第二十四章 圆--切线问题 常见题型总结练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十四章 圆--切线问题 常见题型总结练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、切线的判定定理的认识
下列判断正确的是（ ）
A．弧长相等的弧是等弧 B．过三点可以确定一个圆
C．同弧或等弧所对的圆心角相等 D．垂直于半径的直线是圆的切线
2． 下列命题：①等弧所对的弦相等；②垂直于弦的直线平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等；④直径所对的圆周角是直角；⑤垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、切线的判定条件
3． 如图，点在上，点在外，以下条件不能判定是切线的是（ ）
A． B．
C． D．与的交点是中点
4． 如图，和直线，直线在同一平面内，是的直径，直线是的切线，直线经过点，下列条件不能判定直线与相切的是 （ ）
A． B．
C．与只有一个公共点 D．点到上某点的距离等于半径
5． 如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
6． 在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
三、证明直线的圆的切线
如图，已知为的直径，点为圆上一点，垂直于过点的直线，交于点E，垂足为点，平分．求证：是的切线．
如图，在中，是直径，是弦，F是上一点，，交于点C，D为延长线上一点，且．求证：是的切线．
如图：等腰，以腰为直径作交底边于P，，垂足为E．求证：是的切线．
如图，是的外接圆的直径，点D为上一点，过点D作于点D，交的延长线于点E，点F为线段上一点，且．求证：是的切线；
如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线．
四、先添加条件再证明是圆的切线
如图，已知直线经过上的点C，有下列条件：①；②直线是的切线；③．请任意选择其中两个条件作为已知，第三个条件作为结论，构成一个真命题，并证明．
已知：内接于，过点A作直线．
(1)如图1，为直径，要使为的切线，还需添加的条件是（只需写出两种情况）：
①___________；②_____________．
(2)如图2，是非直径的弦，，求证：是的切线．
五、切线与作图问题
如图，已知（）．

(1)作一个圆，使圆心在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，并说明作图的理由）；
(2)尺规作图：作，使得圆心在边上，过点且与边相切于点（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）．
16． 已知是外一点．
(1)如图1，过点作的一条切线，切点为；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
(2)在（1）的条件下，若是的中点，且，求证：点在上．
综合练
1．如图，是外一点，连接，以为直径作圆与相交于、两点，连接、、、．
(1)求证：直线、是的切线；
(2)当，时，求圆心距的长．
2．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，垂足为M，的半径为10，求的长．
3．如图是的外接圆，，延长至，连接，使得，交于．
(1)求证：与相切；
(2)若，．求的半径和的长度．
4．如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，若平分，连接，求证：．
5． 如图，在平面直角坐标系中，点，，．
(1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ．
(2)这个圆的半径为 ．
(3)直接判断点与的位置关系，点在 填“内”“外”或“上”．
(4)在网格中过点作的切线，求切线经过的图中所有格点的坐标．
6．如图，点均在上，且经过圆心，延长至点，连接并延长，交于点，过点作的切线，且于点．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
7．如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，过点作，交的延长线于点，连接，．
(1)求证：平分；
(2)若，的半径为6，求的长．
8．如图，已知为的直径，点C为上一点，延长至点D，连接，且，过点A作交的延长线于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
9．如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点．
(1)求证：是的切线；
(2)为边上的中线，若，求的值．
10．如图，，为的直径，过点的切线与的延长线交于点，，是的中点，弦，相交于点．
(1)求的度数；
(2)若，求的直径的长．
11．如图，是的直径，C，D在上两点，连接．
(1)如图1，点P是延长线上一点，，求证：与相切；
(2)如图2，点G在上，于点F，连接并延长交于点H，若为的直径，，，
①求证：；
②求半径的长．
答案
一、切线的判定定理的认识
1． 解：A、弧长相等的弧是等弧，错误，应为能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意；
B、过三点可以确定一个圆，不一定成立，应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故不符合题意；
C、同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；
D、垂直于半径的直线是圆的切线，错误，应为经过半径外端且与半径垂直的直线为圆的切线，故不符合题意，
故选：C．
解：等弧所对的弦相等，说法①正确；
垂直于弦的直径平分弦，故说法②错误；
同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故说法③错误；
直径所对的圆周角是直角，说法④正确；
垂直于半径且垂足在圆上的直线是圆的切线，故说法⑤错误．
综上所述，正确的命题有①④，共计2个．
故选：C．
二、切线的判定条件
3．
解：A、，
，
，
点B在上，
是的半径，
是切线；
B、，
，
，
，
，
点B在上，
是的半径，
是切线；
C、，
是直角三角形，，
，
点B在上，
是的半径，
是切线；
D、与的交点是中点，
不能证出，
因此不能判定是切线；
故选：D．
4． 解：是的直径，且是的切线
又
直线与相切
故选项A、B可以判定，不符合题意；
C、根据圆的切线的定义，可知与圆仅有一个公共点的直线是切线，选项C可以判定，不符合题意；
D、根据与圆心的距离等于半径的直线为圆的切线，选项D不可判定，符合题意；
故选：D．
解：A、∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵，
∴，则，
∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，
∴是等腰三角形，无法确定，
∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意．
故选：D．
解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．
解：∵△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，
∴，
∵当OA⊥AC即∠OAC=90°时，AC才能成为⊙O的切线，
∴当∠CAB的度数等于60°，即OA⊥AC时，AC才能成为⊙O的切线．
故答案为：60．
三、证明直线的圆的切线
8． 解：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径
∴是的切线；
9． 证明：，
．
又，
，
即，
，
是的切线．
证明：连接，
∵是的直径，
，
，
，
，
为的中位线，
，
，
，
是半径，
∴是的切线．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
证明：连接，
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，又为的半径，
∴是的切线．
四、先添加条件再证明是圆的切线
13． 解：①②为条件，③为结论；证明如下：
连接，如图所示：
∵直线是的切线；
∴，
∵，
∴；
①③为条件，②为结论；证明如下：
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵直线经过上的点C，
∴为半径，
∴直线是的切线；
②③为条件，①为结论；证明如下：
连接，如图所示：
∵直线是的切线；
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
14． （1）解：①当(或)可判断为的切线；
②当，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
故答案为∶ ①(或)(答案不唯一)、②；(答案不唯一)
（2）证明：如图，作直径，连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴为的切线；
五、切线与作图问题
15． （1）如图所示，即为所求

