第五章 三角函数 章末能力综合试题 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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三角函数 章末能力综合试题 2025-2026学年数学
高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．－1120°角所在象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若扇形圆心角的弧度数为，且扇形弧所对的弦长也是，则这个扇形的面积为
A． B． C． D．
3．设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．已知sin(α+β)=，sin(α-β)=，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知，，则的值为
A． B． C． D．
7．函数对于，都有，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．是第三象限角
B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为
C．若角的终边上有一点，则
D．若角为锐角，则角为钝角
10．设函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减 D．在上的最小值为0
11．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为
B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点Q距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
三、填空题
12．函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图像重合，则的最小值为 ．
13．工艺扇面是中国书画一种常见的表现形式．高一某班级想用布料制作一 面如图所示的扇面参加元旦晚会．已知此扇面的中心角为，外圆半径为60，内圆半径为30． 则制作这样一面扇面需要的布料为 .
14．化简的结果是 .
四、解答题
15．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.
（1）当圆心角为，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；
（2）已知如图该扇形圆心角是，半径为，若该扇形周长是一定值当为多少弧度时，该扇形面积最大？
16．已知．
(1)化简函数；
(2)若，求和的值．
17．已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)函数的单调递增区间和对称轴方程．
(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
18．已知函数的一段图象过点，如图所示．
(1)求函数的表达式；
(2)将函数的图象向右平移个单位，得函数的图象，求在区间上的值域；
(3)若，求的值.
19．定义：若函数的定义域为D，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期.
（1）下列函数（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；
（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；
（3）若为线周期函数，求的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B C C D C C BC ABC
题号 11
答案 CD
1．D
【分析】把角写成k×360°+α，0°≤α＜360°，k∈z 的形式，根据α的终边位置，做出判断．
【详解】解：∵﹣1120°＝﹣4×360°+320°，故﹣1120°与320°终边相同，故角﹣1120°在第四象限．
故选D．
【点睛】本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角、象限界角的定义，属于基础题．
2．A
【详解】分析：求出扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可.
详解：由题意得扇形的半径为：
又由扇形面积公式得该扇形的面积为：.
故选：A.
点睛：本题是基础题，考查扇形的半径的求法、面积的求法，考查计算能力，注意扇形面积公式的应用.
3．B
【分析】根据所在象限，求出的范围，即可得到的取值范围，从而判断所在的象限，再根据，即可得到，从而得解；
【详解】解：因为是第三象限角，所以，，所以，，则是第二或第四象限角，又，即，所以是第二象限角；
故选：B
4．C
【分析】根据基本关系式、诱导公式、二倍角正弦公式及辅助角公式化简可得结果.
【详解】
.
故选：C.
5．C
【解析】利用两角和与差的公式展开整理即可得到，再利用对数的换底公式求解即可.
【详解】因为sin(α+β)=，sin(α-β)=，
所以sinαcosβ+cosαsinβ=，
sinαcosβ-cosαsinβ=，
所以sinαcosβ=，cosαsinβ=，
所以=5，
所以.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了两角和与差的公式以及对数的换底公式.属于较易题.
6．D
【详解】
所以 ，选D.
7．C
【分析】由题意可知是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期，求解即可．
【详解】解：函数对于，都有，所以是函数的最小值，是函数的最大值，的最小值就是函数的半周期，
所以，所以的最小值为：；
故选：．
8．C
【分析】利用三角函数图象变换求出，再根据三角恒等变换公式及二倍角公式结合三角函数的性质即可求解.
【详解】解：函数的图象向右平移个单位长度后得到函数
所以，则
当时，取得最大值，且最大值为
故选：C.
9．BC
【分析】利用象限角的定义可判断A选项；利用扇形的面积公式可判断B选项；利用三角函数的定义四可判断C选项；取可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为且为第二象限角，
故是第二象限角，A错；
对于B选项，若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的半径为，
因此，该扇形的面积为，B对；
对于C选项，若角的终边上有一点，则，C对；
对于D选项，因为为锐角，不妨取，则为直角，D错.
