第五章 三角函数--匀速圆周运动的数学模型 常见题型总结 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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三角函数--匀速圆周运动的数学模型 常见题型总结
2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一：相位变换及解析式特征
要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
2. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
3. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ）
A．向左平行移动个单位 B．向左平行移动个单位
C．向右平行移动个单位 D．向右平行移动个单位
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度
二：相位变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征
函数的振幅是 ，初相是 ．
函数的周期是 振幅是 初相是 .
某简谱运动的函数表达式为，则该简谐运动的振幅和初相分别是（ ）
A．2，0 B．，0
C．2， D．，
函数的周期、振幅、初相分别是
A．,, B．,2,
C．,2, D．,2,
三:由正弦（型）函数的奇偶性求参数
函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2. 把函数的图像向右平移个单位，所得的图像正好关于轴对称，则的最小正值为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．在区间上单调递增
C．函数的图象关于点中心对称
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
4. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则
B．若，则函数在上的值域为
C．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为
D．若函数在上恰有一个零点，则
四：相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、辅助角公式
将函数,图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平行移动个单位长度，则得到的图像的解析式为 .
已知函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
3. 已知函数的图象为，为得到函数的图象，只需把上的所有点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标向左平移个单位
B．纵坐标不变，横坐标向右平移个单位
C．纵坐标不变，横坐标向左平移个单位
D．纵坐标不变，横坐标向右平移个单位
4. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
五：上下平移变换及解析式特征
设函数的图象为下面两个图中的一个，则函数的图象的对称轴方程为（ ）

A． B．
C． D．
2. 要得到函数的图象只需将函数的图象（ ）
A．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
B．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度
3.（多选题） 下列各组函数中，可以只通过图象平移变换从变为的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4. 把幂函数的图像向右平移2个单位，再向上平移2个单位，则得到的是函数 的图像．
六:求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、相位变换及解析式特征
1.（多选题） 已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
2.（多选题） 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为2π
B．的一个对称中心为
C．在区间内单调递增
D．将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象
3.（多选题） 设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是（ ）
A．是曲线的一个对称中心
B．若，且，则的最小值为
C．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合
D．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合
4.（多选题） 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期是
B．函数在区间上是增函数
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到
提升练
1．在①函数的图象关于点对称；
②函数在上的最小值为-1；
③函数的图象关于直线对称.
这三个条件中任选两个补充在下面的问题中，再解答这个问题.
已知函数（其中，），若满足条件________与_________，求函数的解析式.
2．已知函数()，再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）将的图象向右平移个单位得到的图象，求函数的单调增区间．
条件①：的最大值为2；条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．已知，，函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象上的各点______得到函数的图象，当时，方程有解，求实数a的取值范围.
在以下① ②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果① ②都做，则按①给分.
①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；
②纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位.
4．已知函数，且.
（1）求的最小正周期；
（2）将函数图象上所有的点先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域.
5．已知函数的图象与轴交于点，相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数的解析式;
（2）把的图象向左平移个单位得到的图象，求函数的最大值和最小值及相应的的值.
6．已知函数，且.
（1）求函数在区间上的最大值；
（2）若将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将得到的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，求的值.
7．已知向量，，设．
（1）将的图像向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图像，求的单调增区间；
（2）若时，恒成立，求实数m的取值范围．
8．已知向量，，设函数.
（1）求的单调增区间；
（2）设函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，求函数的值域.
9．已知函数相邻两个最高点的距离等于．
（1）求的值；
（2）求出函数的对称轴，对称中心；
（3）把函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），得到函数，再把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，不需要过程，直接写出函数的函数关系式.
10．已知函数：
（1）若，求y＝f（x）的最大值和最小值，并写出相应的x值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．
11．(1)由余弦曲线怎样得到函数的图象
(2)由的图象怎样得到函数的图象
(3)求函数的单调区间.
(4)判断函数的奇偶性.
12．已知函数的部分图象如图所示，、分别是图象的最高点与相邻的最低点，且，，为坐标原点.
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）将函数的图象向左平移1个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的单调增区间.
答案
一：相位变换及解析式特征
因为，要得到函数的图象，
只需将函数的图象向左平移个单位长度，
故选：C.
将向左平移个单位长度可得，
故选：D
要得到函数的图象，只要将函数的图象向左平行移动个单位,
故选：B
由，
因此向左平行个单位得到图象，
故选：C．
二：相位变换及解析式特征、振幅变换及解析式特征
振幅，
令则初相.
故答案为:3,
周期为 ，振幅，
令则初相.
故答案为: ；；.
简谱运动的函数，
振幅，初相，
故选：A
解：由已知函数，
振幅是，
周期是，
初相是.
故选：C.
本题考查了函数的图象与性质的应用问题，是基础题.
三:由正弦（型）函数的奇偶性求参数
由题意可知，，
因为函数关于原点对称，所以，
则，,得，且，
所以.
