5.7 三角函数的应用 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.7 三角函数的应用 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A． B．
C． D．
2．小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为，则（ ）．
A． B． C． D．
3．在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度约为，但当气温上升到时，时钟花基本都会凋谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时时中，观花的最佳时段约为（ ）（参考数据：）
A．时时 B．时时
C．时时 D．时时
4．阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳第一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（cm）和时间t（s）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，则（ ）
A． B．π C． D．2π
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
6．（多选）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点A的坐标是，则当时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
7．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0， 1)，则该简谐运动的振幅为 ，初相为 .
8．某同学用“五点法”画函数在一个周期内简图时，列表如下：
则振幅是 ，相位是 .
9．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动 次.
10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为 ℃.
11．我国古代数学家赵爽利用“勾股圆方图”巧妙地证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中，，较小的锐角．若，正方形的面积为100，则 ， ．
12．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．
13．一种波的波形为函数的图象，若其在区间上至少有两个波峰（图象的最高点），则正整数t的最小值是 .
14．设偶函数的部分图像如图所示，为等腰直角三角形，，则的值为 ．
四、解答题
15．某简谐运动的图象如图所示,试根据图象回答下列问题:
（1）这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？
（2）写出这个简谐运动的函数解析式.
16．如图,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动.若线长为,沙漏摆动时离开平衡位置的位移(单位:)与时间(单位:)的函数关系是,.
（1）当时,求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；
（2）已知,要使沙漏摆动的周期是,线的长度应当是多少(精确到)
17．一台发电机产生的电流是正弦式电流,电压和时间之间的关系如图所示.由图象说出它的周期、频率和电压的最大值,并求出电压(单位:)关于时间(单位:)的函数解析式.
18．下图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙点的位置将移至何处
19．自出生之日起,人的体力、情绪、智力等心理、生理状况就呈周期变化,变化曲线为.根据心理学家的统计,人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天.每个节律周期又分为高潮期、临界日和低潮期三个阶段.以上三个节律周期的半数为临界日,这就是说11.5天、14天、16.5天分别为体力节律、情绪节律和智力节律的临界日.临界日的前半期为高潮期,后半期为低潮期.生日前一天是起始位置(平衡位置),请根据自己的出生日期,绘制自己的体力、情绪和智力曲线,并总结自己在什么时候应当控制情绪,在什么时候应当鼓励自己;在什么时候应当加强锻炼,在什么时候应当保持体力.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A A C B A AD
1．A
【分析】计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长，利用它们的算术平均数作为的近似值可得出结果.
【详解】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
【点睛】本题考查圆周率的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正边形和外切正边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
2．A
【分析】设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为 ，竖直高度为，根据题意求得，由切线的性质和正弦函数的定义可得，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.
【详解】设优弧BC的圆心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，如下图所示
易知“水滴”的水平宽度为 ，竖直高度为，
则由题意知，解得，
AB与圆弧相切于点B，则，
∴在中，，
由对称性可知，，则，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】由三角函数的性质求解
【详解】当时，，则在上单调递增.设花开 花谢的时间分别为.
由，得，解得时；
由，得，解得时.
故在6时时中，观花的最佳时段约为时时.
故选：C
4．B
【分析】利用正弦型函数的性质画出函数图象，并确定连续三次位移为的时间，，，即可得，可求参数.
【详解】由正弦型函数的性质，函数示意图如下：
所以，则，可得.
故选：B
5．A
【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.
【详解】，所以对应的角是，
由在内转过的角为，
可知以为始边，以为终边的角为，
则点的纵坐标为，
所以点距水面的高度表示为的函数是.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.
6．AD
【分析】由题意确定点的旋转速度，作图分析，数形结合，分析点A的纵坐标变化情况，即可得答案.
【详解】设动点A与x轴正方向夹角为α，则时，点A的坐标是，故，
由于12秒旋转一周，故每秒钟旋转，

在上，，A绕坐标原点沿逆时针方向旋转到B位置，故A点纵坐标增大；
从B旋转到C位置时，，，A点纵坐标减小；
在上，即从C逆时针旋转到A位置，动点A的纵坐标增大，
故当时，动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递增区间是和，
故选：AD.
7． 2
【分析】利用图象所过的点可求，从而可求振幅和初相.
【详解】因为图象过，故即，而，故，
故简谐振动的初相为，又由的解析式可得振幅为2，
故答案为：2，.
8．
【分析】根据表格中最大值和最小值，得到振幅，由周期得到的值，代入得到的值，从而得到相位.
【详解】由表格得函数的最大值和最小值为2和-2，
所以，
∴.
∴.
当时，，∴.
所以相位为.
【点睛】本题考查根据五点作图法求正弦型函数的振幅和相位，属于简单题.
9．
【分析】求正弦型函数的频率.
【详解】函数，的周期，故频率为.
