第二十四章 圆--垂径定理计算题 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--垂径定理计算题 常见题型总结练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、利用垂径定理求线段长问题
1．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ．
∵为直径，且，，
∴，
在中，，根据勾股定理得：
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
2．如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为
3．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为 ．
4．如图，将直角三角板角的顶点放在上，斜边与交于点，若恰好是的中点，，则点到的距离是 ．
二、利用垂径定理求平行弦问题
5.一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．
6.已知：的半径为，，是的两条弦，，，，求和之间的距离．
7.已知：如图，是的直径，、、是的弦，．

(1)求证：；
(2)如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长．
三、利用垂径定理求同心圆问题
8.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．

(1)求证：；
(2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值．
9.如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．
(1)求证：．
(2)若，大圆的半径，求小圆的半径r．
四、利用垂径定理解实际应用问题
10．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于E，寸，寸，求直径的长”．（1尺寸）则 ．
11．石拱桥采用圆弧形的设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用．如图，石拱桥桥拱的半径，拱高，则石拱桥的跨度 m．
12．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是这一款拱门的示意图，已知拱门所在圆的半径为，拱门最下端．
(1)求拱门最高点到地面的距离；
(2)现需要给房间内搬进一个直径为的圆桌面（桌面的厚度忽略不计），已知搬桌面的两名工人在搬运时所抬高度相同（桌面与地面平行），通过计算说明工人将桌面抬高多少（即桌面与地面的距离）就可以使该圆桌面通过拱门．
13．如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，．
(1)作于点C，求的长；
(2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？
拓展练
一、单选题
1．如图，是的直径，CD为弦，于点E，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．过内一点M的最长弦长为，最短弦长为，则的长为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．如图，C、D是以为直径的上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦始终保持不变，M是弦的中点，过点C作于点P．若，则最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2.5
4．在半径为的中，一条弦把另一条弦分为1和5，两条弦相交成，则的长为（ ）
A． B．
C．或 D．或
二、填空题
5．如图，、、是上的点，，垂足为点，，若，则弦的长为 ．
6．如图，在中有折线，其中，，，则的长为 ．
7．如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D．若，则的半径长是 ．
8．一条弦把圆的直径分为3 cm和7 cm两部分，弦和直径相交成角，则的长为 ．
9．《周礼》中有记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，经测量，弦，过弦的中点C作交圆弧于点D，且．该车轮的半径等于 ．
三、解答题
10．如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，，
(1)求圆的半径；
(2)求弦的长．
11．中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是上一点，经过圆心O，且弦，垂足为M．已知，．
(1)不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段；
(2)求这个月亮门的最大宽度（的直径）．
12．已知是半圆的直径，弦于，过点作交半圆于点，过点作于．若，．
(1)求的长；
(2)连接，求的长．
13．如图1，在中，，且，垂足为点E．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，当，，求的长度．
14．已知A，C，E为上的点，且．
(1)如图①，求证：．
(2)如图②，AB为的直径，且于点D．
①求证：；
②若，求AC的长．
答案
一、利用垂径定理求线段长问题
1． 解：连接，如图：
∵为直径，且，，
∴，
在中，，根据勾股定理得：
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
解：过O作于D，交于C，连接，设，
由折叠可知：，
中，，，
根据勾股定理，得：，
∴，
解得：（负值已经舍去）
故答案 ：．
解：如图，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴在中，，
∴．
故答案为：．
解：连接，如图，
∵点是斜边的中点，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
过点作于点，
∴点在上，
过点作于点，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得，，
∴点到的距离是，
故答案为：．
二、利用垂径定理求平行弦问题
5. 解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
6. 解：①当弦和在圆心同侧时，如图1所示，
，，
，，
，
，，
；
②当弦和在圆心异侧时，如图2所示，
，，
，，
，
，，
；
综上所述：和之间的距离为或．
（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，

∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴；
（2）解：设的半径为，则，
又，
∴，
在中，，
即：，
解得，，
∴.
三、利用垂径定理求同心圆问题
8. （1）证明：过O作于点E，如图，
由垂径定理可得，，
∴，
∴；
（2）解：连接、，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴在中，，
∴，即小圆的半径r为
9. （1）证明：过O作于点E，如图1，
由垂径定理可得
∴
∴
（2）解：连接，如图2，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
在中，由勾股定理可得
∴，即小圆的半径r为．
四、利用垂径定理解实际应用问题
10． 解：连接，
∵寸，
∴寸，
设的半径为x，则，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
解得：，
∴寸，
故答案为：寸．
解：由题意可知，，
∴，
∵，，
∴，
在中， ，
∴，解得：，
∴．
故答案为：8．
（1）解：如图②中，设拱门所在圆的圆心为O，，作于C，延长交圆于D，连接，
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
∴拱门最高点到地面的距离为；
（2）解：如图，设弦，且，连接．
∵，经过圆心O，
∴，
∴，
∴，
答：工人将桌面抬高就可以使该圆桌面通过拱门．
（1）解：如图1：连接，
∵，
∴
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴，解得：，
∴的长．
（2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，
∴
由题意可知：
在中，根据勾股定理得：，
∴ ，解得：，
∴，
∴，
∴此时水面截线减少了．
拓展练
1．B
本题考查垂径定理；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，据此解答即可.
解：根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，可知：
A、不符合题意；
B、符合题意；
C、不符合题意；
D、不符合题意．
故选：B.
2．D
本题考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧．
根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是；最短的弦即是过点M且垂直于过点M的直径的弦；根据垂径定理即可求得的长，再进一步根据勾股定理，可以求得的长．
解：如图所示，于点M，
根据题意，得：，，
∴．
∵，
∴．
根据勾股定理，得： ．
故选：D．
3．D
本题主要考查垂径定理，添加辅助线，构造中位线，是解题的关键.
延长交于点，连接，根据垂径定理得，结合，可得，进而即可得到答案.
延长交于点，连接，
∵，
∴.
∵点是弦的中点，
∴，
∴，
∴当为的直径时，的值最大，此时的值取最大值，最大值为.
故选D．
4．C
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，
分两种情况：
先作，，连接，根据垂径定理得，可得，再根据勾股定理求出，即可说明是等腰直角三角形，然后求出，接下来结合题意得，进而求出，最后根据勾股定理求出，则答案可得；
仿照上述做法：可得，根据，可得，进而求出，再根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理求，此题可解.
解：如图所示，过点O作，交于点F，过点O作，交于点E，连接，
可知，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，，
∴；
如图所示，过点O作，交于点F，过点O作，交于点E，连接，
可知，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴.
∵，
∴，
∴.
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
即，
解得.
在中，，
∴.
所以的长为或.
故选：C.
5．
本题考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
由垂径定理得到，由平行线的性质推出，，判定，推出，，求出的长，根据勾股定理求出的长，即可求出的长．
解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
6．
延长，交于点，证明是等边三角形，可得，作于点，，可得，由可得，从而可得，即可得的长．
解：延长，交于点，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
作于点，则为的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
故答案为：．
本题考查三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，含角的直角三角形．
7．5
先根据垂径定理和点是弧的中点得，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可．
解：如图，连接，
设的半径为r．
．
是的中点，
，
．
，
解得，
的半径长是5．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
8．
本题考查了圆的相关知识，包括垂径定理、勾股定理以及含角的直角三角形的性质．根据题中的已知信息画出对应的图象，先求出圆的半径，由弦和直径相交成角利用含角的直角三角形求出弦心距，再利用勾股定理求出弦的长度即可．
解：根据题意得出图象如图所示：
为直径，为的弦，连接，，过点O作的垂线，交于点H，
∵弦将直径分成3 cm和7 cm两部分，
∴（cm），，
即的半径为5cm，
，
∴，
又∵弦和直径相交成角，
∴在中，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴点H为的中点，
∴．
故答案为：．
9．75
本题考查的是垂径定理的应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟知以上知识是解题的关键．
连接，设的半径为．由垂径定理可知，，三点共线，再由勾股定理即可得出结论．
解：如图，连接，设的半径为．
为的中点且，
三点共线，
．
在中，，
即，
解得．
故答案为：．
10．(1)5
(2)8
本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理．
（1）根据即可求解．
（2）根据勾股定理及垂径定理求解即可．
（1）解：∵，
，
；
（2）解：∵，，
，
，
，
．
11．(1)
(2)
本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到，由垂径定理、勾股定理列出关于的方程．
（1）由垂径定理，即可得到答案；
（2）由勾股定理得到，求出即可得到这个月亮门的最大宽度．
（1）解：经过圆心O，且弦，
；
（2）解：连接，
∵，
∴，
设的半径为m，则，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴这个月亮门的最大宽度为．
12．(1)6
(2)
本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，全等三角形的判定和性质：
（1）根据垂径定理以及勾股定理解答，即可；
（2）证明，可得，再由勾股定理解答即可．
（1）解：∵是半圆的直径，，
∴，
∵弦，，
∴，
∴；
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
13．(1)见解析
(2)
本题考查了正方形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点O作，，垂足分别为M、N，证明四边形是正方形，得出，再由即可得证；
（2）由（1）可得，，，求出，再解直角三角形即可得解．
（1）证明：如图1，过点O作，，垂足分别为M、N，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵，，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
即．
（2）解：由（1）可得，，，
∵，
∴，
在中，，，
∴， ，
∴．
14．(1)见解析
(2)①见解析；②
（1）证明，得出结论；
（2）①作辅助线，构建全等三角形，得；
②设的半径为，在中，根据勾股定理列方程：，求出半径，根据勾股定理求出的长．
（1）解：（1）证明：如图①，连接CE，OA，OE．
．
，
，
是的平分线，
．
（2）①证明：如图②，连接CO并延长交AE于点M，
．
．
，
，
，
．
②设的半径为，则．
由（2）①可知，，
．
．
在中，，即，解得，
，
．
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