5.5.2 简单的三角恒等变换 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.5.2 简单的三角恒等变换 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．设是第二象限角，，且，则
A． B． C． D．
2．若,是第三象限的角,则
A． B． C．2 D．-2
3．的值为
A． B． C． D．
4．已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于（ ）
A．－ B．－
C． D．
6．已知角是的一个内角，且，则的形状是
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断的形状
7．在中，若，则是
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形
8．函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列各式中，值为的是
A． B． C．
D． E．
10．下列各式与相等的是
A． B． C．
D． E．
三、填空题
11．已知，若，化简 ．
12．已知，则 .
13．已知，且，则 .
四、解答题
14．已知，求证：．
15．当为何值时，函数取得最大值，并求出最大值.
16．在中，，且为钝角.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，且，求的值.
18．已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间.
19．已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）若为的一个零点，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B D D C B D ACE CD
1．A
【分析】先确定所在的象限，再根据同角的三角函数关系式，求出，再根据半角公式求出的值.
【详解】因为是第二象限角，且，所以为第三象限角，
所以.因为，所以，所以.
【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式，考查了半角公式，考查了数学运算能力.
2．A
【详解】试题分析：∵，为第三象限，∴,
∵
．
考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．
3．B
【分析】原题并不符合两角和差的正余弦展开式，所以先探究下面的公式：
即，；
同理，．
【详解】
.
故选B.
【点睛】化简求值时要看角的形式，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，通过“凑角法”对“已知角”与“未知角”建立联系，合理选择和、差角，辅助角，倍角（降幂）等方法进行．
4．D
【分析】利用和差化积公式化简,再利用二倍角公式计算求值得出答案.
【详解】∵，∴.
∵，∴，∴.
∴，
∴.
故选:D.
【点睛】本题考查三角恒等变换的应用,考查和差化积公式和二倍角公式,考查学生运算能力,属于中档题.
5．D
【分析】由α，β的范围和y＝cosx的单调性,确定出两角的大小关系,利用和差化积公式求出α－β的值.
【详解】∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π
由原式可知：2sin·cos＝ (－2sin·sin)，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
故选: D
【点睛】本题考查三角恒等变换的应用,考查学生分析解决问题的能力和运算能力,属于中档题.
6．C
【详解】∵，∴，则A为钝角，即是钝角三角形，故选C.
7．B
【详解】试题分析：因为，所以，即,故A=B，三角形为等腰三角形，选B．
考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式．
点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手．
8．D
【解析】利用辅助角公式，结合正弦型函数的值域，即可求得结果.
【详解】.
故该函数的最大值是.
故选：.
【点睛】本题考查辅助角公式、正弦型三角函数的值域，属综合基础题.
9．ACE
【解析】利用二倍角的正弦、余弦、正切公式对五个选项进行化简求值，所得结果是的选项即为正确选项.
【详解】A符合，原式；
B不符合，原式；
C符合，原式；
D不符合，原式；
E符合，原式．
故选：ACE．
【点睛】本题主要考查的是二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用，要求熟练掌握并灵活运用这些公式，考查学生的计算能力.
10．CD
【解析】利用二倍角的正弦、余弦、正切公式对五个选项进行化简，所得结果是的选项即为正确选项.
【详解】A不符合，；
B不符合，；
C符合，因为，所以原式；
D符合，；
E不符合，．
故选：CD．
【点睛】本题主要考查的是二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用，同时注意角所在的象限对应的三角函数的正负，要求熟练掌握并灵活运用这些公式，考查学生的计算能力.
11．
【详解】试题分析：，，又，则，所以
考点：三角恒等变形，三角函数的性质.
12．
【分析】将待求的三角函数式利用二倍角的余弦公式以及诱导公式化简为
含有，代入即可求值．
【详解】因为，
所以.
故答案为
【点睛】本题考查二倍角的余弦公式以及诱导公式，属于基础题．
13．
【分析】把题设等式两边平方利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求得，进而利用的范围求得的值，最后利用诱导公式以及半角公式可求得的值．
【详解】，，，且.
又①，
，
，，
②.
联立①②，得，.
故答案为
【点睛】本题考查了二倍角公式、同角三角函数的关系以及诱导公式，属于基础题．
14．见解析
【解析】从等式左侧入手，利用和差化积公式和诱导公式整理化简即可得到结果.
【详解】 ，
.
【点睛】本题考查利用和差化积公式、诱导公式证明等式的问题，关键是能够熟练掌握和差化积公式的形式.
15．当时，取得最大值为
【分析】由和差化积公式
，当取得最大值．
【详解】
，
所以当，
即时，
取得最大值为.
【点睛】本题考查了和差化积公式，解决此题关键把函数化为的形式．
16．（1）详见解析；（2）.
【分析】（1）切化弦得，再有诱导公式得，为钝角，对应角相等即可得证．
（2）由（1）可得，，由的范围可得范围．
【详解】（1）由，得，
所以，即.
又为钝角，因此，故，即.
（2）由（1），知，所以.
于是.
因为，所以，
所以，
即的取值范围是.
【点睛】本题考查三角形中化简证明、求范围问题，在求解中注意三角形内角取值范围．
17．(1) 最小正周期是 (2)
【分析】（1）运用辅助角公式化简得；
（2）先计算的值为，构造，求出的值.
【详解】（1）因为，
所以，
所以函数的最小正周期是.
（2）因为 ，所以，
因为，所以，
所以，则
【点睛】利用角的配凑法，即进行角的整体代入求值，考查整体思想的运用.
18．（1）；（2）.
【分析】（1）首先利用两角和的余弦公式展开化简，并根据辅助角公式化简函数，并代入求值；（2）由（1）可知，再整体代入求函数的单调增，减区间..
【详解】（1）因为
，
所以.
（2）由（1），知，
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
令，
解得，
所以函数的单调递减区间为.
【点睛】本题考场三角函数恒等变换，三角函数的性质，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.
19．（Ⅰ）最小正周期为，单调递增区间是；（Ⅱ）．
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可求得，利用正弦函数的周期性与单调性即可求得的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）由，得，，可得，于是可求得，利用两角和的余弦即可求得答案．
试题解析：（I）
，
所以的最小正周期为，
因为，∴，
所以函数的单调递增区间是．
（II），∴，
因为，，∴，所以，
．
考点：1、三角函数中的恒等变换应用；2、正弦函数的周期性与单调性；3、同角三角函数间的关系的应用及两角和的余弦．
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