第二十四章 圆--切线长定理 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--切线长定理 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、利用切线长定理求线段
1． 如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．
2． 如图，直线分别与相切于点，若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3． 如图，、、是圆O的切线，切点分别为P、C、D，若，，则的长是 ．
如图，中，，它的内切圆分别和切于点D，E，F，求和的长．
5．如图，，O是上一点，以点O为圆心，的长为半径的圆与相切于点D，与相交于点E，且．求：
(1)的半径．
(2)的长．
6．一摄影爱好者做一个实地测量，用无人机在一半径为50米的球体表面P点正上方80米处F点看到球体表面最远点M、N两点．
(1)求的长度；
(2)求M、N两点的距离．
二、利用切线长定理求角度
7．如图，是的直径，点为外一点，，分别与相切于点，点，连接，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，若的半径为，，则的值和的大小分别为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的切线，为切点，是的直径，若，则的度数为 ．
10．如图，，是圆的切线，切点分别为，，连接，．如果，那么的度数为 ．
11．如图，是⊙O的切线，A，B为切点，是⊙O的直径，，求和的度数．
三、利用切线长定理求周长
12．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（ ）.
A．7 B．1 C．10 D．14
13．如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
14．如图：、切于、，过点的切线交、于、，，则的周长为 ．
15．如图，的内切圆与两直角边，分别相切于点，，过劣弧（不包括端点，）上任一点作的切线与，分别交于点，，若的半径为2，则的周长为 ．
16．如图，是一张三角形纸片，，是它的内切圆，小陈准备用剪刀在的左侧沿着与相切的任意一条直线剪下，若剪下的的周长为，则的周长为 ．
17．如图，是的切线，切点分别为A、B．点C在上，过点C的切线分别交于点D、E，已知的周长20，求的长．
18．已知：为直径，，分别切于，，切于，，．
(1)求证：；
(2)求四边形的周长．
四、切线长定理的有关计算与证明
19．如图，射线，与相切，切点分别为，，连接并延长，交于点，连接，．求证．
20．如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，与交于点，若，求证：．
21．如图，P为外一点，为的切线，切点分别为A、B，直线交于点D、E，交于点C．
(1)求证∶．
(2)若，连接，求证：四边形是菱形．
提升练
1．如图，，是的切线，，为切点，为上的一点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
2．如图，为的直径，O为圆心，切于点C，与的延长线交于点M，交延长线于点D，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
3．如图中，，平分交于点，以点为圆心，为半径作．
(1)求证：与相切；
(2)若，求的半径．
4．如图，，是的切线，切点分别为A，B，是的直径，交于点E，连接交于点F，连接交于点D，．
(1)求的长．
(2)连接，求证：．
5．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为的中点，过作半圆的切线交的延长线于点，交的延长线于点，连接．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，求半圆的半径．
6．如图，为的直径，点在上，分别过点、点作的切线相交于点，作射线交的延长线于点，连接相交于点．
(1)写出图中一个与相等的角：___________；
(2)求证：；
(3)若，连接，直接写出四边形与的面积比．
7．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，．
如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F，
(1)求的长．
(2)已知，求的长．
8．已知：为直径，，分别切于，，切于，，．
(1)求证：；
(2)求四边形的周长．
9．如图，四边形的各边与半径为2的分别相切于点、、、．若，，，求四边形ABCD的面积．
10．如图，，，分别与相切于，，，且，，．求的长．
11．如图1，为直径，与相切于点，为上一点，连接、，若．
(1)求证：为的切线；
(2)如图2，过点作交延长线于点，连接交于点，若，求的长．
12．如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．

(1)求证：是的切线；
(2)求的半径．
(3)连接，求的长．
答案
一、利用切线长定理求线段
1． 解：∵与分别相切，
∴；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故选：B．
解：连接，
直线分别与相切于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：D ．
解：∵、为的切线，，
∴；
∵、为的切线，
∴；
∵，
∴．
故答案为：2．
解：设，
∵的内切圆分别和切于点D，E，F，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
∴．
（1）解：如图，连接．
与相切于点D，
