5.1.2 弧度制 闯关练 2025-2026学年数学高一年级人教A版（2019）必修第一册

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5.1.2 弧度制 闯关练 2025-2026学年数学
高一年级人教A版（2019）必修第一册
一、单选题
1．角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知某扇形的面积为3，则该扇形的周长最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
4．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
5．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于(　　)
A．5 B．2 C．3 D．4
二、多选题
6．下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是
B．化成角度是
C．若角，则角为第二象限角
D．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形面积为
7．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；然后在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧，，的长度分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各说法，正确的是（　　）
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
9．下列表示中正确的是（ ）
A．终边在轴上的角的集合是
B．终边在第二象限的角的集合为
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线上的角的集合是
10．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．的角是周角的，的角是周角的
C．的角比的角要大
D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关
三、填空题
11．一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 ．
12．如图，点是圆上的点，其中圆的半径为 且，则劣弧的长为 ．
13．如图，扇形的面积是1，它的弧长是2，则扇形的圆心角的弧度数为 ．
14．若扇形圆心角为216，弧长为30，则扇形半径为 .
四、解答题
15．用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图).
16．已知一个扇形的周长为，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值.
17．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求出此时扇形面积的最大值.
18．如图，动点从点出发，沿圆周运动，点按逆时针方向每秒转弧度，点Q按顺时针方向每秒转弧度，求第一次相遇时所用的时间及点各自走过的弧长.
19．已知，，，．
(1)将，用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将，用角度制表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有角．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A C B BC AB ABC ABC ABC
1．B
【分析】利用公式可求角的弧度数.
【详解】角对应的弧度数为，
故选：B.
2．D
【分析】设扇形的弧长为，半径为，由题意可知，再利用基本不等式，即可求出扇形的周长最小值.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，
所以扇形的面积为，所以，
又扇形的周长为，所以，当且仅当，即时，取等号.
故选：D.
3．A
【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．
【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设与所在扇形圆心角分别为，
则 ，又，解得
故选:A
【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长．
4．C
【分析】对分奇偶，结合终边相同的角的定义讨论判断即可
【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
5．B
【分析】利用扇形的周长与面积的数值相等，建立等式，即可求得结论．
【详解】因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l，则lR=2R+l，所以即是lR=4R+2l，
∴l=
∵l＞0，∴R＞2
故选B．
【点睛】本题考查扇形的周长与面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
6．BC
【分析】利用角度与弧度的互化可判断AB选项；利用象限角的定义可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B对；
对于C选项，，故角为第二象限角，C对；
对于D选项，，故扇形的面积为，D错.
故选：BC.
7．AB
【解析】设，则，再由圆弧分别求得，，，然后再逐项判断.
【详解】不妨设，则，
所以.
因为，
所以.
同理可得，
所以，，，，
所以A，B正确，C，D错误.
故选：AB
8．ABC
【分析】根据弧度制的定义即可判断．
【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，
根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．
故选：ABC
9．ABC
【分析】利用终边相同的角的概念和象限角的概念进行判断即可.
【详解】A，B中表示显然正确；
对于C，终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，其并集为，故C中表示正确；
对于D，终边在直线上的角的集合为或，其并集为，故D中表示不正确．
故选：ABC
10．ABC
【分析】根据角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，对于A中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位,所以是正确的；
对于B中，周角为，所以的角是周角的，周角为弧度，所以的角是周角的是正确的；
对于C中，根据弧度制与角度制的互化，可得，所以是正确；
对于D中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D项是错误的.
故选ABC.
【点睛】本题主要考查了角度制与弧度制的概念，以及角度制与弧度制的互化，其中解中熟记角度制和弧度制的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
11．
【详解】设内切圆的半径为，则内切圆的面积为，扇形的半径为，
扇形的面积为，
则此扇形的面积与其内切圆的面积比为.
12．
【分析】根据圆的性质，可得圆心角等于圆周角的2倍，求得，再由弧长公式，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，根据圆的性质，可得圆心角等于圆周角的2倍，
因为，所以，
又由弧长公式，可得弧长为.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，以及弧长公式的应用，其中解答中熟记弧长公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
13．
【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.
【详解】由题意，设扇形所在圆的半径为，扇形的弧长为，
因为扇形的面积是1，它的弧长是2，
由扇形的面积公式和弧长公式，可得 ，解得，.
故答案为2.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．25.
【分析】先将角度化为弧度，然后再利用扇形弧长公式计算扇形半径.
【详解】，.
【点睛】本题考查角度与弧度的互化以及扇形的弧长公式，难度较易.
15．；
【分析】
根据图形直接写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合．
【详解】解：图1所表示的角的集合：．
图2终边落在阴影部分的角的集合．
【点睛】本题考查角的表示方法，属于基础题．
16．当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
【分析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，面积为，可得，由，，可得的范围，根据二次函数的性质求得面积的最大值，再由可得面积取得最大值时的圆心角.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，圆心角为，面积为.
由已知，可得，
所以扇形的面积，
因为，，所以，
所以当时，，此时， 所以，
故当扇形的圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
17．(1)；
(2)当时，扇形面积最大值.
【分析】（1）利用扇形弧长公式直接求解即可；
（2）根据扇形周长可得，代入扇形面积公式，由二次函数最值可确定结果.
【详解】（1），扇形的弧长；
（2）扇形的周长，，
扇形面积，
则当，，
即当时，扇形面积最大值.
18．第一次相遇时所用的时间为.点走过的弧长为，点走过的弧长为.
【分析】设出两点相遇时间，用两点所走过的弧长之和为建立方程，解方程求得时间，进而求得两点所走过的弧长.
【详解】依题意知圆的半径为，设第一次相遇时所用的时间是，则.解得，即第一次相遇时所用的时间为. 点走过的弧长为，点走过的弧长为.
【点睛】本小题主要考查角速度有关计算，考查方程的思想，属于基础题.
19．(1)，第二象限；，第一象限
(2)，和；，
【分析】（1）直接将角度转化成弧度表示即可；通过周期公式化简，可求出终边对应象限；
（2）将弧度转化成角度即可；通过任意角概念给赋值，求出在内对应角即可.
【详解】（1）由题意，根据角度制与弧度制的互化公式，可得
，
．
又由，所以与角的终边相同，所以终边位于第二象限；
，所以与角的终边相同，所以终边位于第一象限；
（2）根据角度制与弧度制的互化公式，可得，．
根据终边相同角的表示，可得与终边相同的角为，，当时，；当时，．
与终边相同的角为，，
当时，．
因此，在内，与终边相同的角是和，与终边相同的角是．
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