沪科版数学八年级上册全等三角形之手拉手模型专项训练
一、等边三角形类
1．（2022八上·绥棱期末）如图，点，，在一条直线上，、均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点．
（1）求证：≌；
（2）求的度数．
2．（2024八上·慈溪期末）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结．
（1）求证：；
（2）求的度数．
3．（2021八上·淮北月考）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
4．（2025八上·期中）如图， 和 都是等边三角形，且B，C，D三点共线，则有结论：①BE =AD；②∠EBC =∠DAC；③请你在①②③中任选一个结论并证明.
二、等腰直角三角形类
5．（2024八上·杭州期末）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，试猜想CE、BF的关系，并说明理由．
6．（2025八上·秀洲月考）如图， △ABC和△ADE中， ∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC，AE=AD，B、C、E在同一条直线上，连接DC，交AE于点F.
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若BE=3CE，CD=6，求△DCE的面积.
7．（2023八上·朝阳月考）如图，已知，，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
8．（2025八上·期中） 如图，在. 和 中，AC=BC，DC=EC， 点E 在 AB 的延长线上，连接AD，若 求 的度数.
9．（2022八上·綦江期中）如图，等腰直角中，，，.点D在的延长线上，连接；过点C作，使，连接，
（1）求证：.
（2）如图，若点N为的中点，连接、；求证：.
10．（2023八上·肇庆月考）小明和小华各买了一付不同的新三角板.小明把他们的两块等腰直角三角板的直角的顶点和一直角边叠在一起拼成如图（1）的图形，图中，，.
图（1） 图（2）
（1）在图（1）中，试证明；
（2）小华把小明的拼图动了一下，但两块三角板的直角的顶点还是叠在一起的，如图（2），请问BD和CE还相等吗？证明你的结论.
（3）请分别指出两个拼图中，BD与CE的位置关系，不用说明理由.
三、其他等腰三角形类
11．（2023八上·栾城期中）如图，已知△BAC和△DAE的顶点A重合，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE交于点M．
（1）证明：∠ABD＝∠ACE；
（2）若∠BAC＝70°，求∠BMC的大小．
12．（2023八上·新余月考）已知，如图①，在和中，，，
（1）求证：①；②；
（2）如图②，在和中，，，，则AC与BD的等量关系为 ．的大小为 ．（直接写出结果，不需要证明）
13． 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．设∠BAC=α，∠BCE=β．
（1）当点D在线段BC上，求证：△ABD≌△ACE．
（2）探究α，β之间的数量关系，并说明理由．
（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图上画出图形，并探究α，β之间的数量关系．
14．（2023八上·任丘期中）已知：在和中，，．
图1图2
（1）如图1，若．
①求证：．②求的度数．
（2）如图2，若，的大小为 （直接写出结果，不证明）．
15．（2024八上·长沙月考）在中，，点是直线上一点不与点，重合，把线段绕着点逆时针旋转至即，使得，连接，．
（1）如图，点在线段上，若，则 ；
（2）如图，当点在线段上时，若，请求出的度数．
（3）如图，设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
四、创新拓展
16．（2025·永昌模拟）（1）【模型建立】如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系；
（2）【模型应用】
如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系；
（3）【模型迁移】
如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：、为等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
≌
（2）解：由知≌，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，由SAS可得△ABE≌△DBC；
（2）由（1）得，，再由三角形的内角和性质以及三角形的外角的性质可得答案.
2．【答案】（1）证明：为等边三角形
在和中，
（2）解：
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由边角边判定定理可证两三角形全等；
（2）求的度数，因为已经知道，可利用全等三角形的性质算出的度数即可.
3．【答案】（1）解：∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即，
，
（SAS），
（2）解：
，BE＝BD，
（3）②
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）结论：②，理由如下：
如图，作于，于，
，
平分
结论②成立
若①成立，同理可得
则，根据已知条件不能判断
则①不成立
故答案为：②
【分析】（1）通过证明可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠DCB，再结合三角形外角的性质可证明结论；
（3）过点B作于，于，根据可得AE=CD，，可得BP=BQ，进而可证明结论。
4．【答案】解：选择结论 ① ，证明如下：
∵ 和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】选择结论 ①，先根据等边三角形得性质得，从而得，再证明即可.