故选：D
由题意可得平移后所得图像对应的函数为偶函数，
∴
∴.
∵，∴.
故选:.
，
对于选项A：由图可知，，所以，，
因为，所以，故选项A正确；
对于选项B：，当时，，
根据余弦函数的图象与性质可知，选项B正确；
对于选项C：由图易知，函数的图象关于点中心对称，故选项C错误；
对于选项D：将的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象，故选项D正确．
故选：ABD.
对于A选项，若和为函数图象的两条相邻的对称轴，
则函数的最小正周期为，则，
所以，，此时，，合乎题意，A对；
对于B选项，若，则，
当时，则，所以，，
故当时，则函数在上的值域为，B错；
对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则为奇函数，
所以，，解得，
因为，当时，取最小值，C对；
对于D选项，因为，当时，，
因为函数在上恰有一个零点，则，解得，D对.
故选：ACD.
四：相位变换及解析式特征、周期变换及解析式特征、辅助角公式
，图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得函数，再将图像上的点向左平移个单位，得函数.
故答案为：
解：由题意可得，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以只需将的图象向左平移个单位，即可得的解析式.
故选：C.
因为，
为得到函数的图象，只需把上的所有点纵坐标不变，横坐标向左平移个单位，
故选：A.
函数的图象向左平移个单位长度后，
得到函数的解析式为：，
于是有，
解得，
针对四个选项中的四个角都是正角且小于，
所以令，得，
五：上下平移变换及解析式特征
若的图象是图2．由平移变换知：，则，
令，得．这与图象不符．
若的图象是图1．由平移变换知：，则，
令，得．符合题意.
故选：A．
2.（ 解：由函数，，
所以先向左平移个单位长度，得的图像，再向上平移2个单位长度，得 的图像，
故选：B
3. 对于A，无法通过平移由得到，故A错误，
对于B，，，故可以将的图象向右平移个单位得到的图象，故B正确，
对于C，要想由得到,只需向左平移个单位即可，故C正确，
对于D，，，故可将的图象向上平移1个单位得到的图象，故D正确，
故选：BCD.
4. 把幂函数的图像向右平移2个单位，得到，再向上平移2个单位，得到.
故答案为：
六:求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、相位变换及解析式特征
，向左平移个单位得，
对于A：，A正确；
对于B：当时，，函数在上不单调，则在区间上不单调，B错误；
对于C：，的图象关于直线对称，C正确；
对于D：，的图象不关于点对称，D错误.
故选：AC.
由于函数，
对于A，函数的最小正周期为，故A不正确；
对于B，由得，所以的对称中心为，当时，对称中心为，故B正确；
对于C，由得，所以的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，故函数在上单调递增，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象，故D不正确.
故选：BC．
函数的图象为曲线，
令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故A错误；
若，且，则的最小值为，故B正确；
将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故C错误；
将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，与曲线E重合，故D正确，
故选：BD.
对于A选项，函数的最小正周期是，A对；
对于B选项，当时，，
所以，函数在上不单调，B错；
对于C选项，因为，
所以，直线是函数图象的一条对称轴，C对；
对于D选项，因为，
所以，函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到，D错.
故选：AC.
提升练
1．答案见解析.
若选①②，可得，，求出，得出，再由最小值，即求；若选②③，可得，，求出，再根据最小值，即求.
解：若选①②，
因为函数的图象关于点对称，
所以，，，又，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，解得，
所以.
若选②③，
因为函数的图象关于直线对称，
所以，解得，，
又，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
解得，所以.
2．选择见解析；（1）；（2）单调增区间为．
（1）选择①：利用三角恒等变换化简函数解析式，进而根据最值求得的值；选择②：代入直接求解即可；
（2）根据三角函数伸缩平移变换可得函数解析式，进而求得其单调递增区间.
解：（1）选择①：因为
所以，其中，
所以，又因为，所以．
选择②：，所以．
（①不写不扣分，②每个值计算正确各给一分）
（2）因为
所以
则，
，
所以函数的单调增区间为
(一个都没写的扣一分)
3．（1）最小正周期为；（2）条件选择见解析；.
（1）先利用数量积、倍角公式和两角和的正弦求出，利用公式可求最小正周期.
（2）利用图象变换得到的解析式，再利用正弦的性质可求其值域，从而得到所求的取值范围.
解：（1）
，
故函数的最小正周期为.
（2）将的图象按照变换①：向左平移个单位，
再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，
可得的图象，
当时，，，，
若方程有解，则.
将的图象按照变换②：纵坐标保持不变，
横坐标缩小为原来的一半，再向右平移个单位，
可得的图象，
当时，，，，
若方程有解，则.
三角函数的图象往往涉及振幅变换、周期变换和平移变换，注意周期变换和平移变换（左右平移）的次序对函数解析式的影响，比如，它可以由先向左平移个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的，也可以先保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移.
