5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果为
A． B． C．1 D．2
3．已知是第三象限角，，则等于
A． B． C． D．
4．已知函数,若,则
A． B． C． D．
5．若，，则
A． B． C． D．
6．已知，当时，的值为（　　）
A． B． C． D．
7．已知函数，则
A．函数的最大值为，无最小值 B．函数的最小值为，最大值为
C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最小值为，无最大值
二、多选题
8．下列各式中，值为的是
A． B． C．
D． E．
9．已知函数是奇函数，则有
A．函数的图象关于直线对称 B．函数的图象关于点对称
C．函数是奇函数 D．函数的最小正周期为
E．函数在区间内单调递减
10．下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选）已知函数，则下列结论中错误的是
A．既是奇函数又是周期函数 B．的图象关于直线对称
C．的最大值为1 D．在区间上单调递减
三、填空题
12．的值为 ．
13． .
14．已知，则的值为 ．
15．的化简结果为 ．
16．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝ .
四、解答题
17．已知为第二象限角，且 =求的值.
18．已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间;
（Ⅱ）当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围.
19．已知锐角，且，求：
（1）； （2）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C A B D BCE BCD AB
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】利用余弦差的公式进行合并即可．
【详解】．故选D
【点睛】本题属于基础题，考查三角特殊值的余弦公式的计算．
2．A
【解析】利用二倍角正切公式及商数关系计算可得.
【详解】解：
故选：
【点睛】本题考查二倍角的正切公式，属于基础题.
3．D
【解析】首先由同角三角函数的基本关系求出再用二倍角的正弦公式计算可得.
【详解】解：由是第三象限角，且，得，
所以．
故选：
【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角正弦公式的应用，属于基础题.
4．C
【分析】先根据二倍角公式化简，再代入化简,最后根据平方关系求
【详解】因为，
所以，平方得 ，选C.
【点睛】本题考查二倍角公式以及同角三角函数关系，考查基本求解能力.
5．A
【分析】由可得，进而得到，利用二倍角正切公式得到结果.
【详解】，，，，，
，故选A.
【点睛】本题考查了二倍角正切公式，诱导公式，同角基本关系式，考查了恒等变形能力，属于基础题.
6．B
【分析】本题可以先利用二倍角公式以及三角函数在各个象限中的符号，对进行化简，即可求得的解析式．
【详解】由题意可得，当时，
所以， 故选B．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用、以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．同角三角函数的基本关系有
7．D
【分析】利用诱导公式以及二倍角公式化简函数的表达式,然后根据所给的定义域求解函数的最值.
【详解】解：因为,
又因为，,
所以函数的最小值为,无最大值.
故选:D.
【点睛】本题考查函数诱导公式六的应用,应用诱导公式刘进行化简,得到正切函数的解析式,进而求最大最小值.
8．BCE
【解析】利用二倍角公式计算可得.
【详解】解：不符合，；
符合，；
符合，；
不符合，；
符合，．
故选：．
【点睛】本题考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.
9．BCD
【解析】利用二倍角公式将函数化简为，再结合正切函数的性质一一验证.
【详解】解：因为，
所以函数是周期为的奇函效，图象关于点对称，在和上单调递减.故正确的有
故选：.
【点睛】本题考查二倍角公式的应用，正切函数的性质，属于基础题.
10．AB
【解析】把每个选项中的式子的值算出来即可
【详解】，故A满足
，故B满足
，故C不满足
，故D不满足
故选：AB
【点睛】本题考查的是三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握三角函数的相关公式.
11．ACD
【分析】用和差化积公式、二倍角公式、辅助角公式将函数化为的形式，再判断其周期性、奇偶性、单调性、对称性
【详解】
,
为非奇非偶函数,故A错误;
对称轴：,,
当时,,
的图象关于直线对称,故B正确;
的最大值为，故C错误;
当时，，所以在上不单调，所以在区间上不单调，所以A,C,D错误.
故选:ACD.
【点睛】本题考查了三角函数的化简,和差化积公式、二倍角公式、辅助角公式的应用,还考查了三角函数的周期性、奇偶性、单调性、对称性、与最值属于中等题型.
12．/
【分析】根据二倍角的余弦公式进行计算即可.
【详解】原式.
故答案为： .
13．/0.0625
【分析】利用诱导公式以及二倍角正弦公式，将化简整理，即可求得答案.
【详解】
，
故答案为：
14．
【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求得结果为.
【详解】易知，
由二倍角公式可得；
即，
而，
所以
故答案为：
15．
【分析】根据二倍角的余弦公式以及角的范围可求出结果.
【详解】因为，
所以，，，，
所以
.
故答案为：
16．
【分析】利用同角三角函数关系式和余弦的二倍角公式化简可得结果.
【详解】原式＝(1－cos2α)(1－cos2β)＋cos2αcos2β－ (2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝1－cos2β－cos2α＋cos2αcos2β＋cos2αcos2β－ (4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝1－cos2β－cos2α＋2cos2αcos2β－2cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－＝.
故答案为：
【点睛】本题考查同角三角函数关系式和余弦的二倍角公式的应用，属于基础题.
17．
【详解】试题分析：先对，可得，
根据为第二象限角，且，可计算出，
然后代入代数式计算即可．
试题解析：因为
，
又当为第二象限角，且时，
所以，，
所以
考点：两角和差的正弦公式，二倍角公式．
18．（Ⅰ）（Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）应用公式化简函数，注意定义域，．（2）多个变量恒成立问题，先把x作变量，求出，，转化为关于t的不等式恒成立问题，对系数t分类讨论．
试题解析：（Ⅰ）因为
函数的定义域为
,
所以的递增区间为
（Ⅱ）因为,
所以当时,
所以恒成立,
即恒成立,
①当时,
显然成立;
②当时,
若对于恒成立,
只需成立,
所以,
综上,的取值范围是
【点睛】对于函数化简一定要注意定义域是化简前的定义域，也就是函数做题是先求定义域，再求解．这是学生容易忽略的问题．
对于多个变量的恒成立问题，一般我们先把一个当变量，其余当参量，逐步减少变量个数．
19．（1）.
（2）.
【详解】分析：（1）首先利用正弦倍角公式将式子转化，之后应用平方关系将整式转化为分式，上下同除，将式子转化为关于的式子，求解即可；
（2）利用倍角公式求得，结合题中所给的的值，结合题中角的范围，求得，之后应用差角公式求得结果.
详解：（1）∵
∴
（2）∴且为锐角 ∴
∵且为锐角 ∴
∴
∴.
点睛：该题考查的是有关三角恒等变换求值的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式、倍角公式、差角公式，在解题的过程中，正确使用公式是解题的关键.
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