第二十四章 圆--切线问题 常见题型总结练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--切线问题 常见题型总结练（二）
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、切线的性质的有关计算
1． 如图，是的直径，过点的切线与的延长线相交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．
2.如图，是的切线，切点为，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，是的弦，的延长线交过点B的的切线于点C，如果，则的度数是 ．
4.如图，圆O是的外接圆，，过点C作圆O的切线，交的延长线于点D，则的度数是 ．
5.如图，是的弦，是的直径，过点C的切线交的延长线于点D，若，求的度数．
6.如图，是的弦，是的直径，过点的切线交的延长线于点，若，求的度数．
二、切线的有关多结论判断问题
1.如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2.如图，为的直径延长线上的一点，与相切，切点为，点是上一点，连接．已知．下列结论：（1）与相切；（2）四边形是菱形；（3）；（4）弧弧．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、切线与动点问题
1.如图，半圆的直径，中，，，，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上，设运动时间为，．当半圆与的边相切时，运动时间 ．
2.如图，半圆O的直径，在中，，，．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，当圆心O运动到点B时停止，点D、E始终在直线BC上．设运动时间为（s），运动开始时，半圆O在的左侧，．当 时，的一边所在直线与半圆O所在的圆相切．
四、切线的判定与性质综合问题
1.如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点．
(1)求证：是的切线；
(2)为边上的中线，若，求的值．
2.如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，且过点，延长线交于点E，交于点F，连接， ．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
3.如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点．
(1)求证：与相切；；
(2)若正方形的边长为，则的半径_______．
综合练
1．如图，等边内接于，是的直径，过点作的切线，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
2．如图，内接于，，，与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
3．如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
4．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径．
5．如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径
6．如图，在中，，以为直径的⊙O交BC于点D，，垂足为点E．
(1)求证：直线与相切：
(2)当时，求线段的长．
7．如图，是的外接圆，其切线与直径的延长线相交于点，且．
(1)求的度数；
(2)若，求阴影部分面积．
8．如图，在中，．以为直径的与相交于点，与的延长线相交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若交于点，求的值．
9．（1）如图，已知是上的四个点，交于点，连接．求证：平分；
（2）如图，与相切于点与相切于点．求的半径．
10．如图，，是的直径，过弦的中点，过点作的切线交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
11．如图，是的直径，E是延长线上的一点，是的切线，C是切点，D是上的一个点，连接．
(1)求证：．
(2)若，则的长为______．
答案
一、切线的性质的有关计算
1.解：如图，连接，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∵，，
∴，即，
∴．
故选：A．
2.解：是的切线，
，
，
，
．
故选：B．
3.解：∵，
∴，
∴，
又∵是的切线，
∴，
则，
∴．
故答案为：．
4.解：如图所示，连接，
∵，圆O是的外接圆，
∴是的直径，
∴，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
故答案为：．
5.解：连接，
为的切线，
，
，
又，
，
，
∴．
6.解：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
二、切线的有关多结论判断问题
1.解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴为的切线，①正确；
②由图可知不一定；
∵为的切线，
∴．
∵，
又∵，
∴，
∴，③正确．
故选：B．
2.解：（1）连接，，
与相切，切点为，
，
在和中，
，
，
，
与相切，故（1）正确；
（2）由（1）得：，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形，故（2）正确；
（3）连接，
，
，
是直径，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的直径，不是直径，
，
，故（3）错误；
（4）由（2）证得四边形是菱形，
，
弧弧，
故（4）正确；故选：C
三、切线与动点问题
1.解：∵半圆的直径，
∴半圆的半径,
①如图1，当点E与C重合时，，则半圆与相切，
此时点O运动了，
∴运动时间；
②如图2，当点E与D重合时，则，
∴半圆与相切，
此时点O运动了，
∴运动时间；
③如图3，过C作于F，
∵，，
∴，
当半圆与相切时，O到的距离等于半径，
∴点O与C重合，此时点O运动了，
∴运动时间
综上，当半圆与的边相切时，运动时间2或8或14，
故答案为：2或8或14．
2.
