5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)等于（ ）
A．3 B．－3 C． D．
2．设，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，则的值为（ ）
A． B．1
C． D．2
4．已知sin α＝，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则角α＋β的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，、且，则
A． B． C． D．
7．设且则
A． B． C． D．
8．（ ）
A． B． C． D．
9．已知和是方程的两个根，则的关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知、、为的三内角，且角为锐角，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
11．已知，且是方程的两个实根，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知，其中，，则 ， .
13．已知，，则 .
14．已知都是锐角，且，则 .
15． .
四、解答题
16．已知，，
（1）求的值；
（2）求的值．
17．已知在锐角三角形中，.
(1)求证：；
(2)求的值．
18．已知，，且.
（1）求证：；
（2）若，求的值.
19．已知，且和分别为第二、第三象限角，求的值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B D C C A C C
题号 11
答案 BCD
1．C
【分析】由两角差的正切公式即可求解.
【详解】解：tan(α－β)＝＝＝，
故选：C.
2．C
【分析】由已知条件先求出的值，再利用两角差的正切公式可求得答案
【详解】因为，所以，
所以，
由，得，
所以，
故选：C
3．D
【分析】根据已知条件利用两角和的正切公式求解
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以
，
故选：D
4．B
【分析】先求出tan α，再利用两角和的正切公式求出tan(α＋β)＝－1，判断出角α＋β的范围，即可求出α＋β的值.
【详解】sin α＝，且α为锐角，则cos α＝，tan α.
所以tan(α＋β)＝＝＝－1.
又α＋β∈，故α＋β＝.
故选：B
5．D
【分析】根据三角恒等变化的公式，化简，，且，再由正弦函数的单调性，即可求解.
【详解】由两角差的正弦公式，可得
由正切的倍角公式，可得，
又由，因为在上为曾函数，可得，
所以.
故选：D.
6．C
【分析】利用“拆角”技巧，变形，，分别利用两角和的正切公式可得结果.
【详解】，
，
根据，可得，
可得，可得，
故选:C.
7．C
【详解】[方法一]：
.
故选：C.
[方法二]：
又.
故选：C.
8．A
【分析】利用两角和的正切公式以及诱导公式可求得所求代数式的值.
【详解】原式.
故选：A.
【点睛】本题考查利用两角和的正切公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.
9．C
【分析】根据根与系数的关系以及两角和的正切公式可得结果.
【详解】由题意可知，，
，
，，.
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，考查了两角和的正切公式，属于基础题.
10．C
【分析】将化为关于的式子，然后利用基本不等式可以求出最小值.
【详解】在中，，
，
，
,
角为锐角,，
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为.
故选：C.
【点睛】本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题.
11．BCD
【分析】根据题意可得，，再利用两角和的正切公式可判断B，利用基本不等式可判断C、D
【详解】由，是方程的两不等实根，
所以，，
，
由，，均为正数，
则，当且仅当取等号，等号不成立
，当且仅当取等号，
故选：BCD
12． /
【分析】利用两角和的正切公式可求得的值，再利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】因为，
所以，
，
因为，，所以，
所以，
故答案为：，
13．
【分析】因为，所以可利用三角恒等变换求的正切值
【详解】.
考点：三角函数的恒等变换.
14．
【分析】利用两角和的正切公式先求出，再求出，从而可求出的值.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
故答案为：
15．
【分析】根据，化简整理，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，
∴原式.
故答案为
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，熟记两角和与差的正切公式即可，属于常考题型.
16．（1）；（2）.
【分析】（1）根据两角差的正切公式可求得的值；（2）利用两角和与差的正弦、余弦公式化简得到，再用两角差的正切公式展开代值进去计算即可.
【详解】（1），
，
，解得.
（2）.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式将已知等式化简，然后两式相加减可求出，，再两式相比可得结论，
（2）由，可得，则可求出，从而可求出，再利用两角和正切公式化简可得结果.
【详解】（1）证明：因为，
所以，①
，②
①＋②并化简得，
①－②并化简得，
所以，所以，
所以，
（2）因为，，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
化简整理得，解得，
因为，所以，
所以.
18．(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）依题意知，sin[（α+β）+β]sin[（α+β）﹣β]，整理得sin（α+β）cosβ＝6cos（α+β）sinβ，易证cos（α+β）≠0，继而可证tan（α+β）＝6tanβ；
（2）由（1）得tan（α+β）＝6tanβ，即6tanβ，整理得tanβtanα，代入前者即可求得tanα及α的值．
【详解】（1）由，得，
整理，得.
又，，所以.
（2）由（1），知，又，
所以.
又，所以，所以.
【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，考查“拆分角”的应用，突出两角和与差的正切公式的考查及推理证明能力，属于中档题．
19．
【解析】根据同角三角函数的基本关系以及角所在的象限求出，
，进而求出，然后利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】解析∵，且为第二象限角，
∴.
又，且为第三象限角，
∴.
∴，
∴
.
【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正切公式，需熟记公式，属于基础题.
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