5．【答案】解：EC＝BF，EC⊥BF
理由如下：
设AC，BF相交于点G
∵AE⊥AB，AF⊥AC
∴∠EAB=∠CAF=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC
即∠EAC=∠BAF
∵ AE＝AB，AF＝AC
∴(SAS)
∴EC＝BF，∠AFB=∠ACE
∵∠AGF=∠CGM
∴∠GMC=∠GAF=90°
∴EC⊥BF
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】本题考查全等手拉手模型，利用全等证明边相等，再通过对应角相等得到垂直关系
6．【答案】（1）证明：△ABC和△ADE两个大小不同的等腰直角三角形， AB=AC， AE= AD， ∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD；
（2）解：由 (1) 知△ABE≌△ACD，
又∵BE=3CE， CD=6，
∴BE=CD=6，
∴CE=2， BC=4，
∵△ABC和△ADE两个大小不同的等腰直角三角形，
∴∠B =∠ACD =∠ACB =45°，
∴∠BCD=90°，
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用全等三角形判定证明即可；
(2)利用 (1)中全等性质求出CE=2，再利用等腰直角三角形性质证明∠BCD=90°，继而利用面积公式求解即可.
7．【答案】（1）证明：，，
．
，即．
在和中，
，
≌．
．
（2）证明：由知：≌，
．
，
．
．
，
．
在中，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出≌，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出，最后利用三角形的内角和求出，即可得到.
8．【答案】解：如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】根据得，进一步得，再根据可证明，根据全等三角形性质得，从而得，再根据得为等腰直角三角形，从而得.
9．【答案】（1）证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：延长到点G，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠DCA=∠ECB，结合已知用边角边可证△DAC≌△BEC，则∠DAC=∠EBC，而∠DAC=∠ACB+∠ABC=135°，由角的构成∠EBC=∠EBD+∠CBD=∠DAC可求得∠EBD=90°，于是根据垂线的定义可得AB⊥BE；
（2） 延长CN到点G，使得CN=NG，连接DG，由题意用边角边可证△CNB≌△GND，则DG=CB，∠CBN=∠GDN，由平行线的判定可得DG∥CB，由平行线的性质可得∠CDG+∠DCB=180°，结合已知可得∠CDG=∠ACE，用边角边可证△CDG≌△ACE，根据全等三角形的性质可得AE=CG=2CN.
10．【答案】（1）证明：在与中，
∴
∴；
（2）解：BD=CE，理由如下：
∵
∴
即
在与中，
∴
∴；
（3）解：两个图中都有BD与CE互相垂直，理由如下：
延长CE交BD于点F，
∵，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵，
∴，
即；
∵，
∴．
∵，
∴∠CAF=∠BOF=90°
即．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定SAS证明，再根据全等三角形的对应边相等可得答案；
（2）先证明，再根据SAS证明，再根据全等三角形的对应边相等可得答案；
（3）根据“全等三角形的对应角相等”得∠ABD=∠ACE，进而结合对顶角相等及三角形的内角和定理可得∠BFE=90°或∠BOF=90°，即可得出CE⊥BD．
11．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE；
（2）解：∠BAC＝∠DAE＝70°．
设BD与AC交于点F，由（1）得∠ABD＝∠ACE，
在△ABF和△CMF中，∠AFB＝∠CFM，
∵∠ABD＋∠AFB＋∠BAC＝180°，∠ACE＋∠MFC＋∠BMC＝180°，
∴∠BMC＝∠BAC＝70°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”证出△ABD≌△ACE，可得∠ABD＝∠ACE；
（2）利用角的运算求出∠BMC＝∠BAC＝70°即可.
12．【答案】（1）解：∵，∴，
在和中，
∴，∴，，
根据三角形内角和可知，
∴．
（2）；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）AC=BD，理由为：
即
故，，
【分析】（1）① 根据已知角相等可得 ，结合已知条件可理由SAS证明； ② 利用三角形全等的性质以及三角形内角和定理、等量代换即可求证；
（2）AC=BD，先证明利用三角形全等的性质的性质即可得到，再利用三角形全等的性质以及等量代换关系可得到.
