第二十四章 圆--不规则阴影部分周长、面积及最值相关计算 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--不规则阴影部分周长、面积及最值相关计算 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、不规则阴影部分周长计算
1.如图，在扇形中，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交于点C，则图中阴影部分的周长是 ．
2.如图，在中，，点D是的中点，以点A、C为圆心，以的长为半径画圆弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的周长为 （结果保留）．

3.如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，，

(1)求证：四边形是菱形：
(2)若的半径为，求图中阴影部分的周长．
4.如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且.

(1)求的长；
(2)当时，
①__________；
②求阴影部分的周长和面积.
二、不规则阴影部分面积计算
1.如图，直角中，，以A为圆心，长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是
2.如图，扇形的圆心角为，点在圆弧上，，，阴影部分的面积为 ．
3.如图，以A为圆心，为半径作扇形，线段恰好与以为直径的半圆弧相交，交点D为弧的中点，若，则图中阴影部分的面积为 （结果保留根号和）．
4.如图，C为上一点，是的直径，，，现将绕点B按顺时针方向旋转后得到，交于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
三、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算
1如图，在扇形中，C为上一点且，点D为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ．
2如图，一张直径为的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，连接 ，则 ；图中阴影部分面积的最小值为 ．
3.如图，⊙O的半径为2cm，弦，C是弦AB所对的优弧上一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 cm2．
4.如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点．若，则阴影部分周长的最小值为 ．

拓展练
1．某学校把一个长方形场地改造成如图所示的花园，长方形的长为，宽为b
(1)用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积S．
(2)当，时，求图中阴影部分的面积．
2．如图，是的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，，求图中阴影部分的面积．
3．综合探究
如图，在中，，以为直径作，与交于点D，与交于点E，过点C作，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
4．如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
5．如图，在中，，点在圆上，交圆于点，与圆交于点，，交于点，为的直径，．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数；
(3)若，求图中阴影部分的面积．
6．已知：如图，在中，，以为直径的交于点，过点作于点．
(1)求证：是的切线．
(2)若的半径为，，求图中阴影部分的面积．
7．如图，在中，以为直径的与相交于点，点在上，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，直接写出图中阴影部分的周长和面积．
答案
一、不规则阴影部分周长计算
1.解：如图，连接，由折叠可知，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵的长为，
∴阴影部分的周长为：．
2.解：∵在中，，
∴，，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∴的长与的长的和为，
∴阴影部分的周长为，
故答案为：．
3.（1）证明：连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
∴，
又∵，
图中阴影部分的周长为
4.（1）解：∵为的直径，
∴，
∵为中点，为中点，
∴且，
∵，
∴，
∵弦于点，
∴，
∴；
（2）解：①∵弦于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴.
故答案为：
②连接，

∵，，
∴，
∴.
在，
∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的周长，
阴影部分的面积.
二、不规则阴影部分面积计算
1.解：如图所示，连接，设分别交于，
∵直角中，，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
2.解：连接，
，
，
又，
是等边三角形，
，
又，
，
，
，
，
故答案为：．
3.解：如图，连接，
点D为弧的中点，
，
又，
，
，
，扇形面积，
面积，扇形面积扇形面积，
阴影部分的面积．
故答案为：．
4.解：连接，如图所示：
∵是的直径，，
∴的半径为，且，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
由旋转可知：，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
三、不规则阴影部分面积中的最值相关的计算
1.解: 作点关于的对称点, 连接,与交点为D,交于点,过点作 交延长线于点，由对称可知
，

∵四边形是矩形,
，
∴，
∴，
∴阴影部分周长的最小值为，
故答案为：．
2.解：如图1，设圆心为，连接，则，
∵，
∴，
由勾股定理得，，
设到的距离为，
由题意知，
，
当最大时，最小，
∴当时，最大，如图1，作于，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴，
故答案为：，．
3.解：过点C作于E，
∵，
∴当最大时，最小，此时，经过圆心O，即垂直平分，点C为优弧的中点，连接，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴最小值，
故答案为：．
4.解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点，连接，

此时最小，即：，
由题意得，，
，
，的长，
∴阴影部分周长的最小值为．
故答案为：．
拓展练
1．(1)
(2)80
（1）解：；
（2）解：当，时，
，
则阴影部分的面积为80．
2．(1)见解析
(2)
（1）证明：连接、，如图，
是的切线，
，
，
点是的中点，点为的中点，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
．
，
，
为的半径，
为的切线；
（2）由（1）可知与是直角三角形
∵，
则，，
四边形为正方形，
则图中阴影部分的面积正方形的面积扇形的面积．
3．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接交于M，
∵，，
∴为等腰直角三角形
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
4．(1)是的切线，理由见解析
(2)
（1）证明：是的切线，理由：
连接，
与相切于点，
，
在和中，
，，，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由（）可知，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，，
．
5．(1)见解析
(2)
(3)
（1）证明：，
，
；
（2）解：连接，，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
扇形的面积，的面积，
阴影部分的面积扇形的面积的面积．
6．(1)证明详见解析
(2)
（1）解：连接，
，
，
，
，
，
平行于，
，
，
是的切线．
（2）解：过点作于点，
，
，
在中，
，
，
，
，
，，
．
7．(1)见解析
(2)，
1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
由同弧所对的圆周角相等，得，
又，
，
，
即，
为的切线；
（2）如图，连接，
，又，
，
在中，，
，
，
，，
在中，
，
，
，
，，
，，
，
阴影部分的周长为，
，
，
，
．
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