第二十四章 圆--弧长与面积 常见题型总结练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--弧长与面积 常见题型总结练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
题型一、求弧长
已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，在中，直径，是的弦，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
4． 如图，某传送带的转动轮的半径为，假设皮带，转动轮和
物品之间没有打滑，且足够长，若转动轮转动，则传送带上的物品被传送 ．（结果保留）
如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若．
(1)求的度数；
(2)的长度为__________．
题型二、求扇形的面积
如果一个扇形的圆心角为，半径为，则这个扇形的面积为（　 　）．
A．π B． C． D．
7．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，已知的半径为2，，则图中阴影部分的面积为 ．
如图是某校铅球场地的设计图，该场地由和扇形组成，，分别与交于点，．，，，则阴影部分的面积为 （结果保留）．
9． 如图，是的外接圆，半径为，连接，，，
(1)过点作，交于点，若，求的长；
(2)若，求阴影部分的面积．
题型三、已知弧长或扇形面积求半径
已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（ ）
A．6 B．4 C．2 D．
在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
12． 如图，，分别切于点为，，若，弧的长为，则的半径为 ．
13． 弧长为的弧所对的圆心角为，求弧所在的圆的
半径．
题型四、已知弧长或扇形面积求圆心角
一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
15． 将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（ ）
A． B． C． D．
16． “轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动周时，上的点随之旋转，则（ ）
A． B． C． D．
17． 一个扇形的弧长为，面积是，求扇形的半径和圆心角的度数．
综合练
一、解答题
1．如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，与交于点，若．
(1)求的度数；
(2)若，，求扇形的面积．
2．如图，已知是等边三角形，是边上的中线，以为直径画，交于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求小扇形的面积结果保留．
3．如图，是一个直径为厘米的半圆，让这个半圆以为圆心沿逆时针方向旋转，使到达的位置，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
4．如图，已知的直径垂直于弦于点E，连结，且．
(1)若，求的长；
(2)若，求扇形（阴影部分）的面积（结果保留）．
5．如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)已知，．
①求的半径长；
②若劣弧的长度为，求的度数
6．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．已知，点C，D分别为的中点，且的长度为．
(1)求扇形的圆心角度数；
(2)依据相关数据，求花窗的面积．
7．如图7，的正方形网格纸上有扇形和扇形，点均在格点上．若用扇形围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为；若用扇形围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为，求的值．
8．如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC．
(1)求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；
(2)若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r．
9．如图，在中，已知弦，相交于点E，连接，．
(1)求证：．
(2)若，的半径为4，求的长．
10．如图，内接于，是的切线，于点，连接．
(1)求证：；
(2)如图，若，求证：四边形为正方形；
(3)如图，交于点，若点为的中点，，求的长度．
答案
解：圆心角所对的弧长．
故选：C．
解：如图，连接，
∵，
∴，
∵直径，
∴，
∴的长为．
故选：C．
解：连接，如图所示：
∵，
∴，
根据作图可知：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴的长为．
故选：C．
解：根据弧长公式可知，
传送带上的物品被传送的距离为∶．
故答案为：．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴的长度．
故答案为：
解：如果一个扇形的圆心角为，半径为，
则这个扇形的面积为，
故选：D．
解：阴影部分面积为：；
故答案为：．
解：由题意得：
，
故答案为：．
（1）解：，，
，
在中，，，
∴，
；
（2）解：，
，
∴．
设扇形的半径为，
根据扇形的面积公式，
解得．
故选：．
解：根据弧长公式：，其中，
代入得：
解得：
故选：A．
解：连接 、
， 分别切 于 ，
，，即
四边形 内角和为 ，
又 弧 长 ，
解得
故答案为：
解：设弧所在的圆的半径为，
由弧长公式得：，
解得：，
弧所在的圆的半径为18．
解：根据，
解得：，
故选：C.
