数解析式为
所以，
即，
所以，
所以，
又，所以．
故选：A
由函数，
将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于轴对称，可得，
解得，
又因为，所以的最小值为.
故选：B.
七：由正弦（型）函数、由正切（型）函数的奇偶性求参数
，
的图象关于原点对称，则，，
解得，，
又，故当时，，满足要求，其他均不满足.
故选：B
依题意，函数的最小正周期为
由为奇函数，可得,即，
因为，所以当时，.
故选：D.
因为偶函数，则①，
又为奇函数，则②，
由①－②，整理得，则，其中，
故当时，即时，的最大值为.
故答案为：.
根据函数图象平移规律，将函数的图象向左平移个单位长度，
可得:.
因为的图象关于y轴对称，所以是偶函数，
故，，可得.
当时，，此时.
故答案为：
八：正弦函数、余弦函数图象的应用
将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，
依题意，，解得，所以的取值可能是6，12.
故选：BD
令，则函数在区间上有两个零点等价于：
函数在区间上有两个零点，
所以，所以由余弦函数图象情况可知，
且，，
所以，
所以，
故答案为：.
3.（ 对于A，根据诱导公式可知：
，故的一个周期为，即A正确；
对于B，根据诱导公式可知：
，所以的图象关于对称，即B正确；
对于C，易知
，即为偶函数，
当时，，显然此时函数单调递减，
由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误；
由B结论可知为的一个周期，
此区间上，故D正确.
故选：ABD
4. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数的图象，
再把纵坐标伸长到原来的3倍，可得函数的图象，
再把所得函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象.
结合的图象，
由在恰有3个零点，
可得.
故答案为：
提升练
1．(1)
(2)
（1）根据周期公式得，进而由得，再根据即可求得答案；
（2）根据函数图象平移得，再根据三角函数的性质求值域即可.
（1）解：因为函数的最小正周期为，
所以，解得，
因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，
（2）解：因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
所以，
因为，所以，
所以，当，即时，有最大值；
当，即时，有最小值；
所以，函数在区间上的值域为
2．(1)
(2)．
（1）首先根据周期公式求出的值，进而得到函数的表达式，再根据正弦函数的单调性求出的单调递减区间；
（2）然后根据三角函数图象的伸缩和平移变换规则求出的表达式，最后通过求解不等式恒成立问题，确定实数m的取值范围．
（1）因为的最小正周期为，
所以，所以．
令，得，
故的单调递减区间为．
（2）的横坐标变为原来的2倍得到，
再将所得图象向左平移个单位长度得到．
令
令，则，
因为，所以当时，取得最大值，
所以，解得或，
故实数的取值范围为．
3．(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，；
(2)答案见解析；
(3)当时，；当时，
（1）根据“五点法”画出函数图象，由图象可得单调区间，零点；
（2）根据平移伸缩变换的概念直接求解即可；
（3）由得，令，得，，结合三角函数性质求解即可.
（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象，
列表如下：
其函数图象如下：
由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为，
函数在定义域上的零点为，，；
（2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得，
再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得，
再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象；
（3）因为，所以，
令，即，，
所以，当时，由最大值为，此时，
当时，由最小值为，此时，
综上：当时，；当时，.
4．(1)，
(2)答案见解析
（1）利用锐角三角函数定义，结合矩形面积公式、三角恒等变换求得，故只需算出的范围即可得解；
（2）由函数平移、伸缩变换法则即可求解.
（1）在中，，.
在中，，
故.
矩形的面积
由
.
由，得，
当，即时，.
因此，当时，取最大值，且.
（2）由（1）知，
故先将函数y=sinx的图像向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到的图像；
再将得到的图像所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，即得到的图像．
5．(1)
(2)
（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值；
（2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可.
（1）易知，
又最小正周期为，所以，
即，则
（2）的图象向右平移个单位长度得到，
因为时，，
根据正弦函数的单调性可知即时，，
时即，，即，则.
6．(1)
(2)①或；②
（1）根据两角和差的正弦公式化简函数，根据最大值求得，结合整体换元计算得到对称中心；
（2）先根据平移变换得到函数，①根据三角函数的性质求解即可；②由题意，得的范围，结合对称性得，求的值，化简得，即可得答案；
（1）因为
，
所以，解得，所以．
令，得，
即图象的对称中心为．
（2）由题意可得．
①由可得，
解得，即．
又因为，所以或，
故不等式的解集为或.
②因为，所以，
由，可得，所以．
由正弦函数图象的对称性可知，
所以，且．
．
所以
．
7．(1)
(2)
（1）由图象得到，周期，可求出，代入求解，进而求解解析式.
（2）由变换可得，进而求出单调递增区间.
（1）由图象可得，，故，
所以，则，
所以，或
故，或
则，或，
又，所以，或（舍去）
所以，
（2）由题意可知，，
由，可得，
故的单调递增区间.
8．(1)
(2)
(3)或
（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；
（2）令由得，问题转化为在上有解,通过求函数值域即可.
（3）根据正弦型函数的图象变换性质，结合正弦型函数的图象进行求解即可.
（1），
因为的最小正周期为，且，
所以即，所以．
（2）因为，所以．
所以，令．
又在上有解，
所以在上有解，
所以．
（3）由题意可知：，
因为，
所以中有一个为1，另一个为，
因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是，
所以，所以，或，
因此的值为或．
9．(1)，2
(2)图象见解析
(3)5
（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解；
（2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可；
（3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值.
（1）由题意可知，
又，所以，
所以，
因为，所以每8秒钟点往复运动2次．
（2）由取值列表如下，
0 4
2 0 －2 0
图象如图所示：
（3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标，
由，得，
则或，
解得或，
将方程的正根从小到大排列得，所以．
10．(1)
(2)
（1）根据图象可得函数的最大值和最小值即可求解A和B，再由函数的周期公式求，然后代点的坐标求；
（2）根据题意列出不等式，然后根据正弦函数的性质解不等式即可求解.
（1）由图可知，解得由，得，
所以，
又函数图象过点，
所以，即，
所以，得，
又，所以，所以.
（2）由题意得，
则，即，
令，画出的图象如图所示，

由图象可知，，
即，解得，
所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为.
11．(1)
(2).
（1）由图可知的最小正周期，则.
因为的图象经过点，所以，所以.
因为，所以，所以，解得.
故.
（2）由（1）可得，则.
因为，所以.
当，即时，取得最小值，，
当，即时，取得最大值，，
则，即在上的值域是.
12．(1)或.
(2)
(3)当时，且；当时，.
（1）∵，
又∵，即，
∴或，
∵，∴或.
（2）
令，，，
∴，∴，，
即，
令，
设，，
任取，且，
则
，，，，
，即，
在上单调递减，，
∴，解得：.
（3）∵，
∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的，
可得
∵，存在非零常数，对任意的，成立，
在上的值域为，则在上的值域为，∴
当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．
所以，即（且）
当时，
由诱导公式可得，,即，
当时，且；
当时，.
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