4．（1）最小正周期；（2）.
（1）由求出ω，直接用周期公式求周期；
（2）先进行图像变换，求出的解析式，再借助于的性质求 在区间上的值域 .
解：（1）因为，所以，，则，.
又，所以，.
故的最小正周期.
（2）先将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.
因为，所以.
当时，取得最小值，且最小值为-1；
当时，取得最大值，且最大值为2.
故在上的值域为.
(1)求三角函数解析式的方法：①求A通常用最大值或最小值；②求ω通常用周期；③求φ通常利用函数上的点带入即可求解；
（2）求y=Asin(ωx+φ)+B的值域通常用换元法.
5．（1）；（2）见解析.
（1）根据图象所过的点可得，根据相邻对称轴的距离可得周期，从而可求，故可得函数解析式.
（2）先求出的解析式，再根据正弦函数的性质可得的最值及何时取最值.
（1）因为图象与轴交于点，故即，
而，故，
因为相邻两条对称轴之间的距离为，故周期为，故，
故.
（2）由题设可得，
当时，，故，
当且仅当时，；
当且仅当或时，.
（1）在三角函数图象的变换中，注意左右平移时仅对自变量本身作变化；
（2）正弦型函数的值域或最值问题，应利用整体法结合正弦函数的性质来处理.
6．（1）（2）
（1）因为，，可求的值，根据正弦函数的性质求函数在区间上的最大值．
（2）根据三角函数的平移变换及周期变换法则，求出的解析式，即可求的值．
解：（1）因为，，
所以，
所以.
因为，
所以，
所以当，即时，取得最大值，且.
（2）据（1）求解知，，
所以将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，
再将得到的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，
所以.
本题考查三角函数的性质及三角函数的变换，属于基础题．
7．（1）
（2）
（1）化简得到，再根据平移伸缩法则得到
，再计算单调增区间.
（2）根据范围变换得到恒成立，令，，则恒成立，计算最大值得到答案.
（1）
将的图像向右平移个单位得
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得
得．
单调递增区间:
（2）由得①恒成立
①可化为恒成立，令，
恒成立即求函数的最大值
是单调减函数的最大值为．
本题考查了三角函数的变换，单调增区间，恒成立问题，将恒成立问题转化为函数的最值是解题的关键.
8．（1），.（2）
（1）首先化简函数，然后令，求函数的单调递增区间；
（2）首先化简，然后求的范围，再求的值域.
（1）由题，，∴，
∴，
令，∴，
所以函数的单调增区间为，.
（2）由题可得，
故，
因为，∴，∴，∴.
本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，意在考查转化与化归和计算能力，本题的关键利用降幂公式和辅助角公式恒等变形，所以需熟练掌握三角函数的变形公式.
9．（1）2；（2），；（3）
（1）由题意知最小正周期为，利用即可求得.
（2）由（1）可知函数的解析式，结合正弦函数的性质即可求出对称轴及对称中心；
（3）根据函数的变换规则求得函数的函数关系式.
解：（1）由函数相邻两个最高点的距离等于，
知函数的最小正周期为，
且
（2）由（1）知，
令，
解得，
故函数的对称轴为，；
令，
解得，
故函数的对称中心为，；
（3）
10．（1）x时，，最小值为， x时，最大值为2；（2）．
（1）∵，
∴2x∈[，]，
∴sinx（2x）≤1，即f（x）∈[，2]，
当x时，f（x）取得最小值，最小值为，
当x时，f（x）取得最大值，最大值为2；
（2）函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g（x）的图象，
则g（x）＝2sin[2（x）]+1＝2sin（2x）+1，
令g（x）＝2sin（2x）+1＝0，解得xkπ或xkπ，k∈Z，
即g（x）的零点相离间隔依次为或，
故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有20个零点，则b﹣a的最小值为109．
本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于基础题．
11．（1）见解析（2）见解析（3）在上是增函数,在和上都是减函数.（4）既不是奇函数也不是偶函数.
解：（1）把余弦曲线上所有的点向左平移个单位可得到函数的图像.
(2)把的图像上所有的点向右平移个单位得即，故将的图像上所有的点向右平移个单位可得到函数的图像.
（3）由正弦函数的单调性可得在上是增函数，在和上都是减函数.
（4）定义域为R,且关于原点对称.
因为,
.
所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
本题考查三角函数图象的变换，三角函数的性质，属于基础题.
12．（Ⅰ）（Ⅱ）和
（Ⅰ）由题,因为,所以点为,则,
设点为,则,
因为,即,所以,即,
所以,即,则,
因为在图像上,所以,即,
所以,
因为,所以当时,,所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）,则,
令,
则,
当时,在上单调递增；
当时,在上单调递增,
因为,所以的单调增区间是和
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