第二十四章 圆--弧长与面积 常见题型总结练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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第二十四章 圆--弧长与面积 常见题型总结练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
题型一、求弓形的面积
1.如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2. 如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
3. 如图，等腰三角形的顶角，以腰为直径作半圆，交于点D，交于点E，连结和．若，则阴影部分面积为 ．
4.如图，在中，，平分，交于点D，点O在上，圆O经过A，D两点，交于点E，交于点F．
(1)求证：是圆的切线．
(2)若圆的半径是，，求阴影部分的面积．（结果保留和根号）
题型二、求点所经过的路径的长
5.如图，将矩形绕其右下角的顶点顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点顺时针旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．若，，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为（　　）
A． B． C． D．
6. 已知一个圆心角为扇形工件，未搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，扇形的直径为，则圆心O所经过的路线长是（ ）m.（结果用含的式子表示）
A． B． C． D．
7. 曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm．
题型三、求旋转后图形的面积
8.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
9. 如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，在中，，，．可以绕点A旋转，旋转的角度为，连续旋转两次，分别得到和，则图中阴影部分的面积为 ．
题型四、有关圆中阴影部分面积的计算与证明
11.如图，是的直径，是的一条弦，，直线为的切线，交的延长线于点，连接、、．
(1)求证：；
(2)连接，延长交于点，延长交于点当为的中点时，求证：；
(3)若的半径为，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积．
12.如图，是的外接圆，是的直径，过点A的直线l与相切于点A，在直线l上取一点D，使得．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
13. 已知：如图，是直径，直线l经过的上一点C，过点A作直线l的垂线，交于E点，垂足为点D，平分．
(1)求证：直线l与相切；
(2)若，求的半径．
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
综合练
一、单选题
1．如图，在矩形中，，，以为圆心，为半径作圆交于点，为的中点，过作的平行线，交于点，交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，矩形对角线、交于点O，E为线段上一点，以点B为圆心，为半径画圆与相切于的中点G，交于点F，若，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，，长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，则点所对应的数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为
A． B． C． D．
9．如图，是边长为等边三角形，以为直径作半圆，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．如图在中，，，与相切，且点O到直线的距离等于中边上的高，与边，分别相交于点P，Q，连接，若，当在边上滚动时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）．
A． B． C． D．
二、解答题
13．如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，．
(1)证明：为的切线；
(2)若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
14．如图，垂直弦的半径为，弓形的高为．
(1)求的长．
(2)求弓形的面积．
15．综合探究
如图，在中，，以为直径作，与交于点D，与交于点E，过点C作，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
16．如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
答案
解：如图所示，连接，
∵小正方形的边长为2，
∴
∴，
∴图中阴影部分的面积是
故选：A．
解：，
是等边三角形，
，
，
故选：B．
解：连接，如图，
∵是等腰三角形，，,
，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
过点作则，
∴，
∴
过点作于点，则四边形是矩形，
所以，，
∴,
∴．
故答案为：．
（1）证明：如图，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
又∵是圆的半径，
∴是圆的切线．
（2）解：如图，连接，，其中交于点，
∵，，
∴，
∵圆的半径是，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
解：连接，如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
转动一次A的路线长是：，
转动第二次的路线长是：，
转动第三次的路线长是：，
转动第四次的路线长是：0，
以此类推，每四次循环，
故顶点A转动四次经过的路线长为：，
∵，
∴顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为：，
故选：D．
解：O经过的路线是两个半径是（m），
，
∵，
∴，
∴，
O旋转的长度是：（m），
O移动的距离是（m），
∴圆心O所经过的路线长是：（m），
故选：B．
解：如图，
设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，
设
完成一次进气过程，扫过的扇形面积为
，解得
，
由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为，
点运动的路径长为．
故答案为：．
解：，
，
将绕点A逆时针旋转后得到，
，
，
．
故选：C．
解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点，
则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，
连接，
∵矩形中，，，
∴，
∴，
由旋转的性质得：，，，
∴线段在旋转过程中扫过的面积为
，
故选：A．
解：由题意知，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，，
∴阴影的面积
．
故答案为：．
（1）证明：连接，
∵直线为的切线，为的半径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵是的直径，
∴，
∴,
∵，
∴．
（2）证明∵为的中点，延长交于点，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径， ，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线为的切线，为的半径，
∴，
∴．
（3）解：根据（2）证明，得，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵的半径为，
∴，
∵为的中点，连接，延长交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵直线l与相切于点A，
∴．
∴．
∵点C在上，
∴是的半径．
∴直线是的切线．
（2）解：设半径，
则．
在中，，
∴．
解得．
∴．
（3）∵，
∴．
∴．
∴．
故图中阴影部分的面积为：．
（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵是半径