如图，当点C与点E重合时，AC与半圆O所在的圆相切，
∵，
∴，
∴，即点O运动了2cm，
∴，
当AB与半圆O所在的圆相切时，
过点C作交于点F，
∵，，
∴，
∴，即点O与点C重合，
∴点O运动了8cm，
∴，
当点C与点D重合时，AC与半圆O所在的圆相切，
，即点O运动了14cm，
∴，
故答案为：1或4或7．
四、切线的判定与性质综合问题
1.（1）证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，A是切点，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴
设的半径为r，
则，，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
∵为边上的中线，
，
∴，
即的值是．
2.（1）证明：连接，
平分，
，
，，
，，
，，
，
，，
，
，
与相切于点B，
，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：，，
垂直平分，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
．
3.（1）证明：如图所示，连接，过点作于点，则，
∵与切于点，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵是圆的半径，
∴是圆的半径，且点是半径的外端点，，
∴与相切；
（2）解：∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∵正方形的边长为，即
∴，
∴，
解得，，
∴的半径为，
故答案为：．
综合练
1．(1)见解析
(2)
本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；
（1）连接，先根据是等边三角形，得出，则得出，进而根据同弧所对的圆周角相等得出，则，再证明，进而根据切线的性质得出可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得证；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质求得，进而在中，勾股定理，即可求解．
（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
又∵是的切线，
∴
∴
在中，
∴；
（2）解：如图
∵
∴
∴，
在中，
∴
∴，
由（1）可得
∴
∵
∴
∴
∴
∴
在中，
2．(1)见解析
(2)
本题考查了圆切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理以及含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）连接，先根据垂径定理可得垂直平分，再根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的性质即可得证；
（2）连接，先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据含度角的直角三角形的性质、勾股定理求解即可得．
（1）证明：如图，连接，
，
，
垂直平分，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，
，，
，
，
由（1）已证，
，
，
．
3．(1)见解析
(2)
本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键．
（1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论；
（2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
4．(1)证明见解析
(2)3
（1）连接，由知，则，由可证，根据得，得证；
（2）设，在中由勾股定理求得
（1）证明：连接，
，
．
．
，
．
．
．
，
，
又是半径．
是的切线．
（2）解：设，
，
．
在中，
，，，
．
解得．
的半径是3．
本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．
5．(1)见解析
(2)的半径为3
本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；
（1）连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证；
（2）由勾股定理可得，设的半径为r，则，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
（1）证明：连接．
，
．
，
．
是的切线，
，即．
在中，，
．
．
．
（2）解：在中，，，，
．
．
在中，，设的半径为r，则，，
．
解得．即的半径为3．
6．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）为直径，
，
∵，
为中点，
∴，
∴，
∵在直角中，，
∴，
解得．
7．(1)
(2)
（1）连接，，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质得到，， 结合三角形外角的性质得到，由直角三角形的两锐角互余即可求出的度数，进而得到的度数， 从而证得是等边三角形， 得到的度数， 由圆周角定理即可得到的度数；
（2）先证， 根据等角对等边得到， 从而可求出的长度，利用勾股定理即可求得 的长度 ， 从而根据列式计算即可．
（1）解：如图所示，连接，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，
， 即，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：如图所示，
由（1）可知，， 是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
8．(1)见解析
(2)
（1）连接，求出，求出，根据切线的判定得出即可；
（2）由可得，；连接，由是直径可知，根据勾股定理求出，解直角三角形即可求出答案．
（1）证明：如图，连接．
．
，
．
．
又是的半径，是的切线．
（2）解：如图，连接．
是的直径，
．
，
，
．
在中，．
由（1），得．
，
．
9．（1）见解析；
（2）．
（1）等弦对等弧，进而证明角相等，可证平分；
（2）通过切线的性质得到，再结合，可证明四边形为正方形，即可求出的半径．
解：（1）证明：，
，
，
平分．
（2）与相切于点与相切于点，
．
四边形为正方形，
，即的半径为4．
10．(1)详见解析
(2)
本题考查垂径定理，切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明，，继而推导出，得到，则，即可解答；
（2）连接，由（1）得到，推导出，，，根据勾股定理，得到，由的面积，求出，则，即可解答．
（1）证明：为的直径，过弦的中点，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
，
；
（2）连接，由（1）得：，
是的直径，
，，
，
为的切线，
，
，
的面积，
，
．
11．(1)见解析
(2)
（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明结论；
（2）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，进而求出，再根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．
（1）证明：连接，如图．
是的切线，则，
．
，
．
（2）解：．
，
四边形是平行四边形，
．
由（1）可知，，则，
．
在中，，则，
．
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