故选：BC.
10．ABC
【分析】AB选项，代入检验是否是对称中心和对称轴，C选项，求出，由数形结合验证单调性，D选项，求出，结合求出最小值.
【详解】当时，，所以的图象关于点对称，A正确；
当时，，所以的图象关于直线对称，B正确；
当时，，在上单调递减，故C正确；
当时，，在上的最小值为，D错误.
故选：ABC
11．CD
【分析】由题可知，摩天轮转一圈用30分钟，则OQ在分钟转过的角为，即可得OQ为终边的角，进而判断A选项；对称中心的横坐标满足，即可判断B选项；将代入点Q距离水平地面的高度与时间的函数中，即可判断C选项；令，求解即可判断D选项.
【详解】由题意知，OQ在分钟转过的角为，
所以以OQ为终边的角为，
所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误；
由，得，所以不是对称中心，故B错误；
经过10分钟，，故C正确；
由，得，得，解得，共20分钟，故D正确.
故选：CD
12．
【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用，结合简单三角方程的解法求出结果．
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后得到
由于与函数的图象重合，
所以，
整理得：，
当时，，
当时，，
所以的最小值为．
故答案为：．
13．
【详解】由扇形的面积公式,可得制作这样一面扇面需要的布料为.
故答案为.
14．
【分析】先利用降幂公式将原式化简为,再利用两角和差的余弦公式化简上式,进而得出结论.
【详解】解:原式
故答案为:
【点睛】本题是关于三角函数化简的题目，关键是掌握二倍角的余弦公式.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）令圆弧的半径为，由定义知求，进而由弧田面积，即可求其面积；
（2）由题意得，扇形面积，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时的值即可.
【详解】（1）由题意，如下图示，令圆弧的半径为，，
∴，即，得，
∴弧田面积，而，
∴.
（2）由题意知：弧长为，即该扇形周长，而扇形面积，
∴当且仅当时等号成立.
∴当时，该扇形面积最大.
【点睛】关键点点睛：
（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；
（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积关于圆心角的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.
16．(1)
(2)；.
【分析】（1）由三角函数的诱导公式化简得出；
（2）由三角函数的诱导公式化简再计算得出.
【详解】（1）
（2）因为，
所以，
所以；
．
17．(1)
(2)单调递增区间为；
对称轴方程为
(3)最大值是，最小值是﹣1
【分析】（1）展开利用辅助角公式化简即可求最小正周期
（2）根据复合函数整体法即可求单调递增区间和对称轴方程
（3）根据复合函数整体法即可最大值和最小值
【详解】（1）
函数的最小正周期
（2）令
解得
所以函数的单调递增区间为
令,解得
所以对称轴方程为
（3）当时,
所以
所以函数在区间上的最大值是,最小值是
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过三个连续零点的值可以求出函数的周期，根据最小正周期公式可以求出的值，将特殊点代入解析式中，可以求出，的值，进而确定函数解析式；
（2）根据正弦型函数的图象变换特点可以求出的解析式，由 可求出，进而得到的值域；
（3）根据可求出，由此求出，进而得到的值.
【详解】（1）由图知，，则.
由图可得，在处最大值，
又因为图象经过，故，
所以，故，
又因为，所以，
函数又经过，故，得.
所以函数的表达式为．
（2）由题意得，，
因为，所以，
则，所以，
所以在区间上的值域为.
（3）因为，
所以，即，
又因为，所以，
由，所以.
所以，
所以.
19．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；
（2）根据新定义证明即可；
（3）若为线周期函数，则存在非零常数，对任意，都有
，可得，解得的值再检验即可.
【详解】（1）对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以不是线周期函数，
对于，，所以是线周期函数；
（2）若为线周期函数，其线周期为，
则存在非零常数对任意，都有恒成立，
因为，
所以，
所以为周期函数；
（3）因为为线周期函数，
则存在非零常数，对任意，
都有，
所以，
令，得，
令，得，
所以，因为，所以，
检验：当时，，
存在非零常数，对任意，
，
所以为线周期函数，
所以：.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.
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