13．【答案】（1）证明：∵
在与中，
（2）解：180°.
理由：由(1)可知.
.
（3）解：如图，当D在线段BC的延长线上时，.
在与中，
在中，，
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由∠DAE=∠BAC 可以推出：∠BAD=∠CAE.再结合已知 AB=AC ， AD=AE，即可得到△ABD≌△CAE（SAS）.
（2）由△ABD≌△CAE可知：∠B=∠ACE，再根据等式的性质，两边都加上∠ACB，即可得到：∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，即180°-∠BAC=∠BCE.由已知 ∠BAC=α，∠BCE=β，即可得到：180°-α=β，所以α+β=180°.
（3）由图结合已知，仍然可得：△ABD≌△ACE，所以∠ABD=∠ACE.在△ABC中，因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，所以∠ACE+∠BAC+ACB=180°，即∠BAC+∠BCE=180°，所以α+β=180°.
14．【答案】（1）解：①证明：∵，
∴，
∴，
在△AOC和△BOD中，，
∴，∴；
②解：∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）同理可得：，
．
，
，
，
．
．
∴
故答案为：
【分析】（1）①先根据题意得到，进而结合三角形全等的判定与性质证明即可得到；
②先根据三角形全等的性质得到，进而结合题意即可求解；
（2）同理可得：，进而得到，再结合题意进行运算即可得到，从而即可求解。
15．【答案】（1）
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
由（1）得，∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°；
（3）α＋β＝180°或α＝β
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°，
故答案为：90°；
（3）α＋β＝180°或α＝β．理由如下：
①当点D在线段BC上，
∵∠BAC＝α，
∴∠B＝∠ACB＝（180° α），
由（1）得，∠ACE＝∠B＝（180° α），
∴β＝∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝180° α，
∴α＋β＝180°；
②当点D在射线BC上时，如图所示，连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝∠BAC＋∠BCE＝180°，即∠BCE＋∠BAC＝180°，
∴α＋β＝180°；
③当点D在射线BC的反向延长线上时，如图所示，连接BE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，
∴∠ABD＋∠ABC＝∠ACE＋∠ABC＝∠ACB＋∠BCE＋∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180° ∠ABC ∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．
【分析】（1）先利用“SAS”证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质得到∠ACE＝∠B，从而得解；
（2）先求出∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，再利用全等三角形的性质得到∠ACE＝∠B＝60°，最后利用角的运算求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当点D在线段BC上；②当点D在射线BC上时；③当点D在射线BC的反向延长线上时，再利用“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，最后利用三角形的内角和求解即可.
16．【答案】解：（1）．理由如下：由题意得与均为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，在和中，，，，，，． （2）．理由如下：如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，． ，，，，，，，即，，． （3）如解图2，延长到点，使，连接．∵，∴是等腰直角三角形，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：，，，，，． 如解图3，过点A作交于点E，则．，．，．又，，，，，，，．综上所述，的面积为10或26.
（1）解：（1）．
理由如下：由题意得与均为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．
（3）解：如解图2，延长到点，使，连接．
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
如解图3，过点A作交于点E，则．
，
．
，
．
又，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的面积为10或26.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用SAS证明，最后证明求解即可；
（2）根据旋转的性质求出，，再利用全等三角形的性质求出，最后证明求解即可；
（3）根据题意先求出是等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质求出，最后利用勾股定理和三角形的面积公式等计算求解即可.
1 / 1沪科版数学八年级上册全等三角形之手拉手模型专项训练
一、等边三角形类
1．（2022八上·绥棱期末）如图，点，，在一条直线上，、均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点．
（1）求证：≌；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：、为等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
≌
（2）解：由知≌，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，由SAS可得△ABE≌△DBC；
（2）由（1）得，，再由三角形的内角和性质以及三角形的外角的性质可得答案.
2．（2024八上·慈溪期末）如图，已知和均为等边三角形，点在的延长线上，连结．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：为等边三角形
在和中，
（2）解：
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由边角边判定定理可证两三角形全等；
（2）求的度数，因为已经知道，可利用全等三角形的性质算出的度数即可.