∵是的平分线，，
∴点到的距离等于到的距离，
∴与、所在直线相切
（2）如图所示，即为所求作的图形

（1）如图，取的中点B，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点C，作直线，
则直线即为所求．
理由：如图，连接，
由作法得：，
∵B为中点，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
即，
∵为的半径，
∴与相切；
（2）证明：（1）得，．
设，则．
∵B是线段的中点，
∴， ，
由勾股定理得，，
即的半径为x，
∴的长等于的半径的长，
∴点B在上．
综合练
1．(1)见解析
(2)3
本题考查了切线的判定，直径所对的圆周角等于90度，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意可知，，，从而得出结论；
（2）30度所对的直角边等于斜边的一半，可以得到的长度，从而算得．
（1）证明：以为直径作圆与相交于、两点，连接、、、，
，，
，，
是的半径，
直线、是的切线；
（2）解：，，，
，
．
2．(1)见解析
(2)
本题考查圆周角定理，切线的判定，垂径定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键：
（1）连接，根据圆周角定理得到，进而得到，等边对等角得到，进而求出，即可得证；
（2）垂径定理结合含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理进行求解即可．
（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）∵是的直径，，
∴，，
由（1）可知，
∴，
∵的半径为10，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．(1)见解析
(2)的半径为4，
（1）连接，要证明切线，只需证明，根据，只需得到，根据圆周角定理即可证明；
（2）设的半径为，则，，，在中根据勾股定理可计算出；作于，根据垂径定理得，再利用面积法计算出，然后根据勾股定理计算出，再利用垂径定理得出．
（1）证明：连接，
，
，
；
又，
，
是的切线；
（2）解：设的半径为，则，，，
在中，，
，解得，
则，
作于，如图，
则，
，
，
在中，，
，
．
4．(1)见详解
(2)见详解
本题主要考查切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质，熟练掌握切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质是解题的关键；
（1）连接并延长，交于点E，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解；
（2）连接交于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证．
（1）证明：连接并延长，交于点E，连接，如图所示：
∴，
∴，
∵与的边相切于点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：连接交于点F，如图所示：
由（1）可知：，
∵平分，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
5．(1)
(2)
(3)外
(4)，，，
（1）解：如图，圆心M的坐标，
故答案为：；
（2）解：的半径为，
故答案为：；
（3）解：,
因此，点D在外；
故答案为：外；
（4）解：如图，为过点的的切线，过点，，，．
6．(1)见解析
(2)9
（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
；
（2）解：过点作，垂足为，
∴，
又∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
又∵，在中，，
∴，解得：
．
7．(1)见解析
(2)
（1）是的切线，
，
．
，
，
，
，
．
，
，
，
平分；
（2）解：如图，过点作，垂足为点，
由题意得四边形为矩形，
，，．
设，即，
在中，
，
；
在中，
，
；
，
，解得，
故的长为．
8．(1)见解析
(2)6
（1）证明：如图，连接，

∵为的直径，
∴，
，
∵，
∵，
，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：由（1）知，，
∴在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，为的直径，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得：．
9．(1)见解析
(2)
本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答；
（2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答．
（1）证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，A是切点，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴
设的半径为r，
则，，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
∵为边上的中线，
，
∴，
即的值是．
10．(1)
(2)的直径的长为
（1）∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
故答案为；
（2）如图，连接，
∵是直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的直径的长为．
故答案为：的直径的长为．
11．(1)见解析
(2)①见解析；②．
（1）如图1，连接，根据圆周角定理得到，易得，进而得到即可证明结论；
（2）①如图：连接，作于M，于N．证明，，得到，证明，则，进一步证明，即可得到结论；②设，利用勾股定理构建方程求出a即可解决问题．
（1）解：如图1，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切．
（2）解：①如图：连接，作于M，于N．
∵于点F，
∴
∵是直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴半径的长为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)