．设的半径为．
在中，，解得，
的半径为．
（2）解：由题意，得是的切线．
是的切线，．
设，则．
由（1），得．
在中，，解得，
的长为．
（1）解：如图，连接，
由题意可得，均是的切线，
∴，
∵米，米，
∴米，
∴米，
即的长度为米；
（2）设线段与相交于点，
∵均是的切线，
∴,
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∴米，
∴米，
故M、N两点的距离为米．
二、利用切线长定理求角度
7． 解：、分别与相切于点、，
，，
，
，
，
是的直径，
，
，
故选：C．
解：如图，连接．
∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
9． 解：∵是的切线，是的直径，
∴，
∴，，
∴；
故答案为：．
解：∵，是圆的切线，切点分别为，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
解：∵是⊙O的切线，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、利用切线长定理求周长
12． 解：的内切圆与、、分别相切于点、、，
，，，
，
的周长为：
故选：D．
解：∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
又∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
同理，∵，是的切线，切点分别为，，
∴．
．
∴．
又∵，
∴．
∵的周长为，即，
∴，可得，
解得．
故选：C
解：、切于、，切于，
，，；
的周长．
故答案为：．
15． 解：连接、．
和是的切线，
，，，
则四边形是正方形．
，
又是切线，
，，
的周长
．
故答案是：4．
解：根据题意设与分别相切于点F、G、L、H，
则，，且，
∴，
∵，，且的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：21．
解：∵是的切线，
∴；
∵过点C的切线分别交于点D、E，
∴；
∵的周长20，
∴，
∴，
即，
∴．
（1）解：连结，
分别切于，切于，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
由（1）知，
，
，
，
四边形的周长为．
四、切线长定理的有关计算与证明
19． 证明：连接，
∵射线，与相切，切点分别为A，B，
∴，平分，
∴垂直平分，
∵的延长线交于点C，
∴．
20． （1）证明：根据切线长定理可得：，，，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（1）证明：如图，连接，
∵是直径，
∴
即
∵为的切线，
∴，
即．
∴，
∵
∴，
∴．
（2）连接，连接，如图，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴
∵为的切线，
∴，，
∵
∴，
∴
∴
∴，
∵，
∴四边形是菱形．
提升练
1．(1)见解析
(2)
（1）连接，延长交于点，先证明，由同圆的半径相等得，由平角的定义和三角形的内角和定理可得：，最后由平行线的判定可得结论；
（2）延长交于点，过点作于，由垂径定理得：，由勾股定理计算的长，设，则，，根据勾股定理列方程可得结论．
（1）证明：如图1，连接，延长交于点，
，是的切线，，为切点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：如图2，延长交于点，过点作于，
，
，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
由勾股定理得：，
，是的切线，，为切点，
，
设，则，，
，，
，
，
，
，
解得：，
．
本题考查的是切线长定理，垂径定理，勾股定理，四边形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)3
此题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
（1 ）由得到，再由已知角相等及对顶角相等，得到，利用切线的判定方法判断即可得证；
（2 ）在中，利用勾股定理求出的长，利用切线长定理得到，由即可求出的长，在中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为圆的半径，
∴为圆O的切线；
（2）解：连接，
在中，，，
根据勾股定理得：，
∵与都为圆的切线，
∴，
∴．
∵为圆O的切线，
∴，
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为3．
3．(1)证明过程见详解
(2)3
本题主要考查了圆的切线的判定与性质，角平分线的性质定理，圆的切线的定义 ，过圆心作直线的垂线是解决此类问题常添加的辅助线．
（1）过点作于点，，利用圆的切线的性质定理和角平分线的性质得到，再利用圆的切线的定义解答即可；
（2）利用切线长定理和勾股定理解答即可得出结论．
（1）证明：过点作于点，如图，
，为半径作．
是的切线，
平分，，，
，
是的半径，
为的半径，
圆心到直线的距离等于的半径，
是的切线；
（2）解：是的切线，，
，
，
，
中，，
中，，
即，
，即的半径为3．
4．(1)2
(2)见解析
（1）由切线长的定理得出，得出是的垂直平分线，再由直径所对的圆周角等于90度得出，再证明为的中位线，进而可得出的长．
（2）由切线的定义得出，由直径所对的圆周角等于90度进一步得出 ，等量代换可得出，由线段垂直平分线的性质以及等弧所对的圆周角相等可得出，等量代换可得出．
（1）解：连接，
，是的切线，
．
，，
是的垂直平分线，
，
是的直径，
，
．
（2）证明：是的切线，
．
是的直径，
∴，
，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