3．（2021八上·淮北月考）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是 （请写序号），并给出证明过程．
【答案】（1）解：∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即，
，
（SAS），
（2）解：
，BE＝BD，
（3）②
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）结论：②，理由如下：
如图，作于，于，
，
平分
结论②成立
若①成立，同理可得
则，根据已知条件不能判断
则①不成立
故答案为：②
【分析】（1）通过证明可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠DCB，再结合三角形外角的性质可证明结论；
（3）过点B作于，于，根据可得AE=CD，，可得BP=BQ，进而可证明结论。
4．（2025八上·期中）如图， 和 都是等边三角形，且B，C，D三点共线，则有结论：①BE =AD；②∠EBC =∠DAC；③请你在①②③中任选一个结论并证明.
【答案】解：选择结论 ① ，证明如下：
∵ 和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】选择结论 ①，先根据等边三角形得性质得，从而得，再证明即可.
二、等腰直角三角形类
5．（2024八上·杭州期末）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，试猜想CE、BF的关系，并说明理由．
【答案】解：EC＝BF，EC⊥BF
理由如下：
设AC，BF相交于点G
∵AE⊥AB，AF⊥AC
∴∠EAB=∠CAF=90°
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC
即∠EAC=∠BAF
∵ AE＝AB，AF＝AC
∴(SAS)
∴EC＝BF，∠AFB=∠ACE
∵∠AGF=∠CGM
∴∠GMC=∠GAF=90°
∴EC⊥BF
【知识点】垂线的概念；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】本题考查全等手拉手模型，利用全等证明边相等，再通过对应角相等得到垂直关系
6．（2025八上·秀洲月考）如图， △ABC和△ADE中， ∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC，AE=AD，B、C、E在同一条直线上，连接DC，交AE于点F.
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若BE=3CE，CD=6，求△DCE的面积.
【答案】（1）证明：△ABC和△ADE两个大小不同的等腰直角三角形， AB=AC， AE= AD， ∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD；
（2）解：由 (1) 知△ABE≌△ACD，
又∵BE=3CE， CD=6，
∴BE=CD=6，
∴CE=2， BC=4，
∵△ABC和△ADE两个大小不同的等腰直角三角形，
∴∠B =∠ACD =∠ACB =45°，
∴∠BCD=90°，
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用全等三角形判定证明即可；
(2)利用 (1)中全等性质求出CE=2，再利用等腰直角三角形性质证明∠BCD=90°，继而利用面积公式求解即可.
7．（2023八上·朝阳月考）如图，已知，，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：，，
．
，即．
在和中，
，
≌．
．
（2）证明：由知：≌，
．
，
．
．
，
．
在中，
．
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用“SAS”证出≌，再利用全等三角形的性质可得；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换求出，最后利用三角形的内角和求出，即可得到.
8．（2025八上·期中） 如图，在. 和 中，AC=BC，DC=EC， 点E 在 AB 的延长线上，连接AD，若 求 的度数.
【答案】解：如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】根据得，进一步得，再根据可证明，根据全等三角形性质得，从而得，再根据得为等腰直角三角形，从而得.
9．（2022八上·綦江期中）如图，等腰直角中，，，.点D在的延长线上，连接；过点C作，使，连接，
（1）求证：.
（2）如图，若点N为的中点，连接、；求证：.
【答案】（1）证明：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：延长到点G，使得，连接，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由同角的余角相等可得∠DCA=∠ECB，结合已知用边角边可证△DAC≌△BEC，则∠DAC=∠EBC，而∠DAC=∠ACB+∠ABC=135°，由角的构成∠EBC=∠EBD+∠CBD=∠DAC可求得∠EBD=90°，于是根据垂线的定义可得AB⊥BE；
（2） 延长CN到点G，使得CN=NG，连接DG，由题意用边角边可证△CNB≌△GND，则DG=CB，∠CBN=∠GDN，由平行线的判定可得DG∥CB，由平行线的性质可得∠CDG+∠DCB=180°，结合已知可得∠CDG=∠ACE，用边角边可证△CDG≌△ACE，根据全等三角形的性质可得AE=CG=2CN.