解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径），
∴，
故选：D ．
解：∵的周长为：，
∴顺时针转动周时，点移动的弧长为：，
∴，
解得：．
故选：A．
解：设这个扇形的半径为，圆心角是，
根据扇形面积公式，
可得，
解得．
再根据弧长公式，
可得，
解得．
答：扇形的半径为，圆心角为．
综合练
1．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、扇形的面积以及勾股定理，注意得到，应用垂径定理是关键．
（1）由，，可求得的度数；由是半圆的直径， 根据“直径所对的圆周角是直角”，可求得，又由，证得，然后由“垂径定理”求得，最后根据圆周角定理求得的度数；
（2）由“垂径定理”可求得的长，设，则， 在中，根据勾股定理列方程求解即可得到的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
是圆的直径，
，
，
，即，
，
；
（2）解：，，
，
设，则，
在中，，
即， 解得，
即，
扇形的面积为： ．
2．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的性质，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到直线是的切线；
（2）根据等边三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质得到，根据扇形的面积公式得到结论．
【详解】（1）证明：是等边三角形，是边上的中线，
，
为直径，
直线是的切线；
（2）解：是等边三角形，是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
小扇形的面积．
3．平方厘米
【分析】本题考查了扇形的面积，先求出总的面积，再减去空白部分半圆的面积即可求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：整个图形的面积为，
∴阴影部分的面积（平方厘米），
答：图中阴影部分的面积是平方厘米．
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据，可得，再由勾股定理可得，然后利用三角形面积公式求出，再利用垂径定理即可求解；
（2）根据垂径定理可得，再由，可得，设，则，，根据，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积公式，扇形的面积等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)①的半径长为5；②
【分析】本题考查了垂径定理及其推论、勾股定理、弧长的计算等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
（1）首先证明，然后根据垂径定理的推论，即可得到结论；
（2）①首先根据垂径定理可得，再根据勾股定理解得，即可获得答案；②设，根据弧长公式解得，即，然后确定的度数即可．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，，
∴，，
∴，即，
解得，
∴的半径长为5；
②设，
∵劣弧的长度为，
∴，
∴，即，
∵，，
∴．
6．(1)扇形圆心角的度数为
(2)花窗的面积为
【分析】本题考查求圆心角与扇形面积，熟练掌握弧长与扇形面积公式是解题的关键．
（1）设的度数为，根据弧长公式列方程求解即可；
（2）先根据扇形的面积公式求出、，再由求解即可．
【详解】（1）解：由题知，，点C，D分别为的中点，
∴，
设的度数为，
∵的长度为．
∴，解得，
∴扇形圆心角的度数为；
（2）解：∵
，
∴，
∴花窗的面积为．
7．
【分析】由、知、，据此可得，利用勾股定理计算可得．
【详解】，
、，
．
【点睛】本题主要考查圆锥的计算，解题的关键是掌握圆锥体底面周长与母线长间的关系式及勾股定理．
8．(1)剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2；
(2)
【分析】（1）连接OA，作OD⊥AB于点D，利用直角三角形的性质以及垂径定理即可求得AB的长即剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径；
（2）先根据弧长公式计算出弧BC的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长计算该圆锥的底面圆的半径．
【详解】（1）解：连接OA，OB，OC，作OD⊥AB于点D．
则AD=AB，
∵BA= CA，OA= OA，OB= OC，
∴△BAO≌△CAO，
∴∠BAO=∠CAO，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAO=30 °，
∵圆的直径为4，
∴ OA=2，
∴OD=1，DA==，
∴AB=2DA=2；
∴剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2；
（2）解：则扇形（即阴影部分）的弧长是：，
根据题意得：，
解得：r=．
答：此圆锥形铁帽的底面圆的半径为．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式，垂径定理，正确求得AB的长是关键．
9．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据等弦对等弧即可证明；
（2）连接，根据垂直的定义得到，则有，利用圆周角定理得到，则有，根据得到，最后利用弧长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
∴，
又∵的半径为4，
∴．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及切线的性质是解题的关键．
（1）根据是的切线与于点，可得到角之间的关系，进而证明；
（2）根据（1）中结果得到四边形为矩形，再根据半径相等，可得到四边形为正方形；
（3）连接，后，可证明，得到，得到，根据弧长公式解答即可．
【详解】（1）证明：是的切线，
，
于点，
，
，
，
，
；
（2）证明：由（1）可知：，，
∵，
，
，
∴四边形为矩形，
，
四边形为正方形；
（3）解：连接，，
点为的中点，
，
∵，
，
在与中
，
∴，
，
，
，
∴的长度为．
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