本题主要考查了圆周角定理，切线的定义和性质，切线长的定义和性质，线段垂直平分线的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质等知识，掌握这些性质是解题的关键．
5．(1)见解析
(2)
本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）连接，根据三线合一性质得出，根据证明，可得出，然后根据切线的判定即可得证；
（2）根据切线长定理求出，根据勾股定理求出，然后在中根据勾股定理得出，解方程即可．
（1）证明：连接，
∵是半圆的切线，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
又是半圆的切线，
∴是半圆的切线；
（2）解：∵、是半圆的切线，，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
即半圆的半径为．
6．(1)
(2)见解析
(3)
（1）利用圆周角定理和圆的切线的性质定理得到，利用直角三角形的性质和同角的余角相等的性质解答即可得出结论；
（2）连接，利用切线长定理，同圆的半径相等的性质和线段的垂直平分线的判定定理得到是的垂直平分线，即，利用圆周角定理得到，则，结论可得；
（3）利用直角三角形的面积公式求得的面积，再利用三角形的中位线的定义求得的面积，进而求得四边形的面积，代入化简即可得出结论．
（1）解：（答案不唯一）
∵为的直径，与相切于点，
∴，
∴
∴
故答案为
（2）证明：∵分别与相切于点、点，
∴
∴点在的中垂线上，
连接，点、点都在上，如答图所示，
∴
∴点在的中垂线上，
∴是的垂直平分线，即，，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵点在射线上，
∴
（3）
∵，
∴．
∵，
∴是的中位线，
∴
∵是的垂直平分线，
∴，
∴
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
7．(1)
(2)
本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键．
（1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可；
（2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长．
（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
，，，
设，则，，
根据题意得：
解得：
，，，
则的长为；
（2），，，
∴半周长，
又，
，
，
则的长为．
8．(1)见解析
(2)
本题考查切线的性质，切线长定理，三角形的面积，勾股定理；
（1）连结，根据切线长定理得到，然后根据平行得到，即可证明结论；
（2）根据勾股定理求出长，再根据三角形的面积求出长，即可得到长解答即可．
（1）解：连结，
分别切于，切于，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
，
由（1）知，
，
，
，
四边形的周长为．
9．
本题主要考查了圆的切线的性质，准确做出辅助线求解是解题的关键．
连接，，，，，，，，根据已知条件求出，再计算4个三角形面积即可；
如图，连接，，，，，，，，
圆与四边形各边相切，
，，，，
，
，，，
，
又圆与四边形各边相切，
，，，，
圆的半径为2，
，
．
故答案．
10．
解答此题的关键是综合运用切线长定理和平行线的性质发现，再根据勾股定理进行计算．
根据切线长定理和平行线的性质定理得到是直角三角形．再根据勾股定理求出的长．
解：，，分别与相切于，，；
，，
，
，
，即，
，
所以的长为．
11．(1)见解析
(2)
（1）连接，由切线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）设，根据切线长定理可得，过点E作于M，可得，由勾股定理求出，求出的长，则可得出答案．
（1）证明：连接，
∵与相切于点B，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又为半径，
∴为的切线；
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴为的切线，
∵为的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
过点E作于M，则，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴，
∵，
∴．
此题主要考查了切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、切线长定理等知识的综合应用．
12．(1)见解析
(2)3
(3)
本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；
（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．
（3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案．
（1）证明：，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：在中，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为3.
（3）解：延长相交于点F，
与都为的切线，
平分，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
∴．
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