10．（2023八上·肇庆月考）小明和小华各买了一付不同的新三角板.小明把他们的两块等腰直角三角板的直角的顶点和一直角边叠在一起拼成如图（1）的图形，图中，，.
图（1） 图（2）
（1）在图（1）中，试证明；
（2）小华把小明的拼图动了一下，但两块三角板的直角的顶点还是叠在一起的，如图（2），请问BD和CE还相等吗？证明你的结论.
（3）请分别指出两个拼图中，BD与CE的位置关系，不用说明理由.
【答案】（1）证明：在与中，
∴
∴；
（2）解：BD=CE，理由如下：
∵
∴
即
在与中，
∴
∴；
（3）解：两个图中都有BD与CE互相垂直，理由如下：
延长CE交BD于点F，
∵，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵，
∴，
即；
∵，
∴．
∵，
∴∠CAF=∠BOF=90°
即．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定SAS证明，再根据全等三角形的对应边相等可得答案；
（2）先证明，再根据SAS证明，再根据全等三角形的对应边相等可得答案；
（3）根据“全等三角形的对应角相等”得∠ABD=∠ACE，进而结合对顶角相等及三角形的内角和定理可得∠BFE=90°或∠BOF=90°，即可得出CE⊥BD．
三、其他等腰三角形类
11．（2023八上·栾城期中）如图，已知△BAC和△DAE的顶点A重合，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE交于点M．
（1）证明：∠ABD＝∠ACE；
（2）若∠BAC＝70°，求∠BMC的大小．
【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE；
（2）解：∠BAC＝∠DAE＝70°．
设BD与AC交于点F，由（1）得∠ABD＝∠ACE，
在△ABF和△CMF中，∠AFB＝∠CFM，
∵∠ABD＋∠AFB＋∠BAC＝180°，∠ACE＋∠MFC＋∠BMC＝180°，
∴∠BMC＝∠BAC＝70°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角的运算求出∠BAD＝∠CAE，再利用“SAS”证出△ABD≌△ACE，可得∠ABD＝∠ACE；
（2）利用角的运算求出∠BMC＝∠BAC＝70°即可.
12．（2023八上·新余月考）已知，如图①，在和中，，，
（1）求证：①；②；
（2）如图②，在和中，，，，则AC与BD的等量关系为 ．的大小为 ．（直接写出结果，不需要证明）
【答案】（1）解：∵，∴，
在和中，
∴，∴，，
根据三角形内角和可知，
∴．
（2）；
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）AC=BD，理由为：
即
故，，
【分析】（1）① 根据已知角相等可得 ，结合已知条件可理由SAS证明； ② 利用三角形全等的性质以及三角形内角和定理、等量代换即可求证；
（2）AC=BD，先证明利用三角形全等的性质的性质即可得到，再利用三角形全等的性质以及等量代换关系可得到.
13． 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B，C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连结CE．设∠BAC=α，∠BCE=β．
（1）当点D在线段BC上，求证：△ABD≌△ACE．
（2）探究α，β之间的数量关系，并说明理由．
（3）当点D在线段BC的延长线上时，在备用图上画出图形，并探究α，β之间的数量关系．
【答案】（1）证明：∵
在与中，
（2）解：180°.
理由：由(1)可知.
.
（3）解：如图，当D在线段BC的延长线上时，.
在与中，
在中，，
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由∠DAE=∠BAC 可以推出：∠BAD=∠CAE.再结合已知 AB=AC ， AD=AE，即可得到△ABD≌△CAE（SAS）.
（2）由△ABD≌△CAE可知：∠B=∠ACE，再根据等式的性质，两边都加上∠ACB，即可得到：∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，即180°-∠BAC=∠BCE.由已知 ∠BAC=α，∠BCE=β，即可得到：180°-α=β，所以α+β=180°.
（3）由图结合已知，仍然可得：△ABD≌△ACE，所以∠ABD=∠ACE.在△ABC中，因为∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，所以∠ACE+∠BAC+ACB=180°，即∠BAC+∠BCE=180°，所以α+β=180°.