所以每秒钟小球能振动次.
故答案为：.
10．20.5/
【分析】根据题意列出方程组，求出，A，求出年中12个月的平均气温与月份的关系，将x＝10代入求出10月份的平均气温值．
【详解】据题意得 ，
解得 ，
所以
令 得 .
故答案为：20.5
11．
【解析】由已知可得，进而求出、，利用二倍角公式可求得答案.
【详解】由已知得， ，又，
解得，，所以，，
，
因为，所以，所以，
.
故答案为：①；②.
【点睛】本题考查了解三角形、二倍角求三角函数值的问题，关键点是求出，进而求出、，考查了学生分析问题、解决问题的能力.
12．
【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.
【详解】设，由题意，，所以，
因为,所以，
因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，
即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，
解得；
等腰直角的面积为；
扇形的面积，
所以阴影部分的面积为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.
13．7
【解析】首先求出函数的周期为4，在判断函数的单调性，根据单调性求出自开始向右的第一、二个波峰分别对应的x值，t的值不小于第二个波峰对应的x的值.
【详解】由可知此波形的函数周期为4，显然当时，函数单调递减；时，函数单调递增.时，，因此自开始向右的第一个波峰所对的x值为3，第二个波峰对应的x值为7，所以要在区间上至少两个波峰，则t的最小值为7.
故答案为：7
【点睛】本题考查三角函数的应用，考查正弦型函数的周期与单调性，属于中档题.
14．
【详解】的部分图象如图所示，为等腰直角三角形，，，函数是偶函数，，函数的解析式为，故答案为.
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求使解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，往往利用特殊点求的值，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点.
15．（1）振幅是3,周期是4,频率是;（2）.
【解析】（1）根据振幅、周期与频率的定义,结合函数图像,即可求得答案;
（2）设简谐运动的函数解析式为:,结合（1）即可求得答案.
【详解】（1）根据图像可知:,
根据,可得.
振幅是3,周期是4,频率是
（2）设简谐运动的函数解析式为:
根据（1）,
根据最小正周期计算公式为:,可得
可得
根据中点坐标公式可求得:中点为
可得: 的一个顶点坐标为:
故,解得,
当时:
【点睛】本题考查了求解余弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握余弦型函数的图像特征和的最小正周期计算公式为: ,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
16．（1）（2）
【解析】（1） 因为,可得的最大值为,设偏角为,可得最大偏角满足,通过计算器,即可求得答案;
（2）根据的最小正周期计算公式为:,即可求得答案.
【详解】（1）
可得的最大值为
设偏角为
可得最大偏角满足
根据计算器计算结果可得:
（2）根据的最小正周期计算公式为:
,即
即,故
解得:.
【点睛】本题考查了求解余弦型函数表达式和实际应用,解题关键是掌握余弦型函数的图像特征和的最小正周期计算公式为: ,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
17．振幅为,周期为,频率为,
【解析】电压关于时间函数是正弦函数,根据图像可求得振幅和,即可求得答案.
【详解】电压关于时间函数是正弦函数
根据图像可求得振幅,
根据
根据最小正周期计算公式: ,解得
根据,代入,
函数图像过点,可得
综上所述, 振幅为,周期为,频率为,
【点睛】本题考查了求解正弦函数表达式和实际应用,解题关键是掌握正弦函数的图像特征和基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
18．乙点位置将移至它关于x轴的对称点处
【解析】波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点,在波的传播过程中,绳上各点、只是上下振动,纵坐标在变,横坐标不变,即可求得答案.
【详解】波从乙点传到戊点正好是一个周期,经过周期,波正好从乙点传到丁点.
又在波的传播过程中,绳上各点、只是上下振动,纵坐标在变,横坐标不变,
即横坐标不变,纵坐标与图中的丁点相同.
经过周期,乙点位置将移至它关于x轴的对称点处,
【点睛】本题考查了三角函数图像平移,解题关键是掌握三角函数图像的特征和平移前后点坐标之间的关系,考查了分析能力,属于基础题.
19．答案见解析.
【解析】根据题意可知变化曲线为.所以人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种. 这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天,根据最小正周期计算公式: ,结合条件即可求得答案.
【详解】根据题意可知变化曲线为.
人体节律分为体力节律、情绪节律和智力节律三种.
这些节律的时间周期分别为23天、28天、33天
体力节律曲线函数为
情绪节律曲线函数为
智力体力节律曲线函数为
根据题意可知,是为高潮期,是临界日,是为低潮期
设从出生到当日天数为
情绪节律曲线函数为
当,应当控制情绪;
当,应当鼓励自己;
体力节律曲线函数为
当,适合体育锻炼;
当,应当保持体力;
【点睛】本题考查了求解正弦函数表达式和实际应用,解题关键是掌握正弦函数的图像特征和基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
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