∴直线l与相切．
（2）解：如图1，连接．
∵是的直径，
∴．
∵平分，，
∴．
∴在中，．
同理：在中，．
设，则．
由勾股定理得：，即．
解得或（不合题意，舍去）．
∴的半径，
∴的半径为．
（3）解：如图，连接，，，作于点，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
阴影部分的面积
．
综合练
1．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据图形得出明确阴影部分的面积矩形的面积，是解题的关键．连接，作于，根据题意求得是等腰直角三角形，即可求得，从而求得，然后根据阴影部分的面积等于矩形的面积，即可求解．
【详解】解：连接，作于，如图：
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了扇形面积的计算，矩形的性质，含角的直角三角形的三边关系以及等边三角形的判定与性质．
连接，根据切线性质及G为中点可知垂直平分，再结合矩形性质可证明为等边三角形，从而得到，，再利用角的直角三角形的三边关系求出，然后求出和扇形的面积，两者相减即可得到阴影部分面积．
【详解】连接，由题可知，
∵G为中点，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，即为等边三角形，
∴，
∴，，
在中，， ，
∴，
在中，，，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了扇形的面积（，其中为圆心角的度数、为半径），熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：∵圆心角，，，
∴阴影部分的面积等于
，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键．
如图所示，延长交于点，与交于点，可得，则，由代入计算即可．
【详解】解：如图所示，延长交于点，与交于点，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是圆环的面积，
∵，，
∴，
故选：B ．
5．D
【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法．
【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可．
【点睛】解：如图，扫过的面积为，
∵，，，半径为，
∴，，，，
∴，
故选：．
6．D
【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求．
【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和，
此时．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质．
根据题意得出翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可．
【详解】解：如图所示：

∵，，，
∴，
∴翻滚一周时点A经过的路线长是：．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查矩形的性质和判定，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．证明四边形是矩形，因为点为的中点，则点为的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径是在以为圆心为半径的圆上转过，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，
于点，于点，
四边形是矩形，
又点为的中点，
点为的中点，
则，
点走过的路径长．
故选：A．
9．D
【分析】本题主要考查扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
连接，根据菱形面积公式和扇形面积公式计算得到答案．
【详解】连接，
是边长为的等边三角形，
，
，
，
，
为等边三角形，边长为3，
，
，
，
，
同理可得，，
四边形为菱形，
，
，
．
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化．
图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积．
【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示：
图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，
图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示：
四边形的面积，
弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示：
扇形的面积，
三角形面积，
弓形的面积，
图形1的面积，
图中阴影部分的面积图形1的面积．
故选：A．
11．A
【分析】设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则，证明．，得到，
根据，解答即可．
【详解】解：设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数应用，扇形的面积，熟练掌握判定和性质，扇形面积公式，切线性质是解题的关键．
12．C
【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答．
【详解】解：，
，
将绕点A逆时针旋转后得到，
，
，
．
故选：C．
13．(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理得到，根据垂直的定义得到，于是得到，根据切线的判定得到为的切线；
（2）①设的半径为，由，得到，根据，由（1）知，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到；
②由①知，，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
为的切线；
（2）解：①设的半径为，
，
，
由（1）知，
，
，
，，
，
；
②由①知，，
，，
阴影部分的面积的面积扇形的面积．
14．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积，含角的直角三角形性质等知识点，解题的关键是掌握以上性质定理．
（1）利用垂径定理得出，然后根据勾股定理求解即可；
（2）利用含角的直角三角形性质得出角的度数，然后利用扇形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，
由垂径定理得，，
由勾股定理得，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
由（1）得，在中，，
∴，
∴，
∴，
∴弓形的面积为：,
∴弓形的面积为．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，求不规则图形面积，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，得；由等边对等角得到，由得到，故；利用证明，得到，最后根据平行线的性质即可得，据此可证明结论；
（2）连接交于M，，根据，得是等腰直角三角形，由，得的长度；可证明是等腰直角三角形，求出的长，即可算出阴影部分面积．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵是的直径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接交于M，
∵，，
∴为等腰直角三角形
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
16．(1)是的切线，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可；
（2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可．
【详解】（1）证明：是的切线，理由：
连接，
与相切于点，
，
在和中，
，，，
，
，即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
由（）可知，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
，，
．
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