14．（2023八上·任丘期中）已知：在和中，，．
图1图2
（1）如图1，若．
①求证：．②求的度数．
（2）如图2，若，的大小为 （直接写出结果，不证明）．
【答案】（1）解：①证明：∵，
∴，
∴，
在△AOC和△BOD中，，
∴，∴；
②解：∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）同理可得：，
．
，
，
，
．
．
∴
故答案为：
【分析】（1）①先根据题意得到，进而结合三角形全等的判定与性质证明即可得到；
②先根据三角形全等的性质得到，进而结合题意即可求解；
（2）同理可得：，进而得到，再结合题意进行运算即可得到，从而即可求解。
15．（2024八上·长沙月考）在中，，点是直线上一点不与点，重合，把线段绕着点逆时针旋转至即，使得，连接，．
（1）如图，点在线段上，若，则 ；
（2）如图，当点在线段上时，若，请求出的度数．
（3）如图，设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．
【答案】（1）
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝60°，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
由（1）得，∠ACE＝∠B＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°；
（3）α＋β＝180°或α＝β
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠DAE＝∠BAC＝90°，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝45°，∠ADE＝∠AED＝45°，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝90°，
故答案为：90°；
（3）α＋β＝180°或α＝β．理由如下：
①当点D在线段BC上，
∵∠BAC＝α，
∴∠B＝∠ACB＝（180° α），
由（1）得，∠ACE＝∠B＝（180° α），
∴β＝∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝180° α，
∴α＋β＝180°；
②当点D在射线BC上时，如图所示，连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴∠BAC＋∠ACE＋∠ACB＝∠BAC＋∠BCE＝180°，即∠BCE＋∠BAC＝180°，
∴α＋β＝180°；
③当点D在射线BC的反向延长线上时，如图所示，连接BE，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB＋∠BCE，
∴∠ABD＋∠ABC＝∠ACE＋∠ABC＝∠ACB＋∠BCE＋∠ABC＝180°，
∵∠BAC＝180° ∠ABC ∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE．
∴α＝β；
综上所述：点D在直线BC上移动，α＋β＝180°或α＝β．
【分析】（1）先利用“SAS”证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质得到∠ACE＝∠B，从而得解；
（2）先求出∠B＝∠ACB＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，再利用全等三角形的性质得到∠ACE＝∠B＝60°，最后利用角的运算求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当点D在线段BC上；②当点D在射线BC上时；③当点D在射线BC的反向延长线上时，再利用“SAS”可证△ABD≌△ACE得出∠ABD＝∠ACE，最后利用三角形的内角和求解即可.
四、创新拓展
16．（2025·永昌模拟）（1）【模型建立】如图1，在和中，D是边上的一点，，连接．用等式直接写出线段的数量关系；
（2）【模型应用】
如图2，在中，，E，F为边上的点，且．用等式直接写出线段的数量关系；
（3）【模型迁移】
如图3，在中，为直角，，平面内存在一点D，使．若，，求的面积．
【答案】解：（1）．理由如下：由题意得与均为等腰直角三角形，，由勾股定理得，，，在和中，，，，，，． （2）．理由如下：如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，． ，，，，，，，即，，． （3）如解图2，延长到点，使，连接．∵，∴是等腰直角三角形，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，∴由勾股定理得：，，，，，． 如解图3，过点A作交于点E，则．，．，．又，，，，，，，．综上所述，的面积为10或26.
（1）解：（1）．
理由如下：由题意得与均为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
（2）解：．理由如下：
如解图1，把绕点A逆时针旋转得到，连接，则，．
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
．
（3）解：如解图2，延长到点，使，连接．
∵，
∴是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：，
，
，
，
，
．
如解图3，过点A作交于点E，则．
，
．
，
．
又，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的面积为10或26.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出，再利用SAS证明，最后证明求解即可；
（2）根据旋转的性质求出，，再利用全等三角形的性质求出，最后证明求解即可；
（3）根据题意先求出是等腰直角三角形，再利用全等三角形的性质求出，最后利用勾股定理和三角形的面积公式等